球坐标系中的拉普拉斯方程

                     

贡献者: addis; _Eden_

预备知识 球坐标系中的拉普拉斯算符,分离变量法解偏微分方程

   三维空间的拉普拉斯方程为

(1)2f(r)=0 .
使用球坐标系中的拉普拉斯算子
(2)r(r2ur)+1sinθθ(sinθuθ)+1sin2θ2uϕ2=0 ,
其通解为
(3)f(r,θ,ϕ)=l,m(Al,mrl+Bl,mrl+1)Yl,m(θ,ϕ) ,
其中 Yl,m球谐函数

1. 推导

   球坐标系中,可以将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分(式 6

(4)2=r2+Ω2r2=1r2r(r2ur)+1r2sinθθ(sinθuθ)+1r2sin2θ2uϕ2 ,
式 1 两边乘以 r2
(5)(r2r2+Ω2)f=0 .
注意第一项只含有 r 的偏导,第二项只含有 θ,ϕ 的偏导。用分离变量法,令 f(r)=R(r)Y(r^)r^θ,ϕ 的简写),则分离后的径向方程角向方程分别为
(6)r2r2R(r)=l(l+1)R(r) ,
(7)Ω2Y(r^)=l(l+1)Y(r^) .
角向方程还可以进一步分离变量,令 Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ),有
(8)l(l+1)sin2θ+sinθθ(sinθΘθ)/Θ+2Φϕ2/Φ=0 .
注意前二项只含 θ,第三项只含 ϕ。一般令前两项之和为常数 m2,则第三项为 m2。这样我们就成功分离出了三个常微分方程,下面分别介绍。

   径向方程是欧拉型方程

(9)r2d2Rdr2+2rdRdrl(l+1)R=0 ,
使用变量代换 t=lnr 解得
(10)R(r)=C1rl+C2rl+1 .

   关于 θ 的方程是

(11)sin2θd2Θdθ2+sinθcosθdΘdθ+[l(l+1)sin2θm2]Θ=0 .
使用变量代换 x=cosθ
(12)(1x2)d2Θdx22xdΘdx+[l(l+1)m21x2]Θ=0 ,
(13)ddx[(1x2)dΘdx]+[l(l+1)m21x2]Θ=0 .
该式被称为连带勒让德方程,解为连带勒让德函数 Plm(x)=Plm(cosθ)

   关于 ϕ 的方程是

(14)d2Φdϕ2=m2Φ ,
该方程的解为 eimϕ。原则上 m 可以取任意实数,但由于球坐标中的循环边界条件要求 Φ(ϕ+2π)=Φ(ϕ)m 只能取任意整数。

   综上,球坐标中拉普拉斯方程的通解为

(15)f(r,θ,ϕ)=l=0m=ll(Cl,mrl+Cl,mrl+1)Plm(cosθ)eimϕ .
我们一般把在单位球面上归一化后的 Θ(θ)Φ(ϕ) 称为球谐函数,记为 Yl,m(θ,ϕ)(满足角向方程式 7 ),则通解也可记为式 3

   如果考虑的问题具有 ϕ 方向的对称性,那么 f(r,θ,ϕ) 的展开式中将只涉及到 m=0 的球谐函数,这时连带勒让德函数就退化为勒让德多项式。这对求解具体的静电边值问题有很大帮助


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