实球谐函数

                     

贡献者: addis

预备知识 球谐函数

  1球谐函数 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 中唯一的复数因子是 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m\phi}$(见球谐函数表),如果我们需要一套实数的球谐函数作为基底(例如用于展开实函数),可以通过欧拉公式(式 3 )把该因子变为 $ \sin\left(m\phi\right) $ 和 $ \cos\left(m\phi\right) $

\begin{equation} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m \phi} = \cos\left(m\phi\right) \pm \mathrm{i} \sin\left(m\phi\right) ~. \end{equation}
定义实球谐函数
\begin{equation} \mathcal Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \left\{\begin{aligned} &(-1)^{m}\sqrt{2} A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \cos\left(m\phi\right) &&(m > 0)\\ &A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) &&(m = 0)\\ &(-1)^{m}\sqrt{2} A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \sin\left(m\phi\right) &&(m < 0)~. \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $P_l^m$ 是连带勒让德函数,归一化系数为
\begin{equation} A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi }\frac{(l - m)!}{(l + m)!}}~. \end{equation}
与球谐函数的关系为
\begin{equation} \mathcal Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \left\{\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{2}}[(-1)^{m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) + Y_{l,-m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )] &&(m > 0)\\ &Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) &&(m = 0)\\ &\frac{1}{\sqrt{2}\ \mathrm{i} }[(-1)^{m} Y_{l,-m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) - Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )] &&(m < 0)~. \end{aligned}\right. \end{equation}
上式两个方括号中第一项 $\sim \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \phi}$,第二项 $\sim \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \phi}$,$(-1)^m$ 是为了抵消 Condon–Shortley 相位(子节 3 )。所以 $m > 0$ 时 $\mathcal Y_{l,m} \sim \cos\left(m\phi\right) $,$m < 0$ 时 $\mathcal Y_{l,m} \sim \sin\left(m\phi\right) $,$m = 0$ 时与 $\phi$ 无关。

   把式 2 与球谐函数的定义(式 1 )相比可知,在球谐函数表中,要把复球谐函数变为实球谐函数,只需要把奇数 $m$ 前面的 $\mp$ 去掉,再把 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m\phi}$ 分别替换为 $\sqrt{2} \cos\left(m\phi\right) $ 和 $\sqrt{2} \sin\left(m\phi\right) $ 即可。故我们不再重复给出 $\mathcal Y_{l,m}$ 列表。

   由于不同的 $Y_{l,m}$ 是正交归一的,所以式 4 把两个球谐函数相加后,需要在前面乘以 $1/\sqrt{2}$ 保持正交归一条件:

\begin{equation} \int \mathcal Y_{l',m'} ^* ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathcal Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = \delta_{l,l'}\delta_{m,m'}~. \end{equation}
根据式 4 ,复球谐函数的许多其他性质都容易类推到实球谐函数,这里不再赘述。


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利