电多极展开(球坐标)

                     

贡献者: addis

预备知识 1 球谐函数,电偶极子

  1若空间中的一个球内(r<a)存在静止的电荷分布 ρ(r),那么球外的电势 V(r)r>a)可以展开为径向函数和球谐函数之积的形式

(1)V(r)=14πϵ0l=01rl+1m=llCl,mYl,m(r^)(ra) .
其中常数 Cl,m 为(证明见下文)
(2)Cl,m=4π2l+1rarlρ(r)Yl,m(r^)d3r .
由于 ρ,V 都是实函数,有(式 12
(3)Cl,m=(1)mCl,m .
这其实相当于使用实球谐函数作为基底。

   式中 l=0 的项就是电单极子(electric monopole) 具有球对称的电荷分布和势能分布,l=1 的项都是电偶极子(dipole)cosθ),l=2 的项都是电四极子(electric quadrupole)…… l=N 的项叫做电 2N 极子。

   当电荷分布关于极轴对称时,求和中只需要 m=0 的项,也就是说只有 Cl,0 不为零,且为实数。

   为什么这么叫呢?因为电 2N 极子产生的势能项可以用 2N1 个电荷为 q 的点电荷以及 2N1 个电荷为 q 的点电荷按照一定空间位置摆放后,取 r 得到。用数学归纳法的思想,我们可以认为若电 2N1 极子是一个点,渐进势能为 1/rN,那么把两个电荷相反的 2N1 极子放在一根短棍的两端组成电 2N 极子,那么渐进势能就必须是更高阶无穷小,即 1/rN+1

   电多极展开的优势在于只需要预先算出系数 Cl,m 就可以无需积分得到球外任意位置的电势分布。而如果用常规的方法,则计算每个位置的电势都需要重新做一次积分(式 17 )。而它的缺点在于实际计算中必须取式 1 中的有限项,会产生截断误差。另一点是无法计算球内的电势分布。

对比直角坐标电偶极子

   令 l=0,对比式 2 可得(参考式 26

(4)pz=ρ(r)zd3r=123πC1,0 ,(5)px=ρ(r)xd3r=32πC1,1C1,12=32πRe[C1,1] ,(6)py=ρ(r)yd3r=32πC1,1+C1,12i=32πIm[C1,1] .
未完成:高阶项如何对应到直角坐标版本?
(7)V(r)=14πϵ0[QR(p)1R+12(i,jDij2xixj)1R+] .
(8)Dij=xixjρ(r)d3r .
这是一个实对称矩阵。

(9)xi1r=xi/rr2 .
(10)2xixj1r=3xixj/r2δijr3 .
(提示:xi1r3=3xir5

   根据 Wikipedia 的球谐函数表,可以把 l=2 的球谐函数对应到 xixj。所以对 l=2,球谐函数的多级展开和直角坐标版本也可以一一对应(但貌似只能凑出 3xi2r2)。

1. 电场

   对式 1 求负梯度即可得到球外的电场分布

(11)E(r)=V(r) .
使用球坐标中的梯度算符(式 1
(12)V=Vrr^+1rVθθ^+1rsinθVϕϕ^ .
未完成:引用勒让德多项式求导性质

内展开

   相反,若电荷分布 ρ(r) 只存在于 ra 的球外空间,那么可以把球内部任意点的电势 V(r) 展开为

(13)V(r)=l=0rlm=llDl,mYl,m(r^) ,(ra) .
其中(证明见下文)
(14)Dl,m=1(2l+1)ϵ0ra1rl+1ρ(r)Yl,m(r^)d3r .

一般展开

   要求任意给定点 r 的电势,可取过该点的球面 a=r,并把式 1 式 13 合并就可以得到 r 取任意值的展开

(15)V(r)=l=0m=ll[1rl+1Cl,m(r)+rlDl,m(r)]Yl,m(r^) .
但这计算起来比较麻烦,因为现在 Cl,m,Dl,m 成了 r 的函数,对每个在 ρ(r)0 范围的 r 都需要计算一次积分,当 r 大于 ρ(r) 的最大半径(如果存在),Cl,m 重新变为常数,Dl,m=0,就回到式 1 。当 r 小于 ρ(r) 的最小半径(如果不为零),Dl,m 重新变为常数,Cl,m=0,就回到式 13

2. 证明

预备知识 2 库仑势能的球谐展开

   首先我们给出单个点电荷势能的球谐展开公式

(16)1|rr|=4πl=012l+1r<lr>l+1m=llYl,m(r^)Yl,m(r^) .
其中 r<=min{r,r}r>=max{r,r}。另外连续电荷分布的库仑势能公式为(式 7
(17)V(r)=14πϵ0ρ(r)|rr|d3r .

   若我们要求电荷必须在球内(ra)而 V(r) 中的 r 必须在球外(ra),那么始终有 r>=r,r<=r,代入式 16 再代入式 17 可得式 1

   反之,若电荷分布 ra,场点 ra,那么始终有 r>=r,r<=r。代入式 16 再代入式 17 式 13


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面,以及 [1]


[1] ^ David Jackson. Classical Electrodynamics 3ed

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