极坐标中的曲线方程

贡献者： Siegfried; 欄、停敘; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识 1　极坐标

　　极坐标系中，我们可以用一元函数

\begin{matrix} (1) & r = f (θ) \end{matrix}

表示一条曲线。简单的例子如阿基米德螺线或圆锥曲线。以下我们讨论如何从函数中计算曲线的一些特征。

1. 计算某点切线的方向

预备知识 2　导数

　　在 $x$ - $y$ 平面直角坐标系中，我们可以通过求导（ $d y / d x$ ）计算曲线某点切线，那么式 1 表示的极坐标中如何求某点切线的方向呢？可以证明，切线与 $\hat{θ}$ 方向的夹角为

\begin{matrix} (2) & \tan α = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{f^{'} (θ)}{f (θ)}, \end{matrix}

或者说与

\hat{r}

方向的夹角为

π / 2 - α

。

图 1：极坐标切线示例

　　证明：对极坐标中的位置矢量 $r = r \hat{r}$ 两边取全微分，得到：

\begin{matrix} (3) & d r = d r \hat{r} + r d \hat{r} . \end{matrix}

由于：

\begin{matrix} (4) & d \hat{r} = \frac{\partial \hat{r}}{\partial r} d r + \frac{\partial \hat{r}}{\partial θ} d θ . \end{matrix}

　　其中， $\frac{\partial \hat{r}}{\partial r}$ 和 $\frac{\partial \hat{r}}{\partial θ}$ 可由极坐标系中单位矢量的偏导处证得，结果带入式 4 ，得到：

\begin{matrix} (5) & d r = d r \hat{r} + r d θ \hat{θ} . \end{matrix}

上式中，

d r

的方向，即是切线的方向。切线与

\hat{θ}

方向的夹角为：

\begin{matrix} (6) & \tan α = \frac{\partial r}{\partial \hat{r}} / \frac{\partial r}{\partial \hat{θ}} = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{f^{'} (θ)}{f (θ)} . \end{matrix}

2. 曲线长度

预备知识 3　定积分

　　若用 $θ \in [θ_{1}, θ_{2}]$ ，来表示曲线的一段，那么其长度为

\begin{matrix} (7) & l = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \sqrt{f (θ)^{2} + f^{'} (θ)^{2}} d θ . \end{matrix}

　　证明：继式 5 ,

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} d l = | d r | & = \sqrt{(d r)^{2} + (r d θ)^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{d r}{d θ})}^{2} + r^{2}} d θ \\ = \sqrt{f (θ)^{2} + f^{'} (θ)^{2}} d θ . \end{aligned} \end{matrix}

　　对区间 $[θ_{1}, θ_{2}]$ 积分后，即可求得该段曲线的长度，即式 7 。

3. 直线的极坐标方程

　　设极坐标为 $(ρ, θ)$ ，过点 $(a, 0)$ ，且与极轴夹角为 $α$ 的直线极坐标方程为：

\begin{matrix} (9) & ρ \sin (α - θ) = a \sin α . \end{matrix}

通过调整变形，可以讨论不同情况下的特殊形式：

　　 1. 直线过极点

　　此时 $a = 0$ ，代入式 9 可知，此时表达式为：

\begin{matrix} (10) & θ = α . \end{matrix}

　　 2.与极轴垂直，极点到直线距离为 $| a |$ 。

　　此时 $α = \frac{π}{2}$ ，代入式 9 可知，此时表达式为：

\begin{matrix} (11) & ρ \cos θ = a . \end{matrix}

若

a > 0

则直线在极点右侧，否则直线在极点左侧。

　　 3.与极轴平行，极点到直线距离为 $| a |$ 。

　　此时由于直线不再过点 $(a, 0)$ ，于是不能直接代入得到表达式。根据此时直线表达式为 $y = a$ ，而极坐标中 $y = ρ \sin θ$ ，可知，此时表达式为：

\begin{matrix} (12) & ρ \sin θ = a . \end{matrix}

若

a > 0

则直线在极点上侧，否则直线在极点下侧。

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