球坐标系中的拉普拉斯方程

贡献者： addis; _Eden_

预备知识　球坐标系中的拉普拉斯算符，分离变量法解偏微分方程

　　三维空间的拉普拉斯方程为

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} f (r) = 0 . \end{matrix}

使用球坐标系中的拉普拉斯算子得

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{\sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) + \frac{1}{\sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}} = 0, \end{matrix}

其通解为

\begin{matrix} (3) & f (r, θ, ϕ) = \sum_{l, m} (A_{l, m} r^{l} + \frac{B_{l, m}}{r^{l + 1}}) Y_{l, m} (θ, ϕ), \end{matrix}

其中

Y_{l, m}

是球谐函数。

1. 推导

　　球坐标系中，可以将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分（式 6 ）

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} = \nabla_{r}^{2} + \frac{\nabla_{Ω}^{2}}{r^{2}} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}}, \end{matrix}

则式 1 两边乘以

r^{2}

得

\begin{matrix} (5) & (r^{2} \nabla_{r}^{2} + \nabla_{Ω}^{2}) f = 0 . \end{matrix}

注意第一项只含有

r

的偏导，第二项只含有

θ, ϕ

的偏导。用分离变量法，令

f (r) = R (r) Y (\hat{r})

（

\hat{r}

是

θ, ϕ

的简写），则分离后的径向方程和角向方程分别为

\begin{matrix} (6) & r^{2} \nabla_{r}^{2} R (r) = l (l + 1) R (r), \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \nabla_{Ω}^{2} Y (\hat{r}) = - l (l + 1) Y (\hat{r}) . \end{matrix}

角向方程还可以进一步分离变量，令

Y (θ, ϕ) = Θ (θ) Φ (ϕ)

，有

\begin{matrix} (8) & l (l + 1) \sin^{2} θ + \sin θ \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial Θ}{\partial θ}) / Θ + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial ϕ^{2}} / Φ = 0 . \end{matrix}

注意前二项只含

θ

，第三项只含

ϕ

。一般令前两项之和为常数

m^{2}

，则第三项为

- m^{2}

。这样我们就成功分离出了三个常微分方程，下面分别介绍。

　　径向方程是欧拉型方程

\begin{matrix} (9) & r^{2} \frac{d^{2} R}{d r^{2}} + 2 r \frac{d R}{d r} - l (l + 1) R = 0, \end{matrix}

使用变量代换

t = \ln r

解得

\begin{matrix} (10) & R (r) = C_{1} r^{l} + \frac{C_{2}}{r^{l + 1}} . \end{matrix}

　　关于 $θ$ 的方程是

\begin{matrix} (11) & \sin^{2} θ \frac{d^{2} Θ}{d θ^{2}} + \sin θ \cos θ \frac{d Θ}{d θ} + [l (l + 1) \sin^{2} θ - m^{2}] Θ = 0 . \end{matrix}

使用变量代换

x = \cos θ

得

\begin{matrix} (12) & (1 - x^{2}) \frac{d^{2} Θ}{d x^{2}} - 2 x \frac{d Θ}{d x} + [l (l + 1) - \frac{m^{2}}{1 - x^{2}}] Θ = 0, \end{matrix}

或

\begin{matrix} (13) & \frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d Θ}{d x}] + [l (l + 1) - \frac{m^{2}}{1 - x^{2}}] Θ = 0 . \end{matrix}

该式被称为连带勒让德方程，解为连带勒让德函数

P_{l}^{m} (x) = P_{l}^{m} (\cos θ)

。

　　关于 $ϕ$ 的方程是

\begin{matrix} (14) & \frac{d^{2} Φ}{d ϕ^{2}} = - m^{2} Φ, \end{matrix}

该方程的解为

e^{i m ϕ}

。原则上

m

可以取任意实数，但由于球坐标中的循环边界条件要求

Φ (ϕ + 2 π) = Φ (ϕ)

，

m

只能取任意整数。

　　综上，球坐标中拉普拉斯方程的通解为

\begin{matrix} (15) & f (r, θ, ϕ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} (C_{l, m} r^{l} + \frac{C_{l, m}^{'}}{r^{l + 1}}) P_{l}^{m} (\cos θ) e^{i m ϕ} . \end{matrix}

我们一般把在单位球面上归一化后的

Θ (θ) Φ (ϕ)

称为球谐函数，记为

Y_{l, m} (θ, ϕ)

（满足角向方程式 7 ），则通解也可记为式 3 。

　　如果考虑的问题具有 $ϕ$ 方向的对称性，那么 $f (r, θ, ϕ)$ 的展开式中将只涉及到 $m = 0$ 的球谐函数，这时连带勒让德函数就退化为勒让德多项式。这对求解具体的静电边值问题有很大帮助。

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