Wigner 3j 符号

                     

贡献者: addis

预备知识 CG 系数

   每个 3j 符号和 CG 系数都一一对应且相差一个常数,用圆括号表示 3j 符号,方括号表示 CG 系数,有

(1)(j1j2j3m1m2m3)=(1)j1j2m32j3+1[j1j2j3m1m2m3] .
根据 CG 系数的计算公式(式 1 ),也可以推出 3j 符号的。

1. 对称性

   3j 符号具有很好的对称性。首先,任意交换两列等于在前面加 (1)j1+j2+j3

(2)(j3j2j1m3m2m1)=(j1j3j2m1m3m2)=(j2j1j3m2m1m3)=(1)j1+j2+j3(j1j2j3m1m2m3) .
如果交换两次,3j 符号不变
(3)(j1j2j3m1m2m3)=(j2j3j1m2m3m1)=(j3j1j2m3m1m2) ,
将第二行取相反数也等于在前面加 (1)j1+j2+j3
(4)(j1j2j3m1m2m3)=(1)j1+j2+j3(j1j2j3m1m2m3) .

2. 选择定则

   3j 符号的选择定则直接告诉我们哪些 3j 符号等于 0。有了选择定则,我们就无需计算不符合定则的 3j 符号。

   从 CG 系数的选择定则可得三角不等式(三个不等式等效)

(5)|j1j3|j2j1+j3 ,|j2j3|j1j2+j3 ,|j3j1|j2j3+j1 
以及
(6)m1+m2+m3=0 .

   除此之外,以上每个对称性也可以得到一个选择定则:当 j1+j2+j3 为奇数时,如果任意两列相同,结果为 0

(7)(jjj3mmm3)=(j1jjm1mm)=(jj2jmm2m)=0 .
j1+j2+j3 为奇数时,若 m1=m2=m3=0,结果也为 0
(8)(j1j2j3000)=0 .

3. 特殊值

   这在量子力学中会时常出现,例如在氢原子的选择定则中:

(9)(l+11lm0m)=(l1l+1m0m)=(1)lm(l+1)2m2(l+1)(2l+1)(2l+3) .


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