平面波的球谐展开

贡献者： addis

预备知识 1　球谐函数，径向函数的归一化

　　¹复数形式的归一化平面波可以展开为式 13 的形式：

\begin{matrix} (1) & | k ⟩ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} e^{i k \cdot r} = \sqrt{\frac{2}{π}} \sum_{l = 0}^{\infty} i^{l} j_{l} (k r) \sum_{m = - l}^{l} Y_{l, m}^{*} (\hat{k}) Y_{l, m} (\hat{r}), \end{matrix}

推导见下文。由

Y_{l, m}^{*} = (- 1)^{m} Y_{l, - m}

易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上。另外由

Y_{l, m} (- \hat{k}) = (- 1)^{l} Y_{l, m} (\hat{k})

易得

{| k ⟩}^{*} = | - k ⟩

。

　　可以证明，一组正交归一的球面波基底为（见 “径向函数的归一化”）

\begin{matrix} (2) & | s_{l, m} (k) ⟩ = s_{l, m} (k, r) = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2}{π}} k r j_{l} (k r) Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{matrix}

平面波式 1 可以表示为相同能量球谐波的线性组合

\begin{matrix} (3) & | k ⟩ = \sum_{l, m} \frac{i^{l}}{k} Y_{l, m}^{*} (\hat{k}) | s_{l, m} (k) ⟩ . \end{matrix}

其他形式

　　根据式 24 ，令 $α$ 为 $\hat{k}, \hat{r}$ 的夹角，式 1 也可以记为

\begin{matrix} (4) & | k ⟩ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \sum_{l = 0}^{\infty} i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{l} (\cos α), \end{matrix}

所以

z

方向的平面波可以仅由

Y_{l, 0}

球谐函数展开

\begin{matrix} (5) & | k \hat{z} ⟩ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} e^{i k z} = \frac{1}{π} \sum_{l = 0}^{\infty} i^{l} \sqrt{l + \frac{1}{2}} j_{l} (k r) Y_{l, 0} (\hat{r}) . \end{matrix}

1. 球谐展开函数的傅里叶变换

预备知识 2　多元傅里叶变换

　　若三维函数具有球谐展开的形式

\begin{matrix} (6) & f (r) = \frac{1}{r} \sum_{l, m} u_{l, m} (r) Y_{l, m} (\hat{r}), \end{matrix}

要做三维傅里叶变换

\begin{matrix} (7) & g (k) = ⟨ k | f ⟩ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int f (r) e^{- i k r} d^{3} r . \end{matrix}

将式 3 代入上式得

\begin{matrix} (8) & g (k) = \frac{1}{k} \sum_{l, m} g_{l, m} (k) Y_{l, m} (\hat{k}), \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (9) & g_{l, m} (k) = \sqrt{\frac{2}{π}} i^{- l} \int_{0}^{+ \infty} u_{l, m} (r) k r j_{l} (k r) d r, \end{matrix}

于是

f (r)

可分解为平面波

\begin{matrix} (10) & f (r) = \int g_{l, m} (k) | k ⟩ d^{3} k . \end{matrix}

例 1　类氢原子基态的动量谱

　　类氢原子基态的波函数为（见式 2 ，使用原子单位）

\begin{matrix} (11) & ψ (r) = \frac{Z^{3 / 2}}{\sqrt{π}} e^{- Z r}, \end{matrix}

显然只有

l = 0, m = 0

球谐项。而

Y_{0, 0} = 1 / \sqrt{4 π}

，所以径向波函数为

\begin{matrix} (12) & R_{00} (r) = 2 Z^{3 / 2} e^{- Z r}, \end{matrix}

所以傅里叶变换为（注意

j_{0} (x) = \sin x / x

）

\begin{matrix} (13) & g (k) = \frac{\sqrt{2}}{k π} \int_{0}^{\infty} e^{- r} \sin (k r) r d r = \frac{2 \sqrt{2}}{π (k^{2} + 1)^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & g (k) = {(\frac{2}{Z})}^{3 / 2} \frac{1}{π (k^{2} / Z^{2} + 1)^{2}} . \end{matrix}

我们也可以将沿

z

轴正方向的三维平面波用球坐标表示（不使用球谐函数），再在球坐标中与波函数积分，结果相同。

2. 推导

　　理论上，式 1 可以通过计算式 14 得到，但这个积分较为复杂，可能需要借助 Mathematica 等工具²

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} f_{l, m} (r) = \int Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) e^{i k \cdot r} d Ω \\ = A_{l, m} \int_{0}^{π} \sin θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ P_{l}^{m} (\cos θ) e^{- i m ϕ} \\ \times \exp [i (k_{x} r \sin θ \cos ϕ + k_{y} r \sin θ \sin ϕ + k_{z} r \cos θ)] . \end{aligned} \end{matrix}

但从式 4 可以知道我们只需要证明

k

延

\hat{z}

方向的情况，令

θ = α

即可，也就是上式中

k_{x} = 0, k_{y} = 0, k_{z} = k

。由对称性，

m \neq 0

时积分都是 0，所以

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} \int Y_{l, 0}^{*} (\hat{r}) e^{i k \cdot r} d Ω & = 2 π A_{l, m} \int_{0}^{π} P_{l} (\cos θ) \exp [i (k r \cos θ)] \sin θ d θ \\ = 2 π A_{l, m} \int_{- 1}^{1} P_{l} (x) \exp [i (k r x)] d x . \end{aligned} \end{matrix}

由式 9 得

\begin{matrix} (17) & \int Y_{l, 0}^{*} (\hat{r}) e^{i k \cdot r} d Ω = 4 π A_{l, m} i^{l} j_{l} (ρ) = \sqrt{4 π (2 l + 1)} i^{l} j_{l} (ρ), \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (18) & e^{i k \cdot r} = \sum_{l, m} \sqrt{4 π (2 l + 1)} i^{l} j_{l} (ρ) Y_{l, m} (\hat{r}) = \sum_{l, m} (2 l + 1) i^{l} j_{l} (ρ) P_{l} (\cos α) . \end{matrix}

证毕。

3. 推导 2

　　另一种方法是把平面波看作三维亥姆霍兹方程的解

未完成：引用三维直角坐标的亥姆霍兹方程

\begin{matrix} (19) & \nabla^{2} ψ_{k} (r) + k^{2} ψ_{k} (r) = 0 \end{matrix}

的解。这也是定态薛定谔方程势能为零的一个解。在球坐标系中解亥姆霍兹方程得通解为

\begin{matrix} (20) & f (r) = \sum_{l, m} [A_{l, m} j_{l} (k r) + B_{l, m} y_{l} (k r)] Y_{l, m} (\hat{r}), \end{matrix}

由于第二类球贝塞尔函数

y_{l} (k r)

在

r \to 0

时有奇点，所以

B_{l, m} = 0

。而第一类球贝塞尔函数

j_{l}

在

r \to \infty

时有渐进形式（式 18 ）

\begin{matrix} (21) & j_{l} (x) \to \sin (x - l π / 2) / x, \end{matrix}

在

r \to \infty

匹配相位即可得到

A_{l, m}

。

未完成：具体如何匹配？

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面及参考文献。
2. ^ 其实 Mathematica 也只能算给定的 $l, m$ 。