电多极展开

             

预备知识 球谐函数,电偶极子

   若空间中的一个球内($r < a$)存在静止的电荷分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,那么球外的电势 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$($r > a$)可以展开为径向函数和球谐函数之积的形式

\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l = 0}^\infty \frac{1}{r^{l+1}}\sum_{m = -l}^l C_{l,m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \qquad (r \geqslant a) \end{equation}
其中常数 $C_{l,m}$ 为(证明见下文)
\begin{equation} C_{l,m} = \frac{4\pi}{2l+1} \int_{r\leqslant a} r^l \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}

   $l = 0$ 的项就是电单极子(electric monopole) 具有球对称的电荷分布和势能分布,$l = 1$ 的项就是电偶极子(dipole)($\propto\cos \theta$),$l = 2$ 的项是电四极子(quadrupole)…… $l = N$ 的项叫做电 $2^N$ 极子.

   为什么这么叫呢?因为电 $2^N$ 极子产生的势能项可以用 $2^{N-1}$ 个电荷为 $q$ 的点电荷以及 $2^{N-1}$ 个电荷为 $-q$ 的点电荷按照一定空间位置摆放后,取 $r \to \infty$ 得到.用数学归纳法的思想,我们可以认为若电 $2^{N-1}$ 极子是一个点,渐进势能为 $\sim 1/r^N$,那么把两个电荷相反的 $2^{N-1}$ 极子放在一根短棍的两端组成电 $2^N$ 极子,那么渐进势能就必须是更高阶无穷小,即 $\sim 1/r^{N+1}$.

   电多极展开的优势在于只需要预先算出系数 $C_{l,m}$ 就可以无需积分得到球外任意位置的电势分布.而如果用常规的方法,则计算每个位置的电势都需要重新做一次积分(式 9 ).而它的缺点在于实际计算中必须取式 1 中的有限项,会产生截断误差.另一点是无法计算球内的电势分布.

1. 电场

   对式 1 求负梯度即可得到球外的电场分布

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
使用球坐标中的梯度算符(式 1
\begin{equation} \boldsymbol\nabla V = \frac{\partial V}{\partial r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{1}{r\sin \theta } \frac{\partial V}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
未完成:引用勒让德多项式求导性质

内展开

   相反,若电荷分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 只存在于 $r \geqslant a$ 的球外空间,那么可以把球内部任意点的电势 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 展开为

\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l = 0}^\infty r^l \sum_{m = -l}^l D_{l,m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \qquad (r \leqslant a) \end{equation}
其中(证明见下文)
\begin{equation} D_{l,m} = \frac{1}{(2l+1)\epsilon_0} \int_{r\geqslant a} \frac{1}{r^{l+1}} \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}

一般展开

   要求任意给定点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的电势,可取过该点的球面 $a = r$,并把式 1 式 5 合并就可以得到 $r$ 取任意值的展开

\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l \left[\frac{1}{r^{l+1}} C_{l,m}(r) + r^l D_{l,m}(r) \right] Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
但这计算起来比较麻烦,因为现在 $C_{l,m}, D_{l,m}$ 成了 $r$ 的函数,对每个在 $\rho(r)\ne 0$ 范围的 $r$ 都需要计算一次积分,当 $r$ 大于 $\rho(r)$ 的最大半径(如果存在),$C_{l,m}$ 重新变为常数,$D_{l,m}= 0$,就回到式 1 .当 $r$ 小于 $\rho(r)$ 的最小半径(如果不为零),$D_{l,m}$ 重新变为常数,$C_{l,m} = 0$,就回到式 5

2. 证明

   首先我们给出单个点电荷势能的球谐展开公式(链接未完成)

\begin{equation} \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } = 4\pi \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{2l+1} \frac{r_ < ^l}{r_ > ^{l+1}} \sum_{m = -l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ') Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
其中 $r_ < = \min \left\{r, r' \right\} $,$r_ > = \max \left\{r, r' \right\} $.另外连续电荷分布的库仑势能公式为(式 7
\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}

   若我们要求电荷必须在球内($r' \leqslant a$)而 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 必须在球外($r \geqslant a$),那么始终有 $r_ > = r, r_ < = r'$,代入式 8 再代入式 9 可得式 1

   反之,若电荷分布 $r' \geqslant a$,场点 $r \leqslant a$,那么始终有 $r_ > = r', r_ < = r$.代入式 8 再代入式 9 式 5

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