傅里叶级数(指数)

             

预备知识 傅里叶级数(三角),欧拉公式

   $f(x)$ 是自变量为实数的复变函数,若满足狄利克雷条件,则可展在区间 $[- l,l]$ 展开成复数的傅里叶级数

\begin{equation} f(x) = \sum_{n = - \infty }^{ + \infty } c_n \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \end{equation}
其中
\begin{equation} c_n = \frac{1}{2l} \int_{ - l}^l f(x) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
当 $f(x)$ 为实函数时,$c_n$ 与 $c_{-n}$ 互为复共轭.当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时,分别有 $c_{-n} = c_n$ 或 $c_{-n} = -c_n$.

1. 推导

   类比三角傅里叶级数的情况.这时,完备正交归一的函数基底变为

\begin{equation} f_n(x) = \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \quad{n \in N} \end{equation}
定义复函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积为
\begin{equation} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \int_{-l}^{l} f(x) ^* g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
可证明函数基底(式 3 )正交且模长为 $2l$,用克罗内克 $\delta$ 函数表示为
\begin{equation} \left\langle f_m \middle| f_n \right\rangle = 2l \delta_{mn} \end{equation}
与三角傅里叶级数同理,可得式 1 式 2

2. 与三角傅里叶级数的关系

   考虑到正余弦函数和复指数函数的关系

\begin{equation} \cos x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2} \qquad \sin x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} } \end{equation}
三角傅里叶级数的系数式 2 式 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示
\begin{equation} \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{l}\int_{ - l}^l f( x ) \cos\left(\frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi}{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= c_{-n} + c_n \end{aligned} \end{equation}
同理,
\begin{equation} \begin{aligned} b_n &= \frac{c_{-n}-c_n}{ \mathrm{i} } \end{aligned} \end{equation}
注意这里全都有 $n\geqslant 0$.由以上两式,也可以解得
\begin{equation} c_n = \frac{a_n - \mathrm{i} b_n}{2} \qquad c_{-n} = \frac{a_n + \mathrm{i} b_n}{2} \end{equation}

3. 实函数,奇函数,和偶函数的情况

   特殊地,当 $f(x)$ 为实函数时,由于 $a_n$ 和 $b_n$ 必定是实数,根据式 9 可知

\begin{equation} c_{-n} = c_{n} ^* \end{equation}
即正负系数互为复共轭.当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时,三角傅里叶级数分别只有 $a_n$ 或 $b_n$ 不为零,同样根据式 9 可得,两种情况分别对应
\begin{equation} c_{-n} = c_n =\frac{a_n}{2} \qquad c_{-n} = -c_n = \mathrm{i} \frac{b_n}{2} \end{equation}
由以上两式可得,如果 $f(x)$ 既是实函数又是偶函数时,$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相等的实数,如果既是实函数又是奇函数,$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相反的纯虚数.

4. 性质

\begin{equation} \int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = 2l\sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2 \end{equation}
证明:用狄拉克符号记为 $ \left\lvert f \right\rangle = \sum_n c_n \left\lvert n \right\rangle $,利用基底的正交性(式 5
\begin{equation} \left\langle f \middle| f \right\rangle = \sum_i c_i^* \left\langle i \right\rvert \sum_j c_j \left\lvert j \right\rangle = 2l \sum_{i,j} \left\lvert c_i \right\rvert ^2 \delta_{i,j} = 2l \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2 \end{equation}
如果把基底为正交归一化(每个基底 $ \left\lvert n \right\rangle $ 除以 $\sqrt{2l}$,使得 $ \left\langle i \middle| j \right\rangle = \delta_{i,j}$,则有更简洁的关系
\begin{equation} \int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2 \end{equation}

5. 任意区间

  

未完成:任意区间 $[a, b]$ 的函数展开成傅里叶级数,有多种方式,取决于周期是多少,或者区间两端的边界条件.$T = 2\pi/\Delta \omega$,$\Delta\omega$ 就是相邻两项的频率之差.事实上只要 $T > b - a$ 都可以.其实这比三角傅里叶级数要简单,因为 $exp$ 里面的相位可以提到系数中.
未完成:做一个二维漂亮闭合曲线,展开成傅里叶级数,做成动画.

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