实球谐函数
贡献者: addis
1球谐函数 中唯一的复数因子是 (见球谐函数表),如果我们需要一套实数的球谐函数作为基底(例如用于展开实函数),可以通过欧拉公式(式 3 )把该因子变为 和
定义
实球谐函数为
其中 是连带勒让德函数,归一化系数为
与球谐函数的关系为
上式两个方括号中第一项 ,第二项 , 是为了抵消 Condon–Shortley 相位(
子节 3 )。所以 时 , 时 , 时与 无关。
把式 2 与球谐函数的定义(式 1 )相比可知,在球谐函数表中,要把复球谐函数变为实球谐函数,只需要把奇数 前面的 去掉,再把 分别替换为 和 即可。故我们不再重复给出 列表。
由于不同的 是正交归一的,所以式 4 把两个球谐函数相加后,需要在前面乘以 保持正交归一条件:
根据
式 4 ,复球谐函数的许多其他性质都容易类推到实球谐函数,这里不再赘述。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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