球坐标系中的拉普拉斯方程
贡献者: addis; _Eden_
预备知识 球坐标系中的拉普拉斯算符
,分离变量法解偏微分方程
三维空间的拉普拉斯方程为
使用
球坐标系中的拉普拉斯算子得
其通解为
其中 是
球谐函数。
1. 推导
球坐标系中,可以将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分(式 6 )
则
式 1 两边乘以 得
注意第一项只含有 的偏导,第二项只含有 的偏导。用分离变量法,令 ( 是 的简写),则分离后的
径向方程和
角向方程分别为
角向方程还可以进一步分离变量,令 ,有
注意前二项只含 ,第三项只含 。一般令前两项之和为常数 ,则第三项为 。这样我们就成功分离出了三个常微分方程,下面分别介绍。
径向方程是欧拉型方程
使用变量代换 解得
关于 的方程是
使用变量代换 得
或
该式被称为
连带勒让德方程,解为连带勒让德函数 。
关于 的方程是
该方程的解为 。原则上 可以取任意实数,但由于球坐标中的
循环边界条件要求 , 只能取任意整数。
综上,球坐标中拉普拉斯方程的通解为
我们一般把在单位球面上归一化后的 称为
球谐函数,记为 (满足角向方程
式 7 ),则通解也可记为
式 3 。
如果考虑的问题具有 方向的对称性,那么 的展开式中将只涉及到 的球谐函数,这时连带勒让德函数就退化为勒让德多项式。这对求解具体的静电边值问题有很大帮助。
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