正交曲线坐标系中的重积分

                     

贡献者： addis; 零穹

预备知识　正交曲线坐标系，重积分

　　 在计算一些多重积分时，选取合适的坐标系往往可以大大化简问题。

未完成：需要给出一般正交曲线坐标系的体积元公式

1. 极坐标系中的二重积分

图
图 1：极坐标中的面积元

　　 我们来看如何在极坐标系中进行二重积分。我们先把积分区域划分为无数个小面积元，点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处面元的形状如图 1 所示，即把两个坐标 $r, \theta$ 坐标分别在原来的基础上增加一个微小值，并围成一块小区域。由于 $ \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} $ 都是无穷小，该面元的形状趋近于长方形，其面积为两边长相乘

\begin{equation} \,\mathrm{d}{s} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} ~. \end{equation}
类比例 1 ，我们可以将 $f(r, \theta)$ 的面积分记为
\begin{equation} \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \,\mathrm{d}{\theta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \,\mathrm{d}{r} \ r f(r, \theta)~, \end{equation}
其中 $r_1(\theta)$ 与 $r_2(\theta)$ 是区域 $\mathcal S$ 的两条边界（类比式 7 中的 $y_1(x), y_2(x)$）。

　　 式 1 也是柱坐标系中 $r$、$\theta$ 曲坐标面上的面积元。对于球坐标，我们可得到 $\theta$、$\phi$ 曲坐标面上的面积元

\begin{equation} \,\mathrm{d}{s} =r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} ~. \end{equation}

例 1　

　　 求 $f(r,\theta) = ar$ 在内外半径为 $R_1, R_2$ 的圆环区域的面积分。

　　 先来看积分上下限，对于圆环区域，显然有 $r_1(\theta) = R_1$，$r_2(\theta) = R_2$，$\theta_1 = 0$，$\theta_2 = 2\pi$。直接使用式 2 得

\begin{equation} \begin{aligned} \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} &= \int_0^{2\pi} \left[\int_{R_1}^{R_2} ar^2 \,\mathrm{d}{r} \right] \,\mathrm{d}{\theta} = \int_0^{2\pi} \frac a3 (R_2^3 - R_1^3) \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= \frac{2\pi a}{3} (R_2^3 - R_1^3)~. \end{aligned} \end{equation}

　　 如果使用直角坐标系计算该积分，过程将会变得更加复杂。

例 2　球面积分

　　

未完成：球面的面积、函数在球面上积分

2. 曲线坐标系中的体积分

　　 在曲线坐标系中，令

\begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial x_i} \equiv f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \quad (i = 1,2,3)~. \end{equation}
则位矢的全微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{i = 1}^3 f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i~. \end{equation}
所以空间中的一个体积元（每个 $x_i$ 都分别增加 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 所围成的长方体）可以表示为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = f_1( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_2( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_3( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} ~. \end{equation}
这是因为根据式 6 ，单独将坐标 $x_i$ 增加 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 会导致 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 方向增加 $f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} $，这相当于长方体在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 方向的边长，而长方体的体积等于三条边长之积。为了方便书写我们以后将 $ \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} $ 记为 $ \,\mathrm{d}^{3}{x} $ 或 $ \,\mathrm{d}^{3}{r} $。

图
图 2：柱坐标（左）和球坐标（右）中的体积元

　　 我们已知直角坐标系中 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial x_i = 1$，所以体积元为 $ \,\mathrm{d}^{3}{r} = \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $。对于柱坐标系（图 2 左），由式 9 得体积元为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot \,\mathrm{d}{z} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{z} ~. \end{equation}
类似地，对于球坐标系（图 2 右），由得体积元为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} = r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} ~. \end{equation}

例 3　球体的体积

　　 在例 4 中我们用一元函数的定积分得到了球体的体积，现在我们也可以直接在球坐标中由体积分得到。

\begin{equation} \begin{aligned} V &= \int 1 \,\mathrm{d}^{3}{r} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \int_0^\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^R r^2 \,\mathrm{d}{r} \\ &= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac 13 R^3 = \frac 43 \pi R^3~. \end{aligned} \end{equation}


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