多元函数积分和宇称

             

预备知识 定积分

   如果一个 $N$ 维欧几里得空间中的函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(x_1, x_2, \dots, x_N)$ 满足 $f(- \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,我们就说它具有偶宇称(even parity),如果满足 $f(- \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 我们就说它有奇宇称(odd parity)

   我们以下要说明的结论是:在中心对称的定义域(即如果 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在定义域中,$- \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 也在定义域中),具有奇宇称的函数的定积分为 0,具有偶宇称的函数的定积分可能不为 0.

   对于 $N = 1, 2, 3$,这是容易理解的,例如一元函数 $\sin x$ 具有奇宇称,所以在任意对称的区间 $[-a, a]$ 做定积分都为 0.又例如二元函数 $x^3 + y^3$ 和三元函数 $ \sin\left(x + y + z\right) $ 也具有奇宇称.证明的思想很简单,做定积分时每个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的 “微元” $ \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $ 都会在 $- \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处有一个函数值为相反数的 “微元”,使两个微元的积分互相抵消.

例 1 极坐标中的函数的宇称

   极坐标中的函数

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(r, \theta) = r \sin\left(\theta\right) \end{equation}
具有奇宇称(将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 变为 $- \boldsymbol{\mathbf{r}} $,只需要将 $\theta$ 加上 $\pi$ 即可,而 $ \sin\left(\theta + \pi\right) = -\sin\theta$).如果在一个圆环形区域上做定积分,就有
\begin{equation} \int_0^{2\pi} \int_b^a f(r, \theta) \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = 0 \end{equation}

   另一种情况如三维空间中的二维曲面上的积分,如球谐函数满足(见式 15

\begin{equation} Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
也就是说当 $l$ 为奇数时球谐函数具有奇宇称,偶数时具有偶宇称.所以在对整个球面积分时,前者必为零.

1. 宇称函数相乘

   如果两个函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 分别可能具有奇宇称或偶宇称,它们相乘所得的函数 $h( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的宇称如何呢?从定义不难证明,如果二者宇称相同,那么 $h( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 具有偶宇称,如果一奇一偶,则是奇宇称.

习题 1 

   求球坐标系中函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = r^{100} \sin\left(99\theta\right) Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 的宇称.

习题 2 

   求单位球面上的积分(星号表示复共轭)

\begin{equation} \int Y_{99, 77}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{71, -30}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{53, 20}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \end{equation}

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