傅里叶级数（指数）

贡献者： addis

预备知识　傅里叶级数（三角），欧拉公式

　　 $f (x)$ 是自变量为实数的复变函数，若满足狄利克雷条件，则可在区间 $[- l, l]$ 展开成复数的傅里叶级数

\begin{matrix} (1) & f (x) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} \exp (i \frac{n π}{l} x) . \end{matrix}

其中

c_{n}

是复常数，可以用定积分计算

\begin{matrix} (2) & c_{n} = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) \exp (- i \frac{n π}{l} x) d x . \end{matrix}

当

f (x)

为实函数时，

c_{n}

与

c_{- n}

互为复共轭。当

f (x)

为偶函数或奇函数时，分别有

c_{- n} = c_{n}

或

c_{- n} = - c_{n}

。

　　要特别注意的是，严格来说式 1 并不能用等号。因为若函数 $f (x)$ 在某点不连续，在该点处等式右边的级数未必会收敛到 $f (x)$ 。对此本文并不过多讨论，且为了方便仍然使用等号。

1. 几何理解

　　若把式 1 中的 $x$ 改成时间 $t$ ，那么 $f (t)$ 可以看作是复平面上一个点随时间的运动。而根据欧拉公式（式 3 ），式 1 中的每一项，则是平面上一个矢量的匀速圆周运动（ $n = 0$ 的项是例外，它不随时间变化）。由于复数的加法相当于复平面上矢量的相加（图 1 ），那么 $f (t)$ 所代表的运动就是从坐标原点出发，把所有这些做圆周运动的矢量首尾相接后，最后一个矢量的末端的运动。

图 1：动画见这里。这里的曲线使用小时百科的图标。代码见 “用傅里叶级数画曲线（Matlab）”。

　　根据式 1 ，第 $n$ 个圆周运动的角速度为 $ω_{n} = n π / l$ ，注意逆时针为正，顺时针为负。周期为 $T_{n} = 2 π / ω = 2 l / n$ （ $n \neq 0$ ）。也就是说在一个周期内， $n = 1$ 的圆周运动在时间 $T = 2 l$ 内逆时针转一圈， $n = 2$ 的逆时针转两圈， $n = - 1$ 的顺时针转一圈， $n = - 2$ 的顺时针转两圈……

2. 推导

　　类比三角傅里叶级数的情况。这时，完备正交归一的函数基底变为

\begin{matrix} (3) & f_{n} (x) = \exp (i \frac{n π}{l} x) n \in N . \end{matrix}

定义复函数

f (x)

与

g (x)

的内积为

\begin{matrix} (4) & ⟨ f | g ⟩ = \int_{- l}^{l} f (x)^{*} g (x) d x . \end{matrix}

可证明函数基底（式 3 ）正交且模长为

2 l

，用克罗内克

δ

函数表示为

\begin{matrix} (5) & ⟨ f_{m} | f_{n} ⟩ = 2 l δ_{m n} . \end{matrix}

与三角傅里叶级数同理，可得式 1 和式 2 。

3. 与三角傅里叶级数的关系

　　根据欧拉公式（式 3 ），可以写出正余弦函数和复指数函数的关系

\begin{matrix} (6) & \cos x = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}, \sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i} . \end{matrix}

三角傅里叶级数的系数式 2 和式 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} a_{n} & = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \cos (\frac{n π}{l} x) d x \\ = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) \exp (i \frac{n π}{l} x) d x + \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) \exp (- i \frac{n π}{l} x) d x \\ = c_{n} + c_{- n} . \end{aligned} \end{matrix}

同理，

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} b_{n} & = i (c_{n} - c_{- n}) . \end{aligned} \end{matrix}

注意这里全都有

n ⩾ 0

。由以上两式，也可以解得

\begin{matrix} (9) & c_{n} = \frac{a_{n} - i b_{n}}{2}, c_{- n} = \frac{a_{n} + i b_{n}}{2} . \end{matrix}

4. 实函数，奇函数，和偶函数的情况

　　特殊地，当 $f (x)$ 为实函数时，由于 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 必定是实数，根据式 9 可知

\begin{matrix} (10) & c_{- n} = c_{n}^{*} . \end{matrix}

即正负系数互为复共轭。当

f (x)

为偶函数或奇函数时，三角傅里叶级数分别只有

a_{n}

或

b_{n}

不为零，同样根据式 9 可得，两种情况分别对应

\begin{matrix} (11) & c_{- n} = c_{n} = \frac{a_{n}}{2}, c_{- n} = - c_{n} = i \frac{b_{n}}{2} . \end{matrix}

由以上两式可得，如果

f (x)

既是实函数又是偶函数时，

c_{n}

和

c_{- n}

是相等的实数，如果既是实函数又是奇函数，

c_{n}

和

c_{- n}

是相反的纯虚数。

5. 性质

\begin{matrix} (12) & \int_{- l}^{l} | f^{2} (x) | d x = 2 l \sum_{n} {| c_{n} |}^{2} . \end{matrix}

证明：用狄拉克符号记为

| f ⟩ = \sum_{n} c_{n} | n ⟩

，利用基底的正交性（式 5 ）

\begin{matrix} (13) & ⟨ f | f ⟩ = \sum_{i} c_{i}^{*} ⟨ i | \sum_{j} c_{j} | j ⟩ = 2 l \sum_{i, j} {| c_{i} |}^{2} δ_{i, j} = 2 l \sum_{n} {| c_{n} |}^{2} . \end{matrix}

如果把基底为正交归一化（每个基底

| n ⟩

除以

\sqrt{2 l}

，使得

⟨ i | j ⟩ = δ_{i, j}

，则有更简洁的关系

\begin{matrix} (14) & \int_{- l}^{l} | f^{2} (x) | d x = \sum_{n} {| c_{n} |}^{2} . \end{matrix}

这叫做 Parseval 定理。

6. 任意区间的展开

　　类比子节 4 中的讨论，要用指数傅里叶级数展开 $[a, b]$ 区间的函数 $f (x)$ ，一种方法是令 $l = (b - a) / 2$ ，并把式 2 的积分区间改为 $[a, b]$ 即可。或者也可以取 $l > (b - a) / 2$ 的任意实数。

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