Wigner D 矩阵、球谐函数的旋转

贡献者： addis

预备知识　球谐函数，正交矩阵、酉矩阵，欧拉角

　　¹若我们把球谐函数 $Y_{l, m} (\hat{r})$ 绕原点进行某种旋转，得到的函数可以表示成球谐函数的线性组合，且只需要同一个 $l$ 子空间中的球谐函数，若将旋转算符（主动）记为 $R$ ，则

\begin{matrix} (1) & R | l, m ⟩ = \sum_{m^{'}} | l, m^{'} ⟩ ⟨ l, m^{'} | R | l, m ⟩, \end{matrix}

我们把系数矩阵称为 Wigner D 矩阵

\begin{matrix} (2) & D_{m^{'}, m}^{l} = ⟨ l, m^{'} | R | l, m ⟩ . \end{matrix}

由于旋转算符是正交算符，所以 Wigner D 矩阵是酉矩阵。注意该矩阵一般是复数的，因为作为基底的球谐函数一般是复数的。

1. 表达式

　　一种定义旋转的方法就是利用 $z y z$ 欧拉角, 即先将 $| l, m ⟩$ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $γ$ 角，再绕 $y$ 轴逆时针旋转 $β$ 角，最后绕 $z$ 轴旋转 $α$ 角。我们将旋转算符记为 $R (α, β, γ)$ 。由球谐函数的定义式 1 ，第一个旋转得到 $\exp (- i m γ) | l, m ⟩$ 。

　　第二个旋转为

\begin{matrix} (3) & R (0, β, 0) | l, m ⟩ = \sum_{m^{'}} ⟨ l, m^{'} | R (0, β, 0) | l, m ⟩ | l, m^{'} ⟩ . \end{matrix}

我们把系数矩阵称为 Wigner d 矩阵，是 Wigner D 矩阵的一个特例。

\begin{matrix} (4) & d_{m^{'}, m}^{l} (β) = D_{m^{'}, m}^{l} (0, β, 0) = ⟨ l, m^{'} | R (0, β, 0) | l, m ⟩ . \end{matrix}

其表达式为（推导略）

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} d_{m^{'}, m}^{l} (β) = & \sqrt{(l + m^{'})! (l - m^{'})! (l + m)! (l - m)!} \times \\ \sum_{s} \frac{(- 1)^{m^{'} - m + s} {(\cos \frac{β}{2})}^{2 l + m - m^{'} - 2 s} {(\sin \frac{β}{2})}^{m^{'} - m + 2 s}}{(l + m - s)! s! (m^{'} - m + s)! (l - m^{'} - s)!} \end{aligned} . \end{matrix}

其中

s

的取值范围需要保证被阶乘的数为非负。

　　第二次旋转完以后我们得到若干个 $| l, m^{'} ⟩$ 的线性组合，要再次绕 $z$ 轴旋转 $α$ 角，只需要把它们分别乘以 $\exp (- i m^{'} α)$ 即可。所以 Wigner D 矩阵的完整表达式为

\begin{matrix} (6) & D_{m^{'}, m}^{l} (α, β, γ) = e^{- i m^{'} α} d_{m^{'}, m}^{l} (β) e^{- i m γ} . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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