球谐函数

             

预备知识 球坐标的拉普拉斯方程,连带勒让德多项式

  1当球坐标中的拉普拉斯方程分离变量后,关于极角 $\theta$ 的函数为连带勒让德多项式 $P_l^m(\cos\theta)$,方向角函数为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}$.我们定义球谐函数(spherical harmonics)23

\begin{equation} Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = Y_{l, m}(\theta, \phi) = A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 表示一个单位矢量,指向球坐标中的点 $(1, \theta, \phi)$,$l, m$ 为整数,$l \geqslant 0$,$-l \leqslant m \leqslant -l$.$A_{l,m}$ 是归一化系数,使得 $ \left\lvert Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2$ 在单位球面上的面积分等于 1.
\begin{equation} A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi }\frac{(l - m)!}{(l + m)!}} \end{equation}
球谐函数可以看作是将单位球面上的每一点(或者三维空间中的每个方向)映射到一个复数函数值.常见的球谐函数见 “球谐函数列表”,函数图常用图 1 的方式绘制.

图
图 1:$r(\theta) = \left\lvert Y_{l,m}(\theta, 0) \right\rvert $ 的极坐标曲线($\phi$ 并不会改变球谐函数的绝对值).注意 $Y_{l,m}(\theta, 0)$ 是实数.红色代表 $Y_{l,m}(\theta, 0) > 0$,蓝色代表 $Y_{l,m}(\theta, 0) < 0$.第 1 行到第 4 行分别为 $l = 0$ 到 $3$,每行从左到右分别为 $m = -l$ 到 $l$.图中的右上角标明了 $r$ 的单位长度.

1. 偏微分方程

   球谐函数同时满足偏微分方程

\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega Y_{l,m} &= -l(l+1)Y_{l,m}\\ \frac{\partial}{\partial{\phi}} Y_{l,m} &= \mathrm{i} m Y_{l,m} \end{align}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega Y_{l,m} = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{\phi}^{2}} \right) \end{equation}
中括号中的算符是球坐标系拉普拉斯算子(式 4 )$ \boldsymbol{\nabla}^2 $ 中与 $r$ 无关的部分.

2. 归一化系数

   由球谐函数的归一化条件,

未完成:链接:哪里讲了立体角是单位球面上的面积元,以及极坐标中的表达式?
\begin{equation} \begin{aligned} 1 &= \int \left\lvert Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left\lvert Y_{l, m}(\theta, \phi) \right\rvert ^2 \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \left\lvert A_{l,m} \right\rvert ^2 \int_{-1}^1 \left\lvert P_l^m(\cos\theta) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{(\cos \theta)} \int_0^{2\pi } \left\lvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \frac{2\pi}{ \left\lvert A_{l,m}' \right\rvert ^2} \left\lvert A_{l,m} \right\rvert ^2 \end{aligned} \end{equation}
其中 $A_{l,m}'$ 是 $P_l^m(x)$ 的归一化系数(见式 4 ),代入后可得 $A_{l,m}$.

3. Condon–Shortley 相位

   与连带勒让德多项式相同,在定义球谐函数时我们也可以选择是否包含 Condon–Shortley 相位 $(-1)^m$.物理中一般选择包含,包括本书.如果包含,我们可以选择将其包含在连带勒让德多项式中(如式 2 ),或者包含在球谐函数的定义中.如果不包含,该相位在两个定义中都不出现.

4. 正交归一性

   由勒让德函数的正交归一性(式 5 )以及 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m \phi}$ 的正交归一性(式 5 ),不难证明球谐函数的正交归一性

\begin{equation} \int Y_{l', m'}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = \delta_{l,l'}\delta_{m,m'} \end{equation}
其中 $\delta_{i,j}$ 是克罗内克 delta 函数.与多元函数的傅里叶级数类似,球谐函数可以展开所有性质良好的二元函数:
\begin{equation} f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = f(\theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m=-l}^l C_{l,m}Y_{l,m}(\theta, \phi) \quad (\theta \in [0, \pi], \phi \in [2, 2\pi]) \end{equation}
\begin{equation} C_{l,m} = \int Y^*_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \end{equation}
式 19 可得:若 $f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是实函数,那么
\begin{equation} C_{l,-m} = (-1)^m C_{l,m} \end{equation}

   性质良好的三维函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 也可以展开为径向函数 $f_{l,m}(r)$ 和球谐函数的乘积

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m=-l}^l f_{l,m}(r) Y_{l,m}(\theta, \phi) \end{equation}
\begin{equation} f_{l,m}(r) = \int Y^*_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \end{equation}
若 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是实函数,那么
\begin{equation} f_{l,-m}(r) = (-1)^m f_{l,m}(r) \end{equation}

5. 旋转变换

\begin{equation} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ') = \sum_{m'=-l}^l D_{m,m'}^{(l)} (\mathcal R)^* Y_{l,m'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} ^{(l)}$ 是 Wigner D 矩阵.从量子力学的角度来说,总角动量是与方向无关的,只有角动量在某方向的分量有关.

6. 中心对称

   $l$ 为偶数时,球谐函数是中心对称的(偶宇称),否则是反对称的(奇宇称).

\begin{equation} Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
可以用图 1 验证.

7. 积分

   三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘4

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \int Y_{l_1 m_1} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_3 m_3}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ &= (-1)^{m_3} \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi(2l_3+1)}} \begin{bmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & -m_3\end{bmatrix} \\ &= \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}
使用式 19 把第一个球谐函数变为复共轭得
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \int Y_{l_1 m_1}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_3 m_3}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ & = (-1)^{m_1}\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ -m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}
该式在量子力学中有一些应用,如 “氢原子的选择定则”.

8. 矢量相加定理

   这里的矢量相加定理(vector addition theorem)是指把勒让德多项式展开为两个球谐函数的乘积

\begin{equation} P_l(\cos\theta) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} ) \end{equation}
其中 $\theta$ 是两个单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $ 的夹角.
未完成:为什么叫做矢量相加?以及证明

9. 其他性质

\begin{equation} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^m Y_{l,-m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
这里的 $(-1)^m$ 是由连带勒让德多项式的性质而来,而共轭由 $ \exp\left( \mathrm{i} m\phi\right) $ 因子而来.

   根据 “球坐标与直角坐标的转换” 中定义的直角坐标系以及球谐函数表可得

\begin{equation} x = \sqrt{\frac{2\pi}{3}} r (Y_{1,-1} - Y_{1,1}) \qquad y = \mathrm{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} r (Y_{1,-1}+Y_{1,1}) \qquad z =2\sqrt{\frac{\pi}{3}} rY_{1,0} \end{equation}

10. 应用

   平面波的球谐展开,电多极子展开,球坐标系中的拉普拉斯方程,类氢原子的定态波函数等.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 有些教材也将球谐函数记为 $Y_l^m$
3. ^ 特殊地,$Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \sqrt{(2l + 1)/(4\pi)}P_l(\cos\theta)$,$P_l$ 是勒让德多项式
4. ^ 见 Bransden 附录 A4,以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面

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