实球谐函数

             

预备知识 球谐函数

  1球谐函数中唯一的复数因子是 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m}$(见球谐函数表),如果我们需要一套实数的球谐函数作为基底(例如展开实函数),可以通过欧拉公式(式 3 )把该因子变为 $ \sin\left(m\phi\right) $ 和 $ \cos\left(m\phi\right) $

\begin{equation} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m \phi} = \cos\left(m\phi\right) \pm \mathrm{i} \sin\left(m\phi\right) \end{equation}

   定义实球谐函数为

\begin{equation} \mathcal Y_{l,m} = \left\{\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{2}}[(-1)^{m} Y_{l,m} + Y_{l,-m}] \quad &(m > 0)\\ &Y_{l,0} \qquad &(m = 0)\\ &\frac{1}{\sqrt{2} \mathrm{i} }[(-1)^{m} Y_{l,-m} - Y_{l,m}] &(m < 0) \end{aligned}\right. \end{equation}
从球谐函数表 中可知,上式两个方括号中第一项 $\sim \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \phi}$,第二项 $\sim \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \phi}$,所以 $m > 0$ 时 $\mathcal Y_{l,0} \sim 2 \cos\left(m\phi\right) $,$m < 0$ 时 $\mathcal Y_{l,0} \sim 2 \sin\left(m\phi\right) $,$m = 0$ 时与 $\phi$ 无关.

   由于不同的 $Y_{l,m}$ 是正交归一的,所以式 2 把两个球谐函数相加后,需要在前面乘以 $1/\sqrt{2}$ 保持正交归一:

\begin{equation} \int \mathcal Y_{l',m'} ^* ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathcal Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = \delta_{l,l'}\delta_{m,m'} \end{equation}

   在球谐函数表 中,要把复球谐函数变为实球谐函数,只需要把奇数 $m$ 前面的 $\mp$ 去掉,再把 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \phi}$ 分别替换为 $\sqrt{2} \cos\left(m\phi\right) $ 和 $\sqrt{2} \sin\left(m\phi\right) $ 即可.

   根据式 2 ,复球谐函数的性质都容易类推到实球谐函数,这里不再赘述.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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