球谐函数表

贡献者： addis

预备知识　球谐函数

　　下面列出一些常见的球谐函数，这和 Mathematica 和 Wolfram Alpha 的定义¹ 一致。Condon–Shortley 相位（子节 3 ）体现在对于奇数 $m$ 的球谐函数表达式前的 $\mp$ 号。

\begin{matrix} (1) & Y_{l, m} (θ, ϕ) = \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_{l}^{m} (\cos θ) e^{i m ϕ} . \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & l = 0, Y_{0, 0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}} \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & l = 1, {\begin{aligned} Y_{1, 0} & = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \cos θ \\ Y_{1, \pm 1} & = \mp \sqrt{\frac{3}{8 π}} \sin θ e^{\pm i ϕ} \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & l = 2, {\begin{aligned} Y_{2, 0} & = \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} θ - 1) \\ Y_{2, \pm 1} & = \mp \sqrt{\frac{15}{8 π}} \sin θ \cos θ e^{\pm i ϕ} \\ Y_{2, \pm 2} & = \sqrt{\frac{15}{32 π}} \sin^{2} θ e^{\pm 2 i ϕ} \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & l = 3, {\begin{aligned} Y_{3, 0} & = \sqrt{\frac{7}{16 π}} (5 \cos^{3} θ - 3 \cos θ) \\ Y_{3, \pm 1} & = \mp \sqrt{\frac{21}{64 π}} \sin θ (5 \cos^{2} θ - 1) e^{\pm i ϕ} \\ Y_{3, \pm 2} & = \sqrt{\frac{105}{32 π}} \sin^{2} θ \cos θ e^{\pm 2 i ϕ} \\ Y_{3, \pm 3} & = \mp \sqrt{\frac{35}{64 π}} \sin^{3} θ e^{\pm 3 i ϕ} \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 例子：在 wolframalpha.com 中输入 SphericalHarmonics[2,1]，或者在 Mathematica 中输入 SphericalHarmonicY[2, 1, θ, ϕ]

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