Wigner 3j 符号

贡献者： addis

预备知识　CG 系数

　　每个 3j 符号和 CG 系数都一一对应且相差一个常数，用圆括号表示 3j 符号，方括号表示 CG 系数，有

\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = \frac{(- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3} + 1}} [\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}] . \end{matrix}

根据 CG 系数的计算公式（式 1 ），也可以推出 3j 符号的。

1. 对称性

　　 3j 符号具有很好的对称性。首先，任意交换两列等于在前面加 $(- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}}$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} (\begin{array}{c} j_{3} & j_{2} & j_{1} \\ m_{3} & m_{2} & m_{1} \end{array}) = (\begin{array}{c} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ m_{1} & m_{3} & m_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ m_{2} & m_{1} & m_{3} \end{array}) \\ = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{array}{c} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{array}) \end{aligned} . \end{matrix}

如果交换两次，3j 符号不变

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{2} & j_{3} & j_{1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{3} & j_{1} & j_{2} \\ m_{3} & m_{1} & m_{2} \end{matrix}), \end{matrix}

将第二行取相反数也等于在前面加

(- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}}

\begin{matrix} (4) & (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) . \end{matrix}

2. 选择定则

　　 3j 符号的选择定则直接告诉我们哪些 3j 符号等于 0。有了选择定则，我们就无需计算不符合定则的 3j 符号。

　　从 CG 系数的选择定则可得三角不等式（三个不等式等效）

\begin{matrix} (5) & | j_{1} - j_{3} | ⩽ j_{2} ⩽ j_{1} + j_{3}, | j_{2} - j_{3} | ⩽ j_{1} ⩽ j_{2} + j_{3}, | j_{3} - j_{1} | ⩽ j_{2} ⩽ j_{3} + j_{1} \end{matrix}

以及

\begin{matrix} (6) & m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0 . \end{matrix}

　　除此之外，以上每个对称性也可以得到一个选择定则：当 $j_{1} + j_{2} + j_{3}$ 为奇数时，如果任意两列相同，结果为 $0$

\begin{matrix} (7) & (\begin{matrix} j & j & j_{3} \\ m & m & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{1} & j & j \\ m_{1} & m & m \end{matrix}) = (\begin{matrix} j & j_{2} & j \\ m & m_{2} & m \end{matrix}) = 0 . \end{matrix}

当

j_{1} + j_{2} + j_{3}

为奇数时，若

m_{1} = m_{2} = m_{3} = 0

，结果也为

0

\begin{matrix} (8) & (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = 0 . \end{matrix}

3. 特殊值

　　这在量子力学中会时常出现，例如在氢原子的选择定则中：

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} (\begin{array}{c} l + 1 & 1 & l \\ - m & 0 & m \end{array}) & = (\begin{array}{c} l & 1 & l + 1 \\ - m & 0 & m \end{array}) \\ = - (- 1)^{l - m} \sqrt{\frac{(l + 1)^{2} - m^{2}}{(l + 1) (2 l + 1) (2 l + 3)}} . \end{aligned} \end{matrix}

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