极坐标中的曲线方程

                     

贡献者: Siegfried; addis

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 1 极坐标

   极坐标系中,我们可以用一元函数

\begin{equation} r = f(\theta)~ \end{equation}
表示一条曲线。简单的例子如阿基米德螺线圆锥曲线。以下我们讨论如何从函数中计算曲线的一些特征。

1. 计算某点切线的方向

预备知识 2 导数

   在 $x$-$y$ 平面直角坐标系中,我们可以通过求导($ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $)计算曲线某点切线,那么式 1 表示的极坐标中如何求某点切线的方向呢?可以证明,切线与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 方向的夹角为

\begin{equation} \tan\alpha = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}~, \end{equation}
或者说与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 方向的夹角为 $\pi/2 - \alpha$。

图
图 1:极坐标切线示例

   证明:

\begin{align} \text{对极坐标中的位置矢量}\qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} &= r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ,\qquad\text{两边取全微分,得到:}\\ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } ,\\ \text{由于:}\qquad \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } &= \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} \,\mathrm{d}{\theta} ~, \end{align}
其中,$ \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial r} $ 和 $ \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} $ 可由极坐标系中单位矢量的偏导处证得,结果带入上式,得到:
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~. \end{equation}
上式中,$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的方向,即是切线的方向。切线与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 方向的夹角为:
\begin{align} \tan \alpha &= \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } \left/ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} } \right. =\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}~. \end{align}

2. 曲线长度

预备知识 3 定积分

   若用 $\theta \in [\theta_1, \theta_2]$,来表示曲线的一段,那么其长度为

\begin{equation} l = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2} \,\mathrm{d}{\theta} ~. \end{equation}

   证明:继式 6 ,

\begin{align} \,\mathrm{d}{l} = \left\lvert \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \right\rvert &=\sqrt{( \,\mathrm{d}{r} )^2 + (r \,\mathrm{d}{\theta} )^2} \\ &=\sqrt{( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} )^2 + r^2} \,\mathrm{d}{\theta} \\ &=\sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2} \,\mathrm{d}{\theta} ~. \end{align}
对区间 $[\theta_1,\theta_2]$ 积分后,即可求得该段曲线的长度,即式 8


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利