贡献者： addis
1. 相位约定
任何算符的一组归一化本征基底各自乘以一个任意相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \phi_I}$ 仍然是一组归一化的本征基底（本征值不变）。所以基底变换矩阵（如 CG 矩阵），每一行或每一列分别乘以一个相位因子，仍然表示相同的基底变换。这些相位怎么取被称为相位约定（phase convention）。一般的约定1是使所有 CG 系数为实数，且第一行和第一列（对应最大的 $m_1$ 和最大的 $L$）的矩阵元大于零。
2. 解析表达式为
按照这种相位约定，CG 系数的解析表达式为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad \left\langle l_1, m_1, l_2, m_2 \middle| l_1, l_2, L, M \right\rangle = \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} \\
&= \sqrt{\frac{(2L+1)(L+l_1-l_2)!(L-l_1+l_2)!(l_1+l_2-L)!}{(l_1+l_2+L+1)!}}\\
&\times\sqrt{(L+M)!(L-M)!(l_1-m_1)!(l_1+m_1)!(l_2-m_2)!(l_2+m_2)!}\\
&\times\sum_{k = k_{min}}^{k_{max}} \frac{(-1)^k}{k!(l_1+l_2-L-k)!(l_1-m_1-k)!(l_2+m_2-k)!}\\
&\times \frac{1}{(L-l_2+m_1+k)!(L-l_1-m_2+k)!}~,
\end{aligned} \end{equation}
其中求和的上下限需要保证每个含有 $k$ 的阶乘自变量都大于等于 0，所以有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&k_{min} = \max\{0, \ \ l_2 - m_1 - L,\ \ l_1 + m_2 - L\}~, \\
&k_{max} = \min\{l_1+l_2-L,\ \ l_1 - m_1, \ \ l_2 + m_2\}~.
\end{aligned} \end{equation}
3. 基本选择定则
从 “角动量加法” 中可以得到
\begin{equation}
\left\lvert l_1 - l_2 \right\rvert \leqslant L \leqslant l_1 + l_2~.
\end{equation}
从物理上理解，两个矢量相加得到第三个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则他们的模长 $v_1, v_2, v$ 必须满足三角不等式 $ \left\lvert v_1 - v_2 \right\rvert \leqslant v \leqslant v_1 + v_2$。
我们还可以得到
\begin{equation}
m_1 + m_2 = M~,
\end{equation}
\begin{equation}
-L \leqslant M \leqslant L~, \qquad
-l_1 \leqslant m_1 \leqslant l_1~, \qquad
-l_2 \leqslant m_2 \leqslant l_2~.
\end{equation}
当有可能出现半整数时，还要求
2
\begin{equation}
M + L \in \mathbb{N}~, \qquad
m_1 + l_1 \in \mathbb{N}~, \qquad
m_2 + l_2 \in \mathbb{N}~.
\end{equation}
当且仅当一个 CG 系数满足以上选择定则时，它才会在 CG 表中出现（可能是 0）。
4. 对称性
由于 3j 符号具有更简洁的对称性，我们可以用其推导 CG 系数的对称性3
\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}l_1 &l_2 &L\\ m_1 &m_2 &M\end{bmatrix}
&= (-1)^{l_1+l_2-L} \begin{bmatrix}l_1 &l_2 &L\\ -m_1 &-m_2 &-M\end{bmatrix} \\
&= (-1)^{l_1+l_2-L} \begin{bmatrix}l_2 &l_1 &L\\ m_2 &m_1 &M\end{bmatrix} \\
&= (-1)^{l_1-m_1}\sqrt{\frac{2L+1}{2l_2+1}} \begin{bmatrix}l_1 &L &l_2\\ m_1 &-M &-m_2\end{bmatrix} \\
&= (-1)^{l_2+m_2}\sqrt{\frac{2L+1}{2l_1+1}} \begin{bmatrix}L &l_2 &l_1\\ -M & m_2 &-m_1\end{bmatrix} ~.
\end{aligned} \end{equation}
5. 对称性选择定则
符合基本选择定则的 CG 系数也可能为 0。我们可以用更多的选择定则来找到这些系数。由 3j 符号的选择定则（式 7 ，式 8 ），当第一行三个数之和为奇数时4
\begin{equation}
\begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}l & l & L\\ m & m & M\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}l_1 & l & l\\ m_1 & m & -m\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}l & l_2 & l\\ m & m_2 & -m\end{bmatrix}
= 0~.
\end{equation}
注意即使加入了这些选择定则，CG 系数仍然可能为零，事实上要找到所有的零系数非常困难
5。
6. 特殊情况
一些情况下式 1 有更简单的表达式
\begin{equation}
\begin{bmatrix}l_1 & l_2 & 0 \\ m_1 & m_2 & 0\end{bmatrix} = \frac{(-1)^{l_1-m_1}}{\sqrt{2l_1+1}}~.
\end{equation}
7. 正交归一性
由于 $ \left\lvert l_1, l_2, L, M \right\rangle $ 都是正交归一的，所以有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\sum_{m_1, m_2} \left\langle l_1', l_2', L', M' \middle| l_1, m_1, l_2, m_2 \right\rangle \left\langle l_1, m_1, l_2, m_2 \middle| l_1, l_2, L, M \right\rangle \\
&= \delta_{l_1, l_1'} \delta_{l_2, l_2'} \delta_{L, L'} \delta_{M, M'}~,
\end{aligned} \end{equation}
即
\begin{equation}
\sum_{m_1, m_2} \begin{bmatrix}l'_1 & l'_2 & L'\\ m_1& m_2 &M'\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ m_1& m_2 &M\end{bmatrix} = \delta_{l_1, l_1'} \delta_{l_2, l_2'} \delta_{L, L'} \delta_{M, M'}~.
\end{equation}
根据选择定则，只需要对满足
式 4 和
式 5 的 $m_1$ 和 $m_2$ 即可（双重求和变为一次求和）。
8. 与球谐函数的关系
三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘6
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad \int Y_{l_1 m_1} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_3 m_3}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\
&= (-1)^{m_3} \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi(2l_3+1)}} \begin{bmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & -m_3\end{bmatrix} \\
&= \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} ~.
\end{aligned} \end{equation}
1. ^ 如 Wikipedia，Griffiths Quandum 的定义
2. ^ 推导过程中注意所有数都可能取半整数。若两个数都是半整数或都是整数，它们相加等于整数，否则相加等于半整数。半整数乘以 2 等于奇数，整数乘以 2 等于偶数。类比：若两个数都是奇数或偶数，它们相加等于偶数，否则相加等于奇数。
3. ^ 下式中如果 $L$ 是整数，那么前面取正负号都行，但如果是半整数，则只能取负号，推导时要注意。
4. ^ 由 CG 系数的对称性推导得到的条件会复杂很多，但与该条件是等价的。
5. ^ 见 T A Heim, J Hinze and A R P Rau, Some classes of `'nontrivial zeroes' of angular momentum addition coefficients，一个例子是 $ \begin{bmatrix}3 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 0\end{bmatrix} $，注意第一行之和是偶数。
6. ^ 见 Bransden 附录 A4，以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面
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