Wigner 3j 符号

             

预备知识 CG 系数

   每个 3j 符号和 CG 系数都一一对应且相差一个常数,用圆括号表示 3j 符号,方括号表示 CG 系数,有

\begin{equation} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix} = \frac{(-1)^{j_1 - j_2 - m_3}}{\sqrt{2j_3 + 1}} \begin{bmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &-m_3\end{bmatrix} \end{equation}

1. 对称性

   3j 符号具有很好的对称性.首先,任意交换两列等于在前面加 $(-1)^{j_1+j_2+j_3}$

\begin{equation} \begin{aligned} & \begin{pmatrix}j_3 &j_2 &j_1\\ m_3 &m_2 &m_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j_1 &j_3 &j_2\\ m_1 &m_3 &m_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j_2 &j_1 &j_3\\ m_2 &m_1 &m_3\end{pmatrix} \\ &= (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}
如果交换两次,3j 符号不变
\begin{equation} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j_2 &j_3 &j_1\\ m_2 &m_3 &m_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j_3 &j_1 &j_2\\ m_3 &m_1 &m_2\end{pmatrix} \end{equation}
将第二行取相反数也等于在前面加 $(-1)^{j_1+j_2+j_3}$
\begin{equation} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ -m_1 &-m_2 &-m_3\end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix} \end{equation}

2. 选择定则

   3j 符号的选择定则直接告诉我们哪些 3j 符号等于 0.有了选择定则,我们就无需计算不符合定则的 3j 符号.

   从 CG 系数的选择定则可得三角不等式(三个不等式等效)

\begin{equation} \left\lvert j_1 - j_3 \right\rvert \leqslant j_2 \leqslant j_1 + j_3 \qquad \left\lvert j_2 - j_3 \right\rvert \leqslant j_1 \leqslant j_2 + j_3 \qquad \left\lvert j_3 - j_1 \right\rvert \leqslant j_2 \leqslant j_3 + j_1 \end{equation}
以及
\begin{equation} m_1 + m_2 + m_3 = 0 \end{equation}

   除此之外,以上每个对称性也可以得到一个选择定则:当 $j_1 + j_2 + j_3$ 为奇数时,如果任意两列相同,结果为 $0$

\begin{equation} \begin{pmatrix}j &j &j_3\\ m &m &m_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j_1 &j &j \\ m_1 & m & m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j &j_2 &j \\ m & m_2 & m\end{pmatrix} = 0 \end{equation}
当 $j_1 + j_2 + j_3$ 为奇数时,若 $m_1 = m_2 = m_3 = 0$,结果也为 $0$
\begin{equation} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0 \end{equation}

3. 与球谐函数的关系

   三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘1

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \int Y_{l_1 m_1} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_3 m_3}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ &= (-1)^{m_3} \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi(2l_3+1)}} \begin{bmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & -m_3\end{bmatrix} \\ &= \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 见 Bransden 附录 A4,以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面

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