贡献者： addis; _Eden_
预备知识 球坐标系中的拉普拉斯算符
，分离变量法解偏微分方程
三维空间的拉普拉斯方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0~.
\end{equation}
使用
球坐标系中的拉普拉斯算子得
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} = 0~,
\end{equation}
其通解为
\begin{equation}
f(r, \theta, \phi) = \sum_{l,m} \left(A_{l,m} r^l + \frac{B_{l,m}}{r^{l+1}} \right) Y_{l,m} (\theta, \phi)~,
\end{equation}
其中 $Y_{l,m}$ 是
球谐函数。
1. 推导
球坐标系中，可以将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分（式 6 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 = \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 _{\Omega}}{r^2} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} ~,
\end{equation}
则
式 1 两边乘以 $r^2$ 得
\begin{equation}
\left(r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega \right) f = 0~.
\end{equation}
注意第一项只含有 $r$ 的偏导，第二项只含有 $\theta,\phi$ 的偏导。用分离变量法，令 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = R(r) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$（$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 是 $\theta, \phi$ 的简写），则分离后的
径向方程和
角向方程分别为
\begin{equation}
r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _r R(r) = l(l+1)R(r)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 _{\Omega} Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = -l(l+1) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
角向方程还可以进一步分离变量，令 $Y(\theta,\phi) = \Theta(\theta)\Phi(\phi)$，有
\begin{equation}
l(l+1)\sin^2 \theta + \left. \sin\theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta} \right) \middle/ \Theta + \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\phi}^{2}} \middle/ \Phi = 0~. \right.
\end{equation}
注意前二项只含 $\theta$，第三项只含 $\phi$。一般令前两项之和为常数 $m^2$，则第三项为 $-m^2$。这样我们就成功分离出了三个常微分方程，下面分别介绍。
径向方程是欧拉型方程
\begin{equation}
r^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{R}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + 2r \frac{\mathrm{d}{R}}{\mathrm{d}{r}} - l(l+1)R = 0~,
\end{equation}
使用变量代换 $t = \ln r$ 解得
\begin{equation}
R(r) = C_1 r^l + \frac{C_2}{r^{l+1}}~.
\end{equation}
关于 $\theta$ 的方程是
\begin{equation}
\sin^2\theta \frac{\mathrm{d}^{2}{\Theta}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + \sin\theta\cos\theta \frac{\mathrm{d}{\Theta}}{\mathrm{d}{\theta}} + [l(l+1)\sin^2\theta - m^2] \Theta = 0~.
\end{equation}
使用变量代换 $x = \cos\theta$ 得
\begin{equation}
(1-x^2) \frac{\mathrm{d}^{2}{\Theta}}{\mathrm{d}{x}^{2}} - 2x \frac{\mathrm{d}{\Theta}}{\mathrm{d}{x}} + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] \Theta = 0~,
\end{equation}
或
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}{\Theta}}{\mathrm{d}{x}} \right] + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] \Theta = 0~.
\end{equation}
该式被称为
连带勒让德方程，解为连带勒让德函数 $P_l^m(x) = P_l^m(\cos\theta)$。
关于 $\phi$ 的方程是
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{\Phi}}{\mathrm{d}{\phi}^{2}} = -m^2 \Phi~,
\end{equation}
该方程的解为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}$。原则上 $m$ 可以取任意实数，但由于球坐标中的
循环边界条件要求 $\Phi(\phi + 2\pi) = \Phi(\phi)$，$m$ 只能取任意整数。
综上，球坐标中拉普拉斯方程的通解为
\begin{equation}
f(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^l \left(C_{l,m} r^l + \frac{C'_{l,m}}{r^{l+1}} \right) P_l^m(\cos\theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}~.
\end{equation}
我们一般把在单位球面上归一化后的 $\Theta(\theta)\Phi(\phi)$ 称为
球谐函数，记为 $Y_{l,m}(\theta,\phi)$（满足角向方程
式 7 ），则通解也可记为
式 3 。
如果考虑的问题具有 $\phi$ 方向的对称性，那么 $f(r,\theta,\phi)$ 的展开式中将只涉及到 $m=0$ 的球谐函数，这时连带勒让德函数就退化为勒让德多项式。这对求解具体的静电边值问题有很大帮助。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。