电多极展开(球坐标)
贡献者: addis
1若空间中的一个球内()存在静止的电荷分布 ,那么球外的电势 ()可以展开为径向函数和球谐函数之积的形式
其中常数 为(证明见下文)
由于 都是实函数,有(
式 12 )
这其实相当于使用
实球谐函数作为基底。
式中 的项就是电单极子(electric monopole) 具有球对称的电荷分布和势能分布, 的项都是电偶极子(dipole)(), 的项都是电四极子(electric quadrupole)…… 的项叫做电 极子。
当电荷分布关于极轴对称时,求和中只需要 的项,也就是说只有 不为零,且为实数。
为什么这么叫呢?因为电 极子产生的势能项可以用 个电荷为 的点电荷以及 个电荷为 的点电荷按照一定空间位置摆放后,取 得到。用数学归纳法的思想,我们可以认为若电 极子是一个点,渐进势能为 ,那么把两个电荷相反的 极子放在一根短棍的两端组成电 极子,那么渐进势能就必须是更高阶无穷小,即 。
电多极展开的优势在于只需要预先算出系数 就可以无需积分得到球外任意位置的电势分布。而如果用常规的方法,则计算每个位置的电势都需要重新做一次积分(式 17 )。而它的缺点在于实际计算中必须取式 1 中的有限项,会产生截断误差。另一点是无法计算球内的电势分布。
对比直角坐标电偶极子
令 ,对比式 2 可得(参考式 26 )
未完成:高阶项如何对应到直角坐标版本?
这是一个实对称矩阵。
(提示:)
根据 Wikipedia 的球谐函数表,可以把 的球谐函数对应到 。所以对 ,球谐函数的多级展开和直角坐标版本也可以一一对应(但貌似只能凑出 )。
1. 电场
对式 1 求负梯度即可得到球外的电场分布
使用球坐标中的梯度算符(
式 1 )
未完成:引用勒让德多项式求导性质
内展开
相反,若电荷分布 只存在于 的球外空间,那么可以把球内部任意点的电势 展开为
其中(证明见下文)
一般展开
要求任意给定点 的电势,可取过该点的球面 ,并把式 1 和式 13 合并就可以得到 取任意值的展开
但这计算起来比较麻烦,因为现在 成了 的函数,对每个在 范围的 都需要计算一次积分,当 大于 的最大半径(如果存在), 重新变为常数,,就回到
式 1 。当 小于 的最小半径(如果不为零), 重新变为常数,,就回到
式 13 。
2. 证明
首先我们给出单个点电荷势能的球谐展开公式
其中 ,。另外连续电荷分布的库仑势能公式为(
式 7 )
若我们要求电荷必须在球内()而 中的 必须在球外(),那么始终有 ,代入式 16 再代入式 17 可得式 1 。
反之,若电荷分布 ,场点 ,那么始终有 。代入式 16 再代入式 17 得式 13 。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面,以及 [1]。
[1] ^ David Jackson. Classical Electrodynamics 3ed
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