电多极展开（球坐标）

贡献者： addis

预备知识 1　球谐函数，电偶极子

　　¹若空间中的一个球内（ $r < a$ ）存在静止的电荷分布 $ρ (r)$ ，那么球外的电势 $V (r)$ （ $r > a$ ）可以展开为径向函数和球谐函数之积的形式

\begin{matrix} (1) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{1}{r^{l + 1}} \sum_{m = - l}^{l} C_{l, m} Y_{l, m} (\hat{r}) (r ⩾ a) . \end{matrix}

其中常数

C_{l, m}

为（证明见下文）

\begin{matrix} (2) & C_{l, m} = \frac{4 π}{2 l + 1} \int_{r ⩽ a} r^{l} ρ (r) Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) d^{3} r . \end{matrix}

由于

ρ, V

都是实函数，有（式 12 ）

\begin{matrix} (3) & C_{l, m} = (- 1)^{m} C_{l, - m}^{*} . \end{matrix}

这其实相当于使用实球谐函数作为基底。

　　式中 $l = 0$ 的项就是电单极子（electric monopole） 具有球对称的电荷分布和势能分布， $l = 1$ 的项都是电偶极子（dipole）（ $\propto \cos θ$ ）， $l = 2$ 的项都是电四极子（electric quadrupole）…… $l = N$ 的项叫做电 $2^{N}$ 极子。

　　当电荷分布关于极轴对称时，求和中只需要 $m = 0$ 的项，也就是说只有 $C_{l, 0}$ 不为零，且为实数。

　　为什么这么叫呢？因为电 $2^{N}$ 极子产生的势能项可以用 $2^{N - 1}$ 个电荷为 $q$ 的点电荷以及 $2^{N - 1}$ 个电荷为 $- q$ 的点电荷按照一定空间位置摆放后，取 $r \to \infty$ 得到。用数学归纳法的思想，我们可以认为若电 $2^{N - 1}$ 极子是一个点，渐进势能为 $\sim 1 / r^{N}$ ，那么把两个电荷相反的 $2^{N - 1}$ 极子放在一根短棍的两端组成电 $2^{N}$ 极子，那么渐进势能就必须是更高阶无穷小，即 $\sim 1 / r^{N + 1}$ 。

　　电多极展开的优势在于只需要预先算出系数 $C_{l, m}$ 就可以无需积分得到球外任意位置的电势分布。而如果用常规的方法，则计算每个位置的电势都需要重新做一次积分（式 17 ）。而它的缺点在于实际计算中必须取式 1 中的有限项，会产生截断误差。另一点是无法计算球内的电势分布。

对比直角坐标电偶极子

　　令 $l = 0$ ，对比式 2 可得（参考式 26 ）

\begin{aligned} (4) & p_{z} & = \int ρ (r) z d^{3} r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{π}} C_{1, 0}, \\ (5) & p_{x} & = \int ρ (r) x d^{3} r = \sqrt{\frac{3}{2 π}} \frac{C_{1, - 1} - C_{1, 1}}{2} = - \sqrt{\frac{3}{2 π}} Re [C_{1, 1}], \\ (6) & p_{y} & = \int ρ (r) y d^{3} r = \sqrt{\frac{3}{2 π}} \frac{C_{1, - 1} + C_{1, 1}}{2 i} = \sqrt{\frac{3}{2 π}} Im [C_{1, 1}] . \end{aligned}

未完成：高阶项如何对应到直角坐标版本？

\begin{matrix} (7) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} [\frac{Q}{R} - (p \cdot \nabla) \frac{1}{R} + \frac{1}{2} (\sum_{i, j} D_{i j} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}) \frac{1}{R} + \dots] . \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & D_{i j} = \int x_{i} x_{j} ρ (r) d^{3} r . \end{matrix}

这是一个实对称矩阵。

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{1}{r} = - \frac{x_{i} / r}{r^{2}} . \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{1}{r} = \frac{3 x_{i} x_{j} / r^{2} - δ_{i j}}{r^{3}} . \end{matrix}

（提示：

\frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{1}{r^{3}} = - \frac{3 x_{i}}{r^{5}}

）

　　根据 Wikipedia 的球谐函数表，可以把 $l = 2$ 的球谐函数对应到 $x_{i} x_{j}$ 。所以对 $l = 2$ ，球谐函数的多级展开和直角坐标版本也可以一一对应（但貌似只能凑出 $3 x_{i}^{2} - r^{2}$ ）。

1. 电场

　　对式 1 求负梯度即可得到球外的电场分布

\begin{matrix} (11) & E (r) = - \nabla V (r) . \end{matrix}

使用球坐标中的梯度算符（式 1 ）

\begin{matrix} (12) & \nabla V = \frac{\partial V}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} \hat{θ} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial V}{\partial ϕ} \hat{ϕ} . \end{matrix}

未完成：引用勒让德多项式求导性质

内展开

　　相反，若电荷分布 $ρ (r)$ 只存在于 $r ⩾ a$ 的球外空间，那么可以把球内部任意点的电势 $V (r)$ 展开为

\begin{matrix} (13) & V (r) = \sum_{l = 0}^{\infty} r^{l} \sum_{m = - l}^{l} D_{l, m} Y_{l, m} (\hat{r}), (r ⩽ a) . \end{matrix}

其中（证明见下文）

\begin{matrix} (14) & D_{l, m} = \frac{1}{(2 l + 1) ϵ_{0}} \int_{r ⩾ a} \frac{1}{r^{l + 1}} ρ (r) Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) d^{3} r . \end{matrix}

一般展开

　　要求任意给定点 $r$ 的电势，可取过该点的球面 $a = r$ ，并把式 1 和式 13 合并就可以得到 $r$ 取任意值的展开

\begin{matrix} (15) & V (r) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} [\frac{1}{r^{l + 1}} C_{l, m} (r) + r^{l} D_{l, m} (r)] Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{matrix}

但这计算起来比较麻烦，因为现在

C_{l, m}, D_{l, m}

成了

r

的函数，对每个在

ρ (r) \neq 0

范围的

r

都需要计算一次积分，当

r

大于

ρ (r)

的最大半径（如果存在），

C_{l, m}

重新变为常数，

D_{l, m} = 0

，就回到式 1 。当

r

小于

ρ (r)

的最小半径（如果不为零），

D_{l, m}

重新变为常数，

C_{l, m} = 0

，就回到式 13 。

2. 证明

预备知识 2　库仑势能的球谐展开

　　首先我们给出单个点电荷势能的球谐展开公式

\begin{matrix} (16) & \frac{1}{| r - r^{'} |} = 4 π \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{1}{2 l + 1} \frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l + 1}} \sum_{m = - l}^{l} Y_{l, m}^{*} ({\hat{r}}^{'}) Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{matrix}

其中

r_{<} = min {r, r^{'}}

，

r_{>} = max {r, r^{'}}

。另外连续电荷分布的库仑势能公式为（式 7 ）

\begin{matrix} (17) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'})}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'} . \end{matrix}

　　若我们要求电荷必须在球内（ $r^{'} ⩽ a$ ）而 $V (r)$ 中的 $r$ 必须在球外（ $r ⩾ a$ ），那么始终有 $r_{>} = r, r_{<} = r^{'}$ ，代入式 16 再代入式 17 可得式 1 。

　　反之，若电荷分布 $r^{'} ⩾ a$ ，场点 $r ⩽ a$ ，那么始终有 $r_{>} = r^{'}, r_{<} = r$ 。代入式 16 再代入式 17 得式 13 。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面，以及 [1]。

[1] ^ David Jackson. Classical Electrodynamics 3ed

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