正交曲线坐标系中的重积分

             

预备知识 正交曲线坐标系

   在计算一些多重积分时,选取合适的坐标系往往可以大大化简问题.

未完成:需要给出一般正交曲线坐标系的公式

1. 极坐标系中的二重积分

图
图 1:极坐标中的面积元

   我们来看如何在极坐标系中进行二重积分.我们先把积分区域划分为无数个小面元,点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处面元的形状如图 1 所示,即把两个坐标 $r, \theta$ 坐标分别在原来的基础上增加一个微小值,并围成一块小区域.由于 $ \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} $ 都是无穷小,该面元的形状趋近于长方形,其面积为两边长相乘

\begin{equation} \,\mathrm{d}{s} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
类比例 1 ,我们可以将 $f(r, \theta)$ 的面积分记为
\begin{equation} \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \,\mathrm{d}{\theta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \,\mathrm{d}{r} r f(r, \theta) \end{equation}
其中 $r_1(\theta)$ 与 $r_2(\theta)$ 是区域 $\mathcal S$ 的两条边界(类比式 7 中的 $y_1(x), y_2(x)$).

   式 1 是柱坐标系中 $r$、$\theta$ 曲坐标面上的面积元,对于球坐标,我们可得到 $\theta$、$\phi$ 曲坐标面上的面积元式 18

\begin{equation} \,\mathrm{d}{s} =r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}

例 1 

   求 $f(r,\theta) = ar$ 在内外半径为 $R_1, R_2$ 的圆环区域的面积分.

   先来看积分上下限,对于圆环区域,显然有 $r_1(\theta) = R_1$,$r_2(\theta) = R_2$,$\theta_1 = 0$,$\theta_2 = 2\pi$.直接使用式 2

\begin{equation} \begin{aligned} \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} &= \int_0^{2\pi} \left[\int_{R_1}^{R_2} ar^2 \,\mathrm{d}{r} \right] \,\mathrm{d}{\theta} = \int_0^{2\pi} \frac a3 (R_2^3 - R_1^3) \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= \frac{2\pi a}{3} (R_2^3 - R_1^3) \end{aligned} \end{equation}

   如果使用直角坐标系计算该积分,过程将会变得更加复杂.

2. 曲线坐标系中的体积分

   在曲线坐标系中,令

\begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial x_i} \equiv f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \quad (i = 1,2,3) \end{equation}
则位矢的全微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{i = 1}^3 f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \end{equation}
所以空间中的一个体积元(每个 $x_i$ 都分别增加 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 所围成的长方体)可以表示为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = f_1( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_2( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_3( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} \end{equation}
这是因为根据式 6 ,单独将坐标 $x_i$ 增加 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 会导致 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 方向增加 $f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} $,这相当于长方体在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 方向的边长,而长方体的体积等于三条边长之积.为了方便书写我们以后将 $ \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} $ 记为 $ \,\mathrm{d}^{3}{x} $ 或 $ \,\mathrm{d}^{3}{r} $.

图
图 2:柱坐标(左)和球坐标(右)中的体积元

   我们已知直角坐标系中 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial x_i = 1$,所以体积元为 $ \,\mathrm{d}^{3}{r} = \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $.对于柱坐标系(图 2 左),由式 9 得体积元为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot \,\mathrm{d}{z} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{z} \end{equation}
类似地,对于球坐标系(图 2 右),由(链接未完成)得体积元为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} = r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}

例 2 球体的体积

   在例 4 中我们用一元函数的定积分得到了球体的体积,现在我们也可以直接在球坐标中由体积分得到.

\begin{equation} \begin{aligned} V &= \int 1 \,\mathrm{d}^{3}{r} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \int_0^\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^R r^2 \,\mathrm{d}{r} \\ &= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac 13 R^3 = \frac 43 \pi R^3 \end{aligned} \end{equation}

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利