贡献者： addis
预备知识 1 球坐标系的定义
，四象限 Arctan 函数
1. 坐标的变换
当我们讨论球坐标和直角坐标的转换时，通常令两个原点重合，取极轴（$\theta = 0$）为 $z$ 轴的正方向，$\theta = \pi/2$，$\phi = 0$ 为 $x$ 轴的正方向，$\theta = \pi/2$，$\phi = \pi/2$ 为 $y$ 轴的正方向。这时两种坐标之间的变换关系为
\begin{equation}
\begin{cases}
x = r\sin \theta \cos \phi \\
y = r\sin \theta \sin \phi \\
z = r\cos \theta
\end{cases}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\
\theta &= \operatorname{Arctan} \left(\sqrt{x^2 + y^2}, z \right) \\
\phi &= \operatorname{Arctan} (y, x)
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
证明见下文，其中 $ \operatorname{Arctan} $ 函数（也记为 $ \operatorname {atan2}$）的定义见
式 1 。注意根据
式 1 ，同一个直角坐标可以对应不同的极坐标，例如将 $\phi$ 增加 $2\pi$ 的整数倍，又例如对 $z$ 轴上的点 $\phi$ 可以取任意值。但根据
式 2 ，我们可以找到两种坐标间的
一一对应关系。
2. 矢量分量的变换
在直角坐标系中，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是 $x,y,z$ 轴的三个正交归一向量，在球坐标系中，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 是三个正交归一向量（定义见图 1 ）. 两组基底之间的变换关系为
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{cases}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}
\end{cases}~.
\end{equation}
证明见下文，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是关于两个角度的
三维旋转矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} = \begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\
\cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta\\
-\sin\phi & \cos\phi & 0
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
这是一个单位正交矩阵，满足 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $，每行（列）都是一个单位矢量，且行（列）之间正交。
若某点处任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在直角坐标系和球坐标系中分别表示为（注意 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 的方向和该点的位置有关）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{equation}
则坐标变换关系可以用矩阵乘法表示
\begin{equation}
\begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix}
= \boldsymbol{\mathbf{R}} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}
= \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
该关系可以用于把
矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在直角坐标系和球坐标系间变换。
推导
把空间中一点 $P$ 的位矢 $r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 分解为垂直于 $xy$ 平面的分量 $z = r\cos \theta $ 和 $xy$ 平面的分量 $r\sin \theta $。后者又可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\sin \theta \cos \phi$， $y = r\sin \theta \sin \phi$，这就得到了式 1 。
在直角坐标系中，有 $r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$，代入式 1 中的三条关系，就可以很容易解出式 2 中的三条关系。
现在推导变换关系（式 3 ）。由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 都是关于 $(r, \theta, \phi)$ 的函数，所以在考察某一点 $(r, \theta, \phi)$ 时，要计算 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 方向的投影，可以先把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 平移使其起点为坐标原点，那么它终点的直角坐标就是投影长度。首先易知终点的球坐标是 $(1, \theta, \phi)$， 根据式 1 变换到直角坐标为
\begin{equation}
(\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta)~.
\end{equation}
写成矢量的形式，就是
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
至于
式 3 的第二条，要计算 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 方向的投影，同样把起点平移到坐标原点，由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 是 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 向下转动 $90^\circ$ 即 $\theta$ 增加 $\pi/2$，所以终点的球坐标为 $(1, \theta + \pi /2, \phi)$，根据
式 1 变换到直角坐标再化简就得到
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
最后，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 平移到原点后，终点的球坐标为 $(1, \pi/2, \phi+\pi/2)$，同理可得
式 3 第三条。将基底变换
式 3 和
式 4 分别代入
式 7 和
式 6 得坐标变换
式 9 和
式 8 ，详见 “
三维旋转矩阵”。
3. 两方向的夹角
若已知球坐标系中两个方向的单位向量分别为 $(1, \theta_1, \phi_1)$ 和 $(1, \theta_2, \phi_2)$ 如何求它们之间的夹角 $\alpha$ 呢？我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标，然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值。由式 1 ，两矢量的直角坐标分别为
\begin{equation}
(\sin\theta_1\cos\phi_1,\ \sin\theta_1\sin\phi_1,\ \cos\theta_1)~,
\qquad
(\sin\theta_2\cos\phi_2,\ \sin\theta_2\sin\phi_2,\ \cos\theta_2)~.
\end{equation}
对它们做点乘（
式 3 ）就得到夹角的余弦值，利用三角恒等式（
式 5 ），得
\begin{equation} \begin{aligned}
\cos\alpha &= \sin\theta_1\cos\phi_1\sin\theta_2\cos\phi_2 + \sin\theta_1\sin\phi_1 \sin\theta_2\sin\phi_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\
&= \sin\theta_1\sin\theta_2(\cos\phi_1 \cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\
&= \sin\theta_1\sin\theta_2 \cos\left(\phi_2-\phi_1\right) + \cos\theta_1 \cos\theta_2~.\\
\end{aligned} \end{equation}
Matlab 代码
在 Matlab 中，sph2cart 中 $\theta$ 的定义是本文中 $\pi/2 - \theta$。所以我们可以另外定义一个符合本文的函数
代码 1：Sph2Cart.m
% physics version of sph2cart
function [X,Y,Z] = Sph2Cart(R,Th,Ph)
[X,Y,Z] = sph2cart(Ph,pi*0.5-Th,R);
end
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