傅里叶级数(指数)

                     

贡献者: addis

预备知识 傅里叶级数(三角),欧拉公式

   $f(x)$ 是自变量为实数的复变函数,若满足狄利克雷条件,则可在区间 $[- l,l]$ 展开成复数的傅里叶级数

\begin{equation} f(x) = \sum_{n = - \infty }^{ + \infty } c_n \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \end{equation}
其中 $c_n$ 是复常数,可以用定积分计算
\begin{equation} c_n = \frac{1}{2l} \int_{ - l}^l f(x) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
当 $f(x)$ 为实函数时,$c_n$ 与 $c_{-n}$ 互为复共轭.当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时,分别有 $c_{-n} = c_n$ 或 $c_{-n} = -c_n$.

   要特别注意的是,严格来说式 1 并不能用等号.因为若函数 $f(x)$ 在某点不连续,在该点处等式右边的级数未必会收敛到 $f(x)$.对此本文并不过多讨论,且为了方便仍然使用等号.

1. 几何理解

   若把式 1 中的 $x$ 改成时间 $t$,那么 $f(t)$ 可以看作是复平面上一个点随时间的运动.而根据欧拉公式(式 3 ),式 1 中的每一项,则是平面上一个矢量的匀速圆周运动($n=0$ 的项是例外,它不随时间变化).由于复数的加法相当于复平面上矢量的相加(图 1 ),那么 $f(t)$ 所代表的运动就是从坐标原点出发,把所有这些做圆周运动的矢量首尾相接后,最后一个矢量的末端的运动.

图
图 1:动画见这里.这里的曲线使用小时百科的图标.代码见 “用傅里叶级数画曲线(Matlab)”.

   根据式 1 ,第 $n$ 个圆周运动的角速度为 $\omega_n = n\pi/l$,注意逆时针为正,顺时针为负.周期为 $T_n = 2\pi/\omega = 2l/n$($n\ne 0$).也就是说在一个周期内,$n=1$ 的圆周运动在时间 $T = 2l$ 内逆时针转一圈,$n=2$ 的逆时针转两圈,$n=-1$ 的顺时针转一圈,$n=-2$ 的顺时针转两圈……

2. 推导

   类比三角傅里叶级数的情况.这时,完备正交归一的函数基底变为

\begin{equation} f_n(x) = \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \quad{n \in N} \end{equation}
定义复函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积为
\begin{equation} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \int_{-l}^{l} f(x) ^* g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
可证明函数基底(式 3 )正交且模长为 $2l$,用克罗内克 $\delta$ 函数表示为
\begin{equation} \left\langle f_m \middle| f_n \right\rangle = 2l \delta_{mn} \end{equation}
与三角傅里叶级数同理,可得式 1 式 2

3. 与三角傅里叶级数的关系

   根据欧拉公式(式 3 ),可以写出正余弦函数和复指数函数的关系

\begin{equation} \cos x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2}, \qquad \sin x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} } \end{equation}
三角傅里叶级数的系数式 2 式 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示
\begin{equation} \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{l}\int_{ - l}^l f( x ) \cos\left(\frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi}{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= c_n + c_{-n} \end{aligned} \end{equation}
同理,
\begin{equation} \begin{aligned} b_n &= \mathrm{i} (c_n - c_{-n}) \end{aligned} \end{equation}
注意这里全都有 $n\geqslant 0$.由以上两式,也可以解得
\begin{equation} c_n = \frac{a_n - \mathrm{i} b_n}{2}, \qquad c_{-n} = \frac{a_n + \mathrm{i} b_n}{2} \end{equation}

4. 实函数,奇函数,和偶函数的情况

   特殊地,当 $f(x)$ 为实函数时,由于 $a_n$ 和 $b_n$ 必定是实数,根据式 9 可知

\begin{equation} c_{-n} = c_{n} ^* \end{equation}
即正负系数互为复共轭.当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时,三角傅里叶级数分别只有 $a_n$ 或 $b_n$ 不为零,同样根据式 9 可得,两种情况分别对应
\begin{equation} c_{-n} = c_n =\frac{a_n}{2}, \qquad c_{-n} = -c_n = \mathrm{i} \frac{b_n}{2} \end{equation}
由以上两式可得,如果 $f(x)$ 既是实函数又是偶函数时,$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相等的实数,如果既是实函数又是奇函数,$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相反的纯虚数.

5. 性质

\begin{equation} \int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = 2l\sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2 \end{equation}
证明:用狄拉克符号记为 $ \left\lvert f \right\rangle = \sum_n c_n \left\lvert n \right\rangle $,利用基底的正交性(式 5
\begin{equation} \left\langle f \middle| f \right\rangle = \sum_i c_i^* \left\langle i \right\rvert \sum_j c_j \left\lvert j \right\rangle = 2l \sum_{i,j} \left\lvert c_i \right\rvert ^2 \delta_{i,j} = 2l \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2 \end{equation}
如果把基底为正交归一化(每个基底 $ \left\lvert n \right\rangle $ 除以 $\sqrt{2l}$,使得 $ \left\langle i \middle| j \right\rangle = \delta_{i,j}$,则有更简洁的关系
\begin{equation} \int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2 \end{equation}
这叫做 Parseval 定理

6. 任意区间的展开

   类比子节 4 中的讨论,要用指数傅里叶级数展开 $[a, b]$ 区间的函数 $f(x)$,一种方法是令 $l = (b - a)/2$,并把式 2 的积分区间改为 $[a, b]$ 即可.或者也可以取 $l > (b - a)/2$ 的任意实数.


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