傅里叶级数(指数)

                     

贡献者: addis

预备知识 傅里叶级数(三角),欧拉公式

   f(x) 是自变量为实数的复变函数,若满足狄利克雷条件,则可在区间 [l,l] 展开成复数的傅里叶级数

(1)f(x)=n=+cnexp(inπlx) .
其中 cn 是复常数,可以用定积分计算
(2)cn=12lllf(x)exp(inπlx)dx .
f(x) 为实函数时,cncn 互为复共轭。当 f(x) 为偶函数或奇函数时,分别有 cn=cncn=cn

   要特别注意的是,严格来说式 1 并不能用等号。因为若函数 f(x) 在某点不连续,在该点处等式右边的级数未必会收敛到 f(x)。对此本文并不过多讨论,且为了方便仍然使用等号。

1. 几何理解

   若把式 1 中的 x 改成时间 t,那么 f(t) 可以看作是复平面上一个点随时间的运动。而根据欧拉公式(式 3 ),式 1 中的每一项,则是平面上一个矢量的匀速圆周运动(n=0 的项是例外,它不随时间变化)。由于复数的加法相当于复平面上矢量的相加(图 1 ),那么 f(t) 所代表的运动就是从坐标原点出发,把所有这些做圆周运动的矢量首尾相接后,最后一个矢量的末端的运动。

图
图 1:动画见这里。这里的曲线使用小时百科的图标。代码见 “用傅里叶级数画曲线(Matlab)”。

   根据式 1 ,第 n 个圆周运动的角速度为 ωn=nπ/l,注意逆时针为正,顺时针为负。周期为 Tn=2π/ω=2l/nn0)。也就是说在一个周期内,n=1 的圆周运动在时间 T=2l 内逆时针转一圈,n=2 的逆时针转两圈,n=1 的顺时针转一圈,n=2 的顺时针转两圈……

2. 推导

   类比三角傅里叶级数的情况。这时,完备正交归一的函数基底变为

(3)fn(x)=exp(inπlx)nN .
定义复函数 f(x)g(x) 的内积为
(4)f|g=llf(x)g(x)dx .
可证明函数基底(式 3 )正交且模长为 2l,用克罗内克 δ 函数表示为
(5)fm|fn=2lδmn .
与三角傅里叶级数同理,可得式 1 式 2

3. 与三角傅里叶级数的关系

   根据欧拉公式(式 3 ),可以写出正余弦函数和复指数函数的关系

(6)cosx=eix+eix2,sinx=eixeix2i .
三角傅里叶级数的系数式 2 式 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示
(7)an=1lllf(x)cos(nπlx)dx=12lllf(x)exp(inπlx)dx+12lllf(x)exp(inπlx)dx=cn+cn .
同理,
(8)bn=i(cncn) .
注意这里全都有 n0。由以上两式,也可以解得
(9)cn=anibn2,cn=an+ibn2 .

4. 实函数,奇函数,和偶函数的情况

   特殊地,当 f(x) 为实函数时,由于 anbn 必定是实数,根据式 9 可知

(10)cn=cn .
即正负系数互为复共轭。当 f(x) 为偶函数或奇函数时,三角傅里叶级数分别只有 anbn 不为零,同样根据式 9 可得,两种情况分别对应
(11)cn=cn=an2,cn=cn=ibn2 .
由以上两式可得,如果 f(x) 既是实函数又是偶函数时,cncn 是相等的实数,如果既是实函数又是奇函数,cncn 是相反的纯虚数。

5. 性质

(12)ll|f2(x)|dx=2ln|cn|2 .
证明:用狄拉克符号记为 |f=ncn|n,利用基底的正交性(式 5
(13)f|f=icii|jcj|j=2li,j|ci|2δi,j=2ln|cn|2 .
如果把基底为正交归一化(每个基底 |n 除以 2l,使得 i|j=δi,j,则有更简洁的关系
(14)ll|f2(x)|dx=n|cn|2 .
这叫做 Parseval 定理

6. 任意区间的展开

   类比子节 4 中的讨论,要用指数傅里叶级数展开 [a,b] 区间的函数 f(x),一种方法是令 l=(ba)/2,并把式 2 的积分区间改为 [a,b] 即可。或者也可以取 l>(ba)/2 的任意实数。


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