球坐标与直角坐标的转换

             

预备知识 球坐标系的定义,四象限 Arctan 函数

   当我们讨论球坐标和直角坐标的转换时,通常令两个原点重合,取极轴($\theta = 0$)为 $z$ 轴的正方向,$\theta = \pi/2$,$\phi = 0$ 为 $x$ 轴的正方向,$\theta = \pi/2$,$\phi = \pi/2$ 为 $y$ 轴的正方向.这时两种坐标之间的变换关系为.

\begin{equation} \begin{cases} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \operatorname{Arctan} \left(\sqrt{x^2 + y^2}, z \right) \\ \phi &= \operatorname{Arctan} (y, x) \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $ \operatorname{Arctan} $ 函数(也记为 $ \operatorname {atan2}$)的定义见式 1 .注意根据式 1 ,同一个直角坐标可以对应不同的极坐标,例如将 $\phi$ 增加 $2\pi$ 的整数倍,又例如对 $z$ 轴上的点 $\phi$ 可以取任意值.但根据式 2 ,我们可以找到两种坐标间的一一对应关系.

1. 矢量的变换

   两组基底之间的变换关系为

\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{cases} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是关于两个角度的三维旋转矩阵
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix} \end{equation}

   若某点处任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在直角坐标系和球坐标系中分别表示为(注意 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 的方向和该点的位置有关)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
则坐标变换关系可以用矩阵乘法表示
\begin{equation} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix} \end{equation}
该关系可以用于把矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在直角坐标系和球坐标系间变换.

2. 推导

   把空间中一点 $P$ 的位矢 $r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 分解为垂直于 $xy$ 平面的分量 $z = r\cos \theta $ 和 $xy$ 平面的分量 $r\sin \theta $.后者又可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\sin \theta \cos \phi$, $y = r\sin \theta \sin \phi$,这就得到了式 1

   在直角坐标系中,有 $r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$,代入式 1 中的三条关系,就可以很容易解出式 2 中的三条关系.

   现在推导变换关系(式 3 ).由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 都是关于 $(r, \theta, \phi)$ 的函数,所以在考察一点 $(r, \theta, \phi)$ 时,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的球坐标是 $(1, \theta, \phi)$, 根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{equation} (\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta) \end{equation}
写成矢量的形式,就是
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
至于式 3 的第二条式子,在同一个球坐标 $(r,\theta ,\phi)$ 处,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的球坐标为 $(1, \theta + \pi /2, \phi)$,根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为
\begin{equation} (\cos \theta \cos \phi ,\,\cos \theta \sin \phi , \,- \sin \theta) \end{equation}
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
同理可得第三条.将基底变换式 3 式 4 分别代入式 7 式 6 得坐标变换式 9 式 8 ,详见 “三维旋转矩阵”.

3. 两方向的夹角

预备知识 内积

   若已知球坐标系中两个方向分别为 $(1, \theta_1, \phi_1)$ 和 $(1, \theta_2, \phi_2)$ 如何求它们之间的夹角 $\alpha$ 呢?我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标,然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值.由式 1 ,两矢量的直角坐标分别为

\begin{equation} (\sin\theta_1\cos\phi_1,\ \sin\theta_1\sin\phi_1,\ \cos\theta_1) \qquad (\sin\theta_2\cos\phi_2,\ \sin\theta_2\sin\phi_2,\ \cos\theta_2) \end{equation}
利用三角恒等式(式 4 ),得
\begin{equation} \begin{aligned} \cos\alpha &= \sin\theta_1\cos\phi_1\sin\theta_2\cos\phi_2 + \sin\theta_1\sin\phi_1 \sin\theta_2\sin\phi_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2(\cos\phi_1 \cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2 \cos\left(\phi_2-\phi_1\right) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ \end{aligned} \end{equation}

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利