贡献者： addis
我们知道有限长区间中一个性质足够良好（满足迪利克雷条件）函数可以展开为三角函数的线性组合，同理，一个性质足够良好的 $N$ 元函数 $f(x_1, \dots, x_N)$ 也可以展开为 $N$ 个三角函数乘积的线性组合
\begin{equation}
f(x_1, \dots, x_N) = \sum_{n_1,\dots, n_N} C_{n_1,\dots, n_N} \exp\left( \mathrm{i} \frac{n_1\pi}{l_1} x_1\right) \dots \exp\left( \mathrm{i} \frac{n_N \pi}{l_N} x_N\right) ~.
\end{equation}
其中 $x_i$ 的区间长度为 $l_i$，每个指标求和时取负无穷到正无穷的所有整数。系数 $C_{n_1,\dots, n_N}$ 可以由 $N$ 重积分得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
C_{i_1,\dots, i_N} &= \frac{1}{2^Nl_1\cdots l_N}\int_{-l_N}^{l_N}\cdots\int_{-l_1}^{l_1} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n_1 \pi}{l_1} x_1\right) \dots \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n_N \pi}{l_N} x_N\right) \\
& \times f(x_1, \dots, x_N) \,\mathrm{d}{x_1} \dots \,\mathrm{d}{x_N} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
为了方便讨论，我们取 $N = 2$，更高元的情况类比可得。区间 $x\in [0, a], y\in [0, b]$ 内的二元函数 $f(x, y)$ 的傅里叶展开为
\begin{equation}
f(x, y) = \sum_{m = -\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty C_{m, n} \exp\left( \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) ~.
\end{equation}
系数由二重积分计算
\begin{equation}
C_{m, n} = \frac{1}{4ab}\int_{-b}^b\int_{-a}^a \exp\left(- \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
可以证明一组正交归一的函数基底为
\begin{equation}
b_{m,n}(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \frac{1}{\sqrt{2b}} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) ~.
\end{equation}
定义讨论的二元函数空间的
内积为
\begin{equation}
\left\langle f_{m',n'} \middle| g_{m,n} \right\rangle = \int_0^a\int_0^b f^*_{m',n'}(x, y) g_{m,n}(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
那么由
式 5 易证基底满足正交归一化条件
\begin{equation}
\left\langle b_{m',n'} \middle| b_{m,n} \right\rangle = \delta_{m,m'} \delta_{n,n'}~.
\end{equation}
未完成：举例
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。