实球谐函数

贡献者： addis

预备知识　球谐函数

　　¹球谐函数 $Y_{l, m} (\hat{r})$ 中唯一的复数因子是 $e^{\pm i m ϕ}$ （见球谐函数表），如果我们需要一套实数的球谐函数作为基底（例如用于展开实函数），可以通过欧拉公式（式 3 ）把该因子变为 $\sin (m ϕ)$ 和 $\cos (m ϕ)$

\begin{matrix} (1) & e^{\pm i m ϕ} = \cos (m ϕ) \pm i \sin (m ϕ) . \end{matrix}

定义实球谐函数为

\begin{matrix} (2) & Y_{l, m} (\hat{r}) = {\begin{aligned} (- 1)^{m} \sqrt{2} A_{l, m} P_{l}^{m} (\cos θ) \cos (m ϕ) & (m > 0) \\ A_{l, m} P_{l}^{m} (\cos θ) & (m = 0) \\ (- 1)^{m} \sqrt{2} A_{l, m} P_{l}^{m} (\cos θ) \sin (m ϕ) & (m < 0) . \end{aligned} \end{matrix}

其中

P_{l}^{m}

是连带勒让德函数，归一化系数为

\begin{matrix} (3) & A_{l, m} = \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} . \end{matrix}

与球谐函数的关系为

\begin{matrix} (4) & Y_{l, m} (\hat{r}) = {\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} [(- 1)^{m} Y_{l, m} (\hat{r}) + Y_{l, - m} (\hat{r})] & (m > 0) \\ Y_{l, 0} (\hat{r}) & (m = 0) \\ \frac{1}{\sqrt{2} i} [(- 1)^{m} Y_{l, - m} (\hat{r}) - Y_{l, m} (\hat{r})] & (m < 0) . \end{aligned} \end{matrix}

上式两个方括号中第一项

\sim e^{i ϕ}

，第二项

\sim e^{- i ϕ}

，

(- 1)^{m}

是为了抵消 Condon–Shortley 相位（子节 3 ）。所以

m > 0

时

Y_{l, m} \sim \cos (m ϕ)

，

m < 0

时

Y_{l, m} \sim \sin (m ϕ)

，

m = 0

时与

ϕ

无关。

　　把式 2 与球谐函数的定义（式 1 ）相比可知，在球谐函数表中，要把复球谐函数变为实球谐函数，只需要把奇数 $m$ 前面的 $\mp$ 去掉，再把 $e^{\pm i m ϕ}$ 分别替换为 $\sqrt{2} \cos (m ϕ)$ 和 $\sqrt{2} \sin (m ϕ)$ 即可。故我们不再重复给出 $Y_{l, m}$ 列表。

　　由于不同的 $Y_{l, m}$ 是正交归一的，所以式 4 把两个球谐函数相加后，需要在前面乘以 $1 / \sqrt{2}$ 保持正交归一条件：

\begin{matrix} (5) & \int Y_{l^{'}, m^{'}}^{*} (\hat{r}) Y_{l, m} (\hat{r}) d Ω = δ_{l, l^{'}} δ_{m, m^{'}} . \end{matrix}

根据式 4 ，复球谐函数的许多其他性质都容易类推到实球谐函数，这里不再赘述。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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