勒让德多项式

             

   勒让德方程

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l(x) \right] + l(l-1)P_l(x) = 0 \end{equation}

   我们仅在区间 $x \in [-1,1]$ 上考虑 $l$ 为非负整数的情况.方程的解 $P_l(x)$ 是关于 $x$ 的 $l$ 阶多项式

\begin{equation} P_l(x) = \frac{1}{2^l}\sum_{s=0}^{[l/2]} \frac{(-1)^s (2l-2s)!}{s!(l-s)!(l-2s)!} x^{l-2s} \end{equation}
其中 $[x]$ 是向下取整函数.当 $x$ 是整数,$[x] = x$,当 $x$ 是非整数,$[x]$ 是小于 $x$ 的最大整数.

   这里列出前几个多项式(图 1

\begin{equation} \begin{aligned} &P_0(x) = 1 && P_3(x) = \frac12 (5x^3 - 3x) \\ &P_1(x) = x && P_4(x) = \frac18 (35x^4 - 30x^2 + 3) \\ &P_2(x) = \frac12 (3x^2 - 1) \qquad && P_5(x) = \frac18 (63x^5 - 70x^3 + 15x) \end{aligned} \end{equation}

图
图 1:勒让德多项式

   勒让德多项式也可以用罗德里格斯公式表示

\begin{equation} P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^{l}}{\mathrm{d}{x}^{l}} (x^2 - 1)^l \end{equation}
由于求导会改变函数的奇偶性,由上式可以证明当 $l$ 为偶(奇)数时 $P_l(x)$ 是偶(奇)函数,所以只有 $x$ 的偶(奇)次方项.

1. 正交归一性质

   勒让德多项式的归一化系数为

\begin{equation} A_l = \sqrt{\frac{2l + 1}{2}} \end{equation}
满足正交归一化条件
\begin{equation} \int_{-1}^1 A_{l'} P_{l'}(x) \cdot A_l P_l(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{l,l'} \end{equation}

2. 其他性质

\begin{equation} P_l(1) = 1 \qquad P_l(-1) = (-1)^l \end{equation}
式 2
\begin{equation} P_l(0) = \left\{\begin{aligned} &0 &\qquad (l = \text{奇数})\\ &\frac{(-1)^{l/2} l!}{2^l [(l/2)!]^2} &\qquad (l = \text{偶数}) \end{aligned}\right. \end{equation}

   傅里叶变换($j_l$ 是球贝塞尔函数

\begin{equation} \int_{-1}^1 P_l(x) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} = 2 \mathrm{i} ^l j_l(k) \end{equation}

   求导

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l(x) = \frac{l+1}{1-x^2} [xP_l(x) - P_{l+1}(x)] \end{equation}

3. 勒让德方程的级数解

   令

\begin{equation} P_l(x) = \sum_{n = 0}^\infty c_n x^n \end{equation}
代入方程,对比系数得到递推公式
\begin{equation} c_{n+2} = \frac{n(n+1)-l(l+1)}{(n+2)(n+1)}c_n = \frac{(n-l)(n+1+l)}{(n+2)(n+1)}c_n \end{equation}
可见偶数项系数可用 $c_0$ 表示,奇数项系数可用 $c_1$ 表示.所以 $c_0$ 和 $c_1$ 可以看做是二阶微分方程的两个任意常数.

   当 $l$ 为整数时,可以证明 $n > l$ 以上的系数都为 0,令最高次项系数为

\begin{equation} c_l = \frac{(2l)!}{2^l (l!)^2} \end{equation}
就得到了式 2

4. 生成函数

   勒让德多项式可以表示为以下函数对 $r$ 的泰勒展开的系数

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{1 + r^2 - 2rx}} = \sum_{l = 0}^\infty P_l(x) r^l \end{equation}
其中 $1/\sqrt {1+ r^2 - 2rx}$ 叫做勒让德多项式的生成函数或母函数

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