Clebsch–Gordan 系数

                     

贡献者: addis

  • 本文需要更多讲解,便于帮助理解。
预备知识 角动量加法

1. 相位约定

   任何算符的一组归一化本征基底各自乘以一个任意相位因子 eiϕI 仍然是一组归一化的本征基底(本征值不变)。所以基底变换矩阵(如 CG 矩阵),每一行或每一列分别乘以一个相位因子,仍然表示相同的基底变换。这些相位怎么取被称为相位约定(phase convention)。一般的约定1是使所有 CG 系数为实数,且第一行和第一列(对应最大的 m1 和最大的 L)的矩阵元大于零。

2. 解析表达式为

   按照这种相位约定,CG 系数的解析表达式为

(1)l1,m1,l2,m2|l1,l2,L,M=[l1l2Lm1m2M]=(2L+1)(L+l1l2)!(Ll1+l2)!(l1+l2L)!(l1+l2+L+1)!×(L+M)!(LM)!(l1m1)!(l1+m1)!(l2m2)!(l2+m2)!×k=kminkmax(1)kk!(l1+l2Lk)!(l1m1k)!(l2+m2k)!×1(Ll2+m1+k)!(Ll1m2+k)! ,
其中求和的上下限需要保证每个含有 k 的阶乘自变量都大于等于 0,所以有
(2)kmin=max{0,  l2m1L,  l1+m2L} ,kmax=min{l1+l2L,  l1m1,  l2+m2} .

3. 基本选择定则

   从 “角动量加法” 中可以得到

(3)|l1l2|Ll1+l2 .
从物理上理解,两个矢量相加得到第三个矢量 v1+v2=v,则他们的模长 v1,v2,v 必须满足三角不等式 |v1v2|vv1+v2

   我们还可以得到

(4)m1+m2=M ,
(5)LML ,l1m1l1 ,l2m2l2 .
当有可能出现半整数时,还要求2
(6)M+LN ,m1+l1N ,m2+l2N .
当且仅当一个 CG 系数满足以上选择定则时,它才会在 CG 表中出现(可能是 0)。

4. 对称性

   由于 3j 符号具有更简洁的对称性,我们可以用其推导 CG 系数的对称性3

(7)[l1l2Lm1m2M]=(1)l1+l2L[l1l2Lm1m2M]=(1)l1+l2L[l2l1Lm2m1M]=(1)l1m12L+12l2+1[l1Ll2m1Mm2]=(1)l2+m22L+12l1+1[Ll2l1Mm2m1] .

5. 对称性选择定则

   符合基本选择定则的 CG 系数也可能为 0。我们可以用更多的选择定则来找到这些系数。由 3j 符号的选择定则(式 7 式 8 ),当第一行三个数之和为奇数时4

(8)[l1l2L000]=[llLmmM]=[l1llm1mm]=[ll2lmm2m]=0 .
注意即使加入了这些选择定则,CG 系数仍然可能为零,事实上要找到所有的零系数非常困难5

6. 特殊情况

   一些情况下式 1 有更简单的表达式

(9)[l1l20m1m20]=(1)l1m12l1+1 .

7. 正交归一性

   由于 |l1,l2,L,M 都是正交归一的,所以有

(10)m1,m2l1,l2,L,M|l1,m1,l2,m2l1,m1,l2,m2|l1,l2,L,M=δl1,l1δl2,l2δL,LδM,M ,
(11)m1,m2[l1l2Lm1m2M][l1l2Lm1m2M]=δl1,l1δl2,l2δL,LδM,M .
根据选择定则,只需要对满足式 4 式 5 m1m2 即可(双重求和变为一次求和)。

8. 与球谐函数的关系

   三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘6

(12)Yl1m1(r^)Yl2m2(r^)Yl3m3(r^)dΩ=(1)m3(2l1+1)(2l2+1)4π(2l3+1)[l1l2l3000][l1l2l3m1m2m3]=(2l1+1)(2l2+1)(2l3+1)4π(l1l2l3000)(l1l2l3m1m2m3) .


1. ^ 如 Wikipedia,Griffiths Quandum 的定义
2. ^ 推导过程中注意所有数都可能取半整数。若两个数都是半整数或都是整数,它们相加等于整数,否则相加等于半整数。半整数乘以 2 等于奇数,整数乘以 2 等于偶数。类比:若两个数都是奇数或偶数,它们相加等于偶数,否则相加等于奇数。
3. ^ 下式中如果 L 是整数,那么前面取正负号都行,但如果是半整数,则只能取负号,推导时要注意。
4. ^ 由 CG 系数的对称性推导得到的条件会复杂很多,但与该条件是等价的。
5. ^ 见 T A Heim, J Hinze and A R P Rau, Some classes of `'nontrivial zeroes' of angular momentum addition coefficients,一个例子是 [332220],注意第一行之和是偶数。
6. ^ 见 Bransden 附录 A4,以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面


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