多元函数的傅里叶级数

             

预备知识 傅里叶级数,重积分

   我们知道有限长区间中一个性质足够良好(满足迪利克雷条件)函数可以展开为三角函数的线性组合,同理,一个性质足够良好的 $N$ 元函数 $f(x_1, \dots, x_N)$ 也可以展开为 $N$ 个三角函数乘积的线性组合

\begin{equation} f(x_1, \dots, x_N) = \sum_{n_1,\dots, n_N} C_{n_1,\dots, n_N} \exp\left( \mathrm{i} \frac{n_1\pi}{l_1} x_1\right) \dots \exp\left( \mathrm{i} \frac{n_N \pi}{l_N} x_N\right) \end{equation}
其中 $x_i$ 的区间长度为 $l_i$,每个指标求和时取负无穷到正无穷的所有整数.系数 $C_{n_1,\dots, n_N}$ 可以由 $N$ 重积分得到
\begin{equation} \begin{aligned} C_{i_1,\dots, i_N} &= \frac{1}{2^Nl_1\cdots l_N}\int_{-l_N}^{l_N}\cdots\int_{-l_1}^{l_1} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n_1 \pi}{l_1} x_1\right) \dots \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n_N \pi}{l_N} x_N\right) \\ & \times f(x_1, \dots, x_N) \,\mathrm{d}{x_1} \dots \,\mathrm{d}{x_N} \end{aligned} \end{equation}

   为了方便讨论,我们取 $N = 2$,更高元的情况类比可得.区间 $x\in [0, a], y\in [0, b]$ 内的二元函数 $f(x, y)$ 的傅里叶展开为

\begin{equation} f(x, y) = \sum_{m = -\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty C_{m, n} \exp\left( \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) \end{equation}
系数由二重积分计算
\begin{equation} C_{m, n} = \frac{1}{4ab}\int_{-b}^b\int_{-a}^a \exp\left(- \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}

   可以证明一组正交归一的函数基底为

\begin{equation} b_{m,n}(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \frac{1}{\sqrt{2b}} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) \end{equation}
定义讨论的二元函数空间的内积
\begin{equation} \left\langle f_{m',n'} \middle| g_{m,n} \right\rangle = \int_0^a\int_0^b f^*_{m',n'}(x, y) g_{m,n}(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
那么由式 5 易证基底满足正交归一化条件
\begin{equation} \left\langle b_{m',n'} \middle| b_{m,n} \right\rangle = \delta_{m,m'} \delta_{n,n'} \end{equation}

  

未完成:举例

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