Wigner D 矩阵

             

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预备知识 球谐函数

   若我们把球谐函数 $Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 绕原点进行某种旋转,得到的函数可以表示成球谐函数的线性组合,且只需要同一个 $l$ 子空间中的球谐函数,若将旋转算符(主动)记为 $\mathcal{R}$,则

\begin{equation} \mathcal R \left\lvert l, m \right\rangle = \sum_{m'} \left\lvert l, m' \right\rangle \left\langle l, m' \middle| \mathcal R \middle| l, m \right\rangle \end{equation}
我们把系数矩阵称为 Wigner D 矩阵
\begin{equation} D_{m', m}^l = \left\langle l, m' \middle| \mathcal R \middle| l, m \right\rangle \end{equation}

1. 表达式

   一种定义旋转的方法就是利用三个欧拉角(链接未完成),即先将 $ \left\lvert l, m \right\rangle $ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\gamma$ 角,再绕 $y$ 轴逆时针旋转 $\beta$ 角,最后绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角.我们将旋转算符记为 $\mathcal R(\alpha, \beta, \gamma)$.由球谐函数的定义式 1 ,第一个旋转得到 $ \exp\left(- \mathrm{i} m \gamma\right) \left\lvert l, m \right\rangle $.

   第二个旋转为

\begin{equation} \mathcal R(0, \beta, 0) \left\lvert l, m \right\rangle = \sum_{m'} \left\langle l, m' \middle| \mathcal R(0, \beta, 0) \middle| l, m \right\rangle \left\lvert l, m' \right\rangle \end{equation}
我们把系数矩阵称为 Wigner d 矩阵,是 Wigner D 矩阵的一个特例.
\begin{equation} d_{m', m}^l(\beta) = D_{m', m}^l(0, \beta, 0) = \left\langle l, m' \middle| \mathcal R(0, \beta, 0) \middle| l, m \right\rangle \end{equation}
其表达式为(推导略)
\begin{equation} \begin{aligned} d_{m', m}^l (\beta) = &\sqrt{(l + m')! (l - m')! (l + m)! (l - m)!} \times\\ &\sum_s \frac{(-1)^{m' - m + s} \left(\cos \frac{\beta}{2} \right) ^{2l + m - m' - 2s} \left(\sin\frac{\beta}{2} \right) ^{m' - m + 2s}}{(l + m - s)! s! (m' - m + s)! (l - m' - s)!} \end{aligned} \end{equation}
其中 $s$ 的取值范围需要保证被阶乘的数为非负.

   第二次旋转完以后我们得到若干个 $ \left\lvert l, m' \right\rangle $ 的线性组合,要再次绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角,只需要把它们分别乘以 $ \exp\left(- \mathrm{i} m' \alpha\right) $ 即可.所以 Wigner D 矩阵的完整表达式为

\begin{equation} D_{m', m}^l(\alpha, \beta, \gamma) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} m' \alpha} d_{m', m}^l(\beta) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} m \gamma} \end{equation}

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