球谐函数

                     

贡献者: addis

预备知识 球坐标的拉普拉斯方程,连带勒让德函数

  1球坐标中的拉普拉斯方程分离变量后,关于极角 $\theta$ 的函数为连带勒让德函数 $P_l^m(\cos\theta)$,方向角函数为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}$。我们定义球谐函数(spherical harmonics)23

\begin{equation} Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = Y_{l, m}(\theta, \phi) = A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}~, \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 表示一个单位矢量,指向球坐标中的点 $(1, \theta, \phi)$。$l, m$ 为整数,$l \geqslant 0$,$-l \leqslant m \leqslant l$。$A_{l,m}$ 是归一化系数,使得 $ \left\lvert Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2$ 在单位球面上的面积分等于 1(式 8 )。
\begin{equation} A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi }\frac{(l - m)!}{(l + m)!}}~. \end{equation}
球谐函数可以看作是将单位球面上的每一点(或者三维空间中的每个方向)映射到一个复数函数值。常见的球谐函数见 “球谐函数列表”,函数图常用图 1 的方式绘制。

图
图 1:$ \left\lvert Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert $ 在 $\phi=0$ 平面的极坐标曲线。红色代表 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) > 0$,蓝色代表 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) < 0$。第 1 行到第 4 行分别为 $l = 0$ 到 $3$,每行从左到右分别为 $m = -l$ 到 $l$。图中的右上角标明了 $r$ 的单位长度。

   当 $m = 0$ 时球谐函数可以用勒让德多项式表示为关于 $z$ 轴对称的函数

\begin{equation} Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} P_l(\cos\theta)~, \end{equation}
另外根据式 1 式 6 可得
\begin{equation} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} \delta_{m,0}~. \end{equation}

1. 偏微分方程

   球谐函数同时满足偏微分方程

\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega Y_{l,m} &= -l(l+1)Y_{l,m}~,\\ \frac{\partial}{\partial{\phi}} Y_{l,m} &= \mathrm{i} m Y_{l,m}~, \end{align}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{\phi}^{2}} \right) ~ \end{equation}
是球坐标系拉普拉斯算子中与 $r$ 无关的部分(式 6 )。

2. 归一化系数

   由球谐函数的归一化条件,对单位球面积分(例 2 )得

\begin{equation} \begin{aligned} 1 &= \int \left\lvert Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left\lvert Y_{l, m}(\theta, \phi) \right\rvert ^2 \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \left\lvert A_{l,m} \right\rvert ^2 \int_{-1}^1 \left\lvert P_l^m(\cos\theta) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{(\cos \theta)} \int_0^{2\pi } \left\lvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \frac{2\pi}{ \left\lvert A_{l,m}' \right\rvert ^2} \left\lvert A_{l,m} \right\rvert ^2~, \end{aligned} \end{equation}
其中 $A_{l,m}'$ 是 $P_l^m(x)$ 的归一化系数(见式 4 ),代入后可得 $A_{l,m}$。

3. Condon–Shortley 相位

   与连带勒让德函数相同,在定义球谐函数时我们也可以选择是否包含 Condon–Shortley 相位 $(-1)^m$。物理中一般选择包含,小时百科中也统一包含。如果包含,我们可以选择将其包含在连带勒让德函数中(如式 2 ),或者包含在球谐函数的定义中。如果不包含,该相位在两个定义中都不出现。

4. 正交归一性

   由勒让德函数的正交归一性(式 5 )以及 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m \phi}$ 的正交归一性(式 5 ),不难证明球谐函数的正交归一性

\begin{equation} \int Y_{l', m'}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = \delta_{l,l'}\delta_{m,m'}~, \end{equation}
其中 $\delta_{i,j}$ 是克罗内克 delta 函数。与多元函数的傅里叶级数类似,球谐函数可以展开所有性质良好的二元函数:
\begin{equation} f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = f(\theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m=-l}^l C_{l,m}Y_{l,m}(\theta, \phi) \quad (\theta \in [0, \pi], \phi \in [2, 2\pi])~, \end{equation}
\begin{equation} C_{l,m} = \int Y^*_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} ~. \end{equation}
若 $f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是实函数,那么(证明:令式 10 等于自己的复共轭再使用式 25 即可)
\begin{equation} C_{l,m} = (-1)^m C_{l,-m}^*~. \end{equation}

   性质良好的三维函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 也可以展开为径向函数 $f_{l,m}(r)$ 和球谐函数的乘积

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m=-l}^l f_{l,m}(r) Y_{l,m}(\theta, \phi)~, \end{equation}
\begin{equation} f_{l,m}(r) = \int Y^*_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} ~. \end{equation}
若 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是实函数,那么
\begin{equation} f_{l,-m}(r) = (-1)^m f_{l,m}(r)~. \end{equation}

5. 旋转变换

\begin{equation} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ') = \sum_{m'=-l}^l D_{m,m'}^{(l)} (\mathcal R)^* Y_{l,m'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~, \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} ^{(l)}$ 是 Wigner D 矩阵。从量子力学的角度来说,总角动量是与方向无关的,只有角动量在某方向的分量有关。

6. 中心对称

   $l$ 为偶数时,球谐函数是中心对称的(偶宇称),否则是反对称的(奇宇称)。

\begin{equation} Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~, \end{equation}
可以用图 1 验证。

7. 求导和积分

   以下公式在量子力学中计算氢原子跃迁矩阵元以及数值解 TDSE 时有应用。

   三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数3j 符号相乘4

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \int Y_{l_1 m_1} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_3 m_3}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ &= (-1)^{m_3} \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi(2l_3+1)}} \begin{bmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & -m_3\end{bmatrix} \\ &= \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} ~, \end{aligned} \end{equation}
使用式 25 把第一个球谐函数变为复共轭得
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \int Y_{l_1 m_1}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_3 m_3}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ & = (-1)^{m_1}\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ -m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} ~. \end{aligned} \end{equation}
注意 $\cos\theta$ 是一个厄米(对称)算符。

   特殊地,考虑到 $\cos\theta = \sqrt{\frac{4\pi}{3}}Y_{1,0}$,有

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal C_{l,m} &:= \int Y_{l,m}^* ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \cos\theta ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l+1, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \int Y_{l+1, m}^* ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \cos\theta ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )\\ &= \sqrt{\frac{(l+1)^2-m^2}{(2l+1)(2l+3)}}~. \end{aligned} \end{equation}

   根据 $P_l^m(x)$ 的求导公式(式 11 ),有

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{\theta}} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \frac{1}{\sin\theta} \left[l\ \mathcal C_{l,m}Y_{l+1, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) -(l+1)\mathcal C_{l-1,m}Y_{l-1, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right] ~. \end{equation}
\begin{equation} \int Y^*_{l+1, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )\sin\theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = l\ \mathcal C_{l,m}~, \end{equation}
\begin{equation} \int Y^*_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )\sin\theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} Y_{l+1,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = -(l+2)\mathcal C_{l,m}~. \end{equation}
注意 $\sin\theta\ \partial/\partial \theta $ 不是一个反对称算符,但若加上 $\cos\theta$ 就是。反对称算符乘以 $ \mathrm{i} $ 就是厄米算符。

8. 矢量相加定理

   这里的矢量相加定理(vector addition theorem)是指把勒让德多项式展开为两个球谐函数的乘积

\begin{equation} P_l(\cos\theta) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} )~, \end{equation}
其中 $\theta$ 是两个单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $ 的夹角。

9. 其他性质

\begin{equation} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^m Y_{l,-m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~. \end{equation}
这里的 $(-1)^m$ 是由连带勒让德函数的性质(式 8 )而来,而复共轭由 $ \exp\left( \mathrm{i} m\phi\right) $ 因子而来。

   根据 “球坐标与直角坐标的转换” 中定义的直角坐标系以及球谐函数表可得

\begin{equation} x = \sqrt{\frac{2\pi}{3}} r (Y_{1,-1} - Y_{1,1})~, \qquad y = \mathrm{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} r (Y_{1,-1}+Y_{1,1})~, \qquad z =2\sqrt{\frac{\pi}{3}} rY_{1,0}~. \end{equation}

10. 应用

   平面波的球谐展开电多极子展开球坐标系中的拉普拉斯方程类氢原子的定态波函数等。


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 有些教材也将球谐函数记为 $Y_l^m$
3. ^ 特殊地,$Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \sqrt{(2l + 1)/(4\pi)}P_l(\cos\theta)$,$P_l$ 是勒让德多项式
4. ^ 见 Bransden 附录 A4,以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面


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