贡献者： addis
球坐标系中标量函数 $u(r, \theta, \phi)$ 和矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (r, \theta, \phi)$ 的梯度，散度，旋度和拉普拉斯算符的公式如下．其中 $r$ 是极径，$\theta $ 是极角，$\phi $ 是方位角．推导见下文．
- 梯度算符
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{1}{r\sin \theta } \frac{\partial u}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}
\end{equation}
- 散度算符
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} (r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} (\sin\theta v_\theta) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial v_\phi}{\partial \phi}
\end{equation}
- 旋度算符
\begin{equation} \begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = & \frac{1}{r\sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial{\theta}} (\sin \theta v_\phi) - \frac{\partial v_\theta}{\partial \phi} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac1r \left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial v_r}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\phi) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \\
&+ \frac1r \left[ \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}
\end{aligned} \end{equation}
- 拉普拉斯算符
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla u) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}}
\end{equation}
推导
位置矢量的微分可以表示为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \,\mathrm{d}{r} + r \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \,\mathrm{d}{\theta} + r\sin\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \,\mathrm{d}{\phi}
\end{equation}
．
代入
式 3 到
式 8 即可完成推导．
1. 拉普拉斯算符的径向和角向分解
为了书写方便本书中定义两个算符 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 和 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 = \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega}{r^2}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 只对 $r$ 求偏导（
式 4 右边第一项），$ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 只对 $\theta,\phi$ 求偏导（
式 4 右边后两项）．该分解有助于使用分离变量法求解球坐标系中的拉普拉斯方程
．
$ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 还可以进一步分解为两个矢量算符的点乘
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega = \boldsymbol\nabla _\Omega \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla _\Omega
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol\nabla _\Omega &= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla \\
&= \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \frac{\partial}{\partial{\theta}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\phi}} \\
&= - \left(\sin\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \cot\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}
+ \left(\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}
+ \frac{\partial}{\partial{\phi}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{aligned}
\end{equation}
该分解在量子力学中有应用，见 “球坐标系中的角动量算符
”．
推导：只需要把 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 和式 1 代入 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla $，再把结果换到直角坐标系中即可．
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