极坐标中的曲线方程

贡献者： Siegfried; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识 1　极坐标

　　极坐标系中，我们可以用一元函数

\begin{equation} r = f(\theta)~ \end{equation}

表示一条曲线。简单的例子如阿基米德螺线或圆锥曲线。以下我们讨论如何从函数中计算曲线的一些特征。

1. 计算某点切线的方向

预备知识 2　导数

　　在 $x$-$y$ 平面直角坐标系中，我们可以通过求导（$ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $）计算曲线某点切线，那么式 1 表示的极坐标中如何求某点切线的方向呢？可以证明，切线与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 方向的夹角为

\begin{equation} \tan\alpha = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}~, \end{equation}

或者说与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 方向的夹角为 $\pi/2 - \alpha$。

图 1：极坐标切线示例

　　证明：

\begin{align} \text{对极坐标中的位置矢量}\qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} &= r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ,\qquad\text{两边取全微分，得到：}\\ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } ,\\ \text{由于：}\qquad \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } &= \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} \,\mathrm{d}{\theta} ~, \end{align}

其中，$ \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial r} $ 和 $ \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} $ 可由极坐标系中单位矢量的偏导处证得，结果带入上式，得到：

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~. \end{equation}

上式中，$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的方向，即是切线的方向。切线与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 方向的夹角为：

\begin{align} \tan \alpha &= \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } \left/ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} } \right. =\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}~. \end{align}

2. 曲线长度

预备知识 3　定积分

　　若用 $\theta \in [\theta_1, \theta_2]$，来表示曲线的一段，那么其长度为

\begin{equation} l = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2} \,\mathrm{d}{\theta} ~. \end{equation}

　　证明：继式 6 ,

\begin{align} \,\mathrm{d}{l} = \left\lvert \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \right\rvert &=\sqrt{( \,\mathrm{d}{r} )^2 + (r \,\mathrm{d}{\theta} )^2} \\ &=\sqrt{( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} )^2 + r^2} \,\mathrm{d}{\theta} \\ &=\sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2} \,\mathrm{d}{\theta} ~. \end{align}

对区间 $[\theta_1,\theta_2]$ 积分后，即可求得该段曲线的长度，即式 8 。

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