Clebsch–Gordan 系数

贡献者： addis

本文需要更多讲解，便于帮助理解。

预备知识　角动量加法

1. 相位约定

　　任何算符的一组归一化本征基底各自乘以一个任意相位因子 $e^{i ϕ_{I}}$ 仍然是一组归一化的本征基底（本征值不变）。所以基底变换矩阵（如 CG 矩阵），每一行或每一列分别乘以一个相位因子，仍然表示相同的基底变换。这些相位怎么取被称为相位约定（phase convention）。一般的约定¹是使所有 CG 系数为实数，且第一行和第一列（对应最大的 $m_{1}$ 和最大的 $L$ ）的矩阵元大于零。

2. 解析表达式为

　　按照这种相位约定，CG 系数的解析表达式为

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ⟨ l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2} | l_{1}, l_{2}, L, M ⟩ = [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{array}] \\ = \sqrt{\frac{(2 L + 1) (L + l_{1} - l_{2})! (L - l_{1} + l_{2})! (l_{1} + l_{2} - L)!}{(l_{1} + l_{2} + L + 1)!}} \\ \times \sqrt{(L + M)! (L - M)! (l_{1} - m_{1})! (l_{1} + m_{1})! (l_{2} - m_{2})! (l_{2} + m_{2})!} \\ \times \sum_{k = k_{m i n}}^{k_{m a x}} \frac{(- 1)^{k}}{k! (l_{1} + l_{2} - L - k)! (l_{1} - m_{1} - k)! (l_{2} + m_{2} - k)!} \\ \times \frac{1}{(L - l_{2} + m_{1} + k)! (L - l_{1} - m_{2} + k)!}, \end{aligned} \end{matrix}

其中求和的上下限需要保证每个含有

k

的阶乘自变量都大于等于 0，所以有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} k_{m i n} = max {0, l_{2} - m_{1} - L, l_{1} + m_{2} - L}, \\ k_{m a x} = min {l_{1} + l_{2} - L, l_{1} - m_{1}, l_{2} + m_{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

3. 基本选择定则

　　从 “角动量加法” 中可以得到

\begin{matrix} (3) & | l_{1} - l_{2} | ⩽ L ⩽ l_{1} + l_{2} . \end{matrix}

从物理上理解，两个矢量相加得到第三个矢量

v_{1} + v_{2} = v

，则他们的模长

v_{1}, v_{2}, v

必须满足三角不等式

| v_{1} - v_{2} | ⩽ v ⩽ v_{1} + v_{2}

。

　　我们还可以得到

\begin{matrix} (4) & m_{1} + m_{2} = M, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & - L ⩽ M ⩽ L, - l_{1} ⩽ m_{1} ⩽ l_{1}, - l_{2} ⩽ m_{2} ⩽ l_{2} . \end{matrix}

当有可能出现半整数时，还要求²

\begin{matrix} (6) & M + L \in N, m_{1} + l_{1} \in N, m_{2} + l_{2} \in N . \end{matrix}

当且仅当一个 CG 系数满足以上选择定则时，它才会在 CG 表中出现（可能是 0）。

4. 对称性

　　由于 3j 符号具有更简洁的对称性，我们可以用其推导 CG 系数的对称性³

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{array}] & = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ - m_{1} & - m_{2} & - M \end{array}] \\ = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} [\begin{array}{c} l_{2} & l_{1} & L \\ m_{2} & m_{1} & M \end{array}] \\ = (- 1)^{l_{1} - m_{1}} \sqrt{\frac{2 L + 1}{2 l_{2} + 1}} [\begin{array}{c} l_{1} & L & l_{2} \\ m_{1} & - M & - m_{2} \end{array}] \\ = (- 1)^{l_{2} + m_{2}} \sqrt{\frac{2 L + 1}{2 l_{1} + 1}} [\begin{array}{c} L & l_{2} & l_{1} \\ - M & m_{2} & - m_{1} \end{array}] . \end{aligned} \end{matrix}

5. 对称性选择定则

　　符合基本选择定则的 CG 系数也可能为 0。我们可以用更多的选择定则来找到这些系数。由 3j 符号的选择定则（式 7 ，式 8 ），当第一行三个数之和为奇数时⁴

\begin{matrix} (8) & [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & L \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} l & l & L \\ m & m & M \end{matrix}] = [\begin{matrix} l_{1} & l & l \\ m_{1} & m & - m \end{matrix}] = [\begin{matrix} l & l_{2} & l \\ m & m_{2} & - m \end{matrix}] = 0 . \end{matrix}

注意即使加入了这些选择定则，CG 系数仍然可能为零，事实上要找到所有的零系数非常困难⁵。

6. 特殊情况

　　一些情况下式 1 有更简单的表达式

\begin{matrix} (9) & [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & 0 \\ m_{1} & m_{2} & 0 \end{matrix}] = \frac{(- 1)^{l_{1} - m_{1}}}{\sqrt{2 l_{1} + 1}} . \end{matrix}

7. 正交归一性

　　由于 $| l_{1}, l_{2}, L, M ⟩$ 都是正交归一的，所以有

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \sum_{m_{1}, m_{2}} ⟨ l_{1}^{'}, l_{2}^{'}, L^{'}, M^{'} | l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2} ⟩ ⟨ l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2} | l_{1}, l_{2}, L, M ⟩ \\ = δ_{l_{1}, l_{1}^{'}} δ_{l_{2}, l_{2}^{'}} δ_{L, L^{'}} δ_{M, M^{'}}, \end{aligned} \end{matrix}

即

\begin{matrix} (11) & \sum_{m_{1}, m_{2}} [\begin{matrix} l_{1}^{'} & l_{2}^{'} & L^{'} \\ m_{1} & m_{2} & M^{'} \end{matrix}] [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{matrix}] = δ_{l_{1}, l_{1}^{'}} δ_{l_{2}, l_{2}^{'}} δ_{L, L^{'}} δ_{M, M^{'}} . \end{matrix}

根据选择定则，只需要对满足式 4 和式 5 的

m_{1}

和

m_{2}

即可（双重求和变为一次求和）。

8. 与球谐函数的关系

　　三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘⁶

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \int Y_{l_{1} m_{1}} (\hat{r}) Y_{l_{2} m_{2}} (\hat{r}) Y_{l_{3} m_{3}} (\hat{r}) d Ω \\ = (- 1)^{m_{3}} \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1)}{4 π (2 l_{3} + 1)}} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{array}] \\ = \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1) (2 l_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 如 Wikipedia，Griffiths Quandum 的定义
2. ^ 推导过程中注意所有数都可能取半整数。若两个数都是半整数或都是整数，它们相加等于整数，否则相加等于半整数。半整数乘以 2 等于奇数，整数乘以 2 等于偶数。类比：若两个数都是奇数或偶数，它们相加等于偶数，否则相加等于奇数。
3. ^ 下式中如果 $L$ 是整数，那么前面取正负号都行，但如果是半整数，则只能取负号，推导时要注意。
4. ^ 由 CG 系数的对称性推导得到的条件会复杂很多，但与该条件是等价的。
5. ^ 见 T A Heim, J Hinze and A R P Rau, Some classes of `'nontrivial zeroes' of angular momentum addition coefficients，一个例子是 $[\begin{matrix} 3 & 3 & 2 \\ - 2 & 2 & 0 \end{matrix}]$ ，注意第一行之和是偶数。
6. ^ 见 Bransden 附录 A4，以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。