球坐标系中的矢量算符

             

预备知识 正交曲线坐标系中的矢量算符

   球坐标系中标量函数 $u(r, \theta, \phi)$ 和矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (r, \theta, \phi)$ 的梯度,散度,旋度和拉普拉斯算符的公式如下.其中 $r$ 是极径,$\theta $ 是极角,$\phi $ 是方位角.推导见下文.

推导

   位置矢量的微分可以表示为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \,\mathrm{d}{r} + r \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \,\mathrm{d}{\theta} + r\sin\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}
未完成:该式的推导应该在正交曲线坐标系 中完成
. 代入式 3 式 8 即可完成推导.

1. 拉普拉斯算符的径向和角向分解

   为了书写方便本书中定义两个算符 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 和 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 满足

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 = \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega}{r^2} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 只对 $r$ 求偏导(式 4 右边第一项),$ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 只对 $\theta,\phi$ 求偏导(式 4 右边后两项).该分解有助于使用分离变量法求解球坐标系中的拉普拉斯方程

   $ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 还可以进一步分解为两个矢量算符的点乘

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega = \boldsymbol\nabla _\Omega \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla _\Omega \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol\nabla _\Omega &= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \frac{\partial}{\partial{\theta}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\phi}} \\ &= - \left(\sin\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \cot\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left(\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \frac{\partial}{\partial{\phi}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}
该分解在量子力学中有应用,见 “球坐标系中的角动量算符”.

   推导:只需要把 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 和式 1 代入 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla $,再把结果换到直角坐标系中即可.

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