极坐标中的曲线方程

             

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预备知识 极坐标

   极坐标系中,我们可以用一元函数

\begin{equation} r = f(\theta) \end{equation}
表示一条曲线.简单的例子如阿基米德螺线 或圆锥曲线.以下我们讨论如何从函数中计算曲线的一些特征.

1. 计算某点切线的方向

预备知识 导数

   在 $x$-$y$ 平面直角坐标系中,我们可以通过求导($ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $)计算曲线某点切线,那么式 1 表示的极坐标中如何求某点切线的方向呢?可以证明,切线与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 方向的夹角为

\begin{equation} \alpha = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{f'(\theta)}{f(\theta)} \end{equation}
或者说与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 方向的夹角为 $\pi/2 - \alpha$.

  

未完成:推导

2. 曲线长度

预备知识 定积分

   若用 $\theta \in [\theta_1, \theta_2]$,来表示曲线的一段,那么其长度为

\begin{equation} l = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}

  

未完成:推导

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