勒让德多项式

贡献者： addis

预备知识　二阶常系数齐次微分方程

　　 勒让德方程为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l(x) \right] + l(l+1)P_l(x) = 0~. \end{equation}

　　我们仅在区间 $x \in [-1,1]$ 上考虑 $l$ 为非负整数的情况。方程的解 $P_l(x)$ 是关于 $x$ 的 $l$ 阶多项式

\begin{equation} P_l(x) = \frac{1}{2^l}\sum_{s=0}^{[l/2]} \frac{(-1)^s (2l-2s)!}{s!(l-s)!(l-2s)!} x^{l-2s}~, \end{equation}

其中 $[x]$ 是向下取整函数。当 $x$ 是整数，$[x] = x$，当 $x$ 是非整数，$[x]$ 是小于 $x$ 的最大整数。

　　这里列出前几个多项式（图 1 ）

\begin{equation} \begin{aligned} &P_0(x) = 1 && P_3(x) = \frac12 (5x^3 - 3x) \\ &P_1(x) = x && P_4(x) = \frac18 (35x^4 - 30x^2 + 3) \\ &P_2(x) = \frac12 (3x^2 - 1) \qquad && P_5(x) = \frac18 (63x^5 - 70x^3 + 15x)~. \end{aligned} \end{equation}

图 1：勒让德多项式

　　勒让德多项式也可以用罗德里格斯公式表示

\begin{equation} P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^{l}}{\mathrm{d}{x}^{l}} (x^2 - 1)^l~. \end{equation}

由于求导会改变函数的奇偶性，由上式可以证明当 $l$ 为偶（奇）数时 $P_l(x)$ 是偶（奇）函数，所以只有 $x$ 的偶（奇）次方项。

1. 正交归一性质

　　勒让德多项式的归一化系数为

\begin{equation} A_l = \sqrt{\frac{2l + 1}{2}}~, \end{equation}

满足正交归一化条件

\begin{equation} \int_{-1}^1 A_{l'} P_{l'}(x) \cdot A_l P_l(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{l,l'}~. \end{equation}

2. 其他性质

　　 $P_l(x)$ 在 $[-1,1]$ 有 $l$ 个根。$P'_l(x)$ 有 $l-1$ 个根。

\begin{equation} P_l(1) = 1~, \qquad P_l(-1) = (-1)^l~. \end{equation}

由式 2 得

\begin{equation} P_l(0) = \left\{\begin{aligned} &0 &\qquad (l = \text{奇数})\\ &\frac{(-1)^{l/2} l!}{2^l [(l/2)!]^2} &\qquad (l = \text{偶数})~. \end{aligned}\right. \end{equation}

　　傅里叶变换（$j_l$ 是球贝塞尔函数）

\begin{equation} \int_{-1}^1 P_l(x) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} = 2 \mathrm{i} ^l j_l(k)~. \end{equation}

　　求导

\begin{equation} P'_l(x) = \left\{\begin{aligned} &\frac{l+1}{1-x^2} [xP_l(x) - P_{l+1}(x)] &\,\, &( \left\lvert x \right\rvert < 1) \\ &l(l+1)/2 & &(x = 1) \\ &(-1)^{l+1}l(l+1)/2 & &(x = -1)~. \end{aligned}\right. \end{equation}

3. 勒让德方程的级数解

　　令

\begin{equation} P_l(x) = \sum_{n = 0}^\infty c_n x^n~, \end{equation}

代入方程，对比系数得到递推公式

\begin{equation} c_{n+2} = \frac{n(n+1)-l(l+1)}{(n+2)(n+1)}c_n = \frac{(n-l)(n+1+l)}{(n+2)(n+1)}c_n~. \end{equation}

可见偶数项系数可用 $c_0$ 表示，奇数项系数可用 $c_1$ 表示。所以 $c_0$ 和 $c_1$ 可以看做是二阶微分方程的两个任意常数。

　　当 $l$ 为整数时，可以证明 $n > l$ 以上的系数都为 0，令最高次项系数为

\begin{equation} c_l = \frac{(2l)!}{2^l (l!)^2}~, \end{equation}

就得到了式 2 。

4. 生成函数

　　勒让德多项式可以表示为以下函数对 $r$ 的泰勒展开的系数

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{1 + r^2 - 2rx}} = \sum_{l = 0}^\infty P_l(x) r^l~, \end{equation}

其中 $1/\sqrt {1+ r^2 - 2rx}$ 叫做勒让德多项式的生成函数或母函数

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