Clebsch–Gordan 系数
贡献者: addis
1. 相位约定
任何算符的一组归一化本征基底各自乘以一个任意相位因子 仍然是一组归一化的本征基底(本征值不变)。所以基底变换矩阵(如 CG 矩阵),每一行或每一列分别乘以一个相位因子,仍然表示相同的基底变换。这些相位怎么取被称为相位约定(phase convention)。一般的约定1是使所有 CG 系数为实数,且第一行和第一列(对应最大的 和最大的 )的矩阵元大于零。
2. 解析表达式为
按照这种相位约定,CG 系数的解析表达式为
其中求和的上下限需要保证每个含有 的阶乘自变量都大于等于 0,所以有
3. 基本选择定则
从 “角动量加法” 中可以得到
从物理上理解,两个矢量相加得到第三个矢量 ,则他们的模长 必须满足三角不等式 。
我们还可以得到
当有可能出现半整数时,还要求
2
当且仅当一个 CG 系数满足以上选择定则时,它才会在 CG 表中出现(可能是 0)。
4. 对称性
由于 3j 符号具有更简洁的对称性,我们可以用其推导 CG 系数的对称性3
5. 对称性选择定则
符合基本选择定则的 CG 系数也可能为 0。我们可以用更多的选择定则来找到这些系数。由 3j 符号的选择定则(式 7 ,式 8 ),当第一行三个数之和为奇数时4
注意即使加入了这些选择定则,CG 系数仍然可能为零,事实上要找到所有的零系数非常困难
5。
6. 特殊情况
一些情况下式 1 有更简单的表达式
7. 正交归一性
由于 都是正交归一的,所以有
即
根据选择定则,只需要对满足
式 4 和
式 5 的 和 即可(双重求和变为一次求和)。
8. 与球谐函数的关系
三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘6
1. ^ 如 Wikipedia,Griffiths Quandum 的定义
2. ^ 推导过程中注意所有数都可能取半整数。若两个数都是半整数或都是整数,它们相加等于整数,否则相加等于半整数。半整数乘以 2 等于奇数,整数乘以 2 等于偶数。类比:若两个数都是奇数或偶数,它们相加等于偶数,否则相加等于奇数。
3. ^ 下式中如果 是整数,那么前面取正负号都行,但如果是半整数,则只能取负号,推导时要注意。
4. ^ 由 CG 系数的对称性推导得到的条件会复杂很多,但与该条件是等价的。
5. ^ 见 T A Heim, J Hinze and A R P Rau, Some classes of `'nontrivial zeroes' of angular momentum addition coefficients,一个例子是 ,注意第一行之和是偶数。
6. ^ 见 Bransden 附录 A4,以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面
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