傅里叶级数(指数)
贡献者: addis
是自变量为实数的复变函数,若满足狄利克雷条件,则可在区间 展开成复数的傅里叶级数
其中 是复常数,可以用
定积分计算
当 为实函数时, 与 互为复共轭。当 为偶函数或奇函数时,分别有 或 。
要特别注意的是,严格来说式 1 并不能用等号。因为若函数 在某点不连续,在该点处等式右边的级数未必会收敛到 。对此本文并不过多讨论,且为了方便仍然使用等号。
1. 几何理解
若把式 1 中的 改成时间 ,那么 可以看作是复平面上一个点随时间的运动。而根据欧拉公式(式 3 ),式 1 中的每一项,则是平面上一个矢量的匀速圆周运动( 的项是例外,它不随时间变化)。由于复数的加法相当于复平面上矢量的相加(图 1 ),那么 所代表的运动就是从坐标原点出发,把所有这些做圆周运动的矢量首尾相接后,最后一个矢量的末端的运动。
根据式 1 ,第 个圆周运动的角速度为 ,注意逆时针为正,顺时针为负。周期为 ()。也就是说在一个周期内, 的圆周运动在时间 内逆时针转一圈, 的逆时针转两圈, 的顺时针转一圈, 的顺时针转两圈……
2. 推导
类比三角傅里叶级数的情况。这时,完备正交归一的函数基底变为
定义复函数 与 的内积为
可证明函数基底(
式 3 )正交且模长为 ,用克罗内克 函数表示为
与三角傅里叶级数同理,可得
式 1 和
式 2 。
3. 与三角傅里叶级数的关系
根据欧拉公式(式 3 ),可以写出正余弦函数和复指数函数的关系
三角傅里叶级数的系数
式 2 和
式 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示
同理,
注意这里全都有 。由以上两式,也可以解得
4. 实函数,奇函数,和偶函数的情况
特殊地,当 为实函数时,由于 和 必定是实数,根据式 9 可知
即正负系数互为复共轭。当 为偶函数或奇函数时,三角傅里叶级数分别只有 或 不为零
,同样根据
式 9 可得,两种情况分别对应
由以上两式可得,如果 既是实函数又是偶函数时, 和 是相等的实数,如果既是实函数又是奇函数, 和 是相反的纯虚数。
5. 性质
证明:用
狄拉克符号记为 ,利用基底的正交性(
式 5 )
如果把基底为正交归一化(每个基底 除以 ,使得 ,则有更简洁的关系
这叫做
Parseval 定理。
6. 任意区间的展开
类比子节 4 中的讨论,要用指数傅里叶级数展开 区间的函数 ,一种方法是令 ,并把式 2 的积分区间改为 即可。或者也可以取 的任意实数。
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