球贝塞尔函数

             

预备知识 贝塞尔函数

  1球贝塞尔方程(spherical Bessel's equation)

\begin{equation} x^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} + [x^2 - l(l + 1)]y = 0 \end{equation}

图
图 1:球贝塞尔函数和球汉克尔函数(来自 Wikipedia)

   两个线性无关的解分别为第一类球贝塞尔函数 $j_l(x)$ 和第二类球贝塞尔函数 $y_l(x)$,见图 1 .它们可以通过贝塞尔函数 $J$,$Y$ 来定义

\begin{equation} j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x) \qquad y_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{l+1/2}(x) \end{equation}
同样也可以定义两类球汉克尔函数(spherical Hankel's function)
\begin{equation} h_l^{(1)}(x) = \sqrt {\frac{\pi }{2x}} H_{l+1/2}^{(1)}(x) = j_l(x) + \mathrm{i} y_l(x) \end{equation}
\begin{equation} h_l^{(2)}(x) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}} H_{l+1/2}^{(2)}(x) = j_l(x) - \mathrm{i} y_l(x) \end{equation}
另一种等效的定义方式使用 Rayleigh's 方程
\begin{equation} j_l(x) = (-x)^l \left(\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right) ^l \frac{\sin x}{x} \end{equation}
\begin{equation} y_l(x) = -(-x)^l \left(\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right) ^l \frac{\cos x}{x} \end{equation}
$l$ 为整数的球贝塞尔函数都可以用正弦余弦函数表示,例如
\begin{align} &j_0(x) = \frac{\sin x}{x}\\ &j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}\\ &j_2(x) = \left(\frac{3}{x^2} - 1 \right) \frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x}{x^2}\\ &j_3(x) = \left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x} \right) \frac{\sin x}{x} - \left(\frac{15}{x^2}-1 \right) \frac{\cos x}{x} \end{align}
\begin{align} &y_0(x) = -\frac{\cos x}{x}\\ &y_1(x) = -\frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}\\ &y_2(x) = \left(-\frac{3}{x^2}+1 \right) \frac{\cos x}{x} - \frac{3\sin x}{x^2}\\ &y_3(x) = \left(-\frac{15}{x^3}+\frac{6}{x} \right) \frac{\cos x}{x} - \left(\frac{15}{x^2} - 1 \right) \frac{\sin x}{x} \end{align}
更多项可以用 Mathematica 命令如2
l = 4; Series[SphericalBesselJ[l, x], {x, \[Infinity], 1000}] // 
  Normal // Simplify

1. 性质

   原点值

\begin{equation} j_l(0) = \delta_{l,0} \qquad y_l(0) = -\infty \end{equation}

   奇偶性:当 $l$ 为偶数,$j_l, y_l$ 分别是偶函数和奇函数,而 $l$ 为奇数时则相反.

\begin{equation} j_l(-x) = (-1)^l j_l(x) \qquad y_l(-y) = -(-1)^l y_l(x) \end{equation}

   一阶导数满足($f$ 是 $j, y, h^{(1)}, h^{(2)}$ 中的任意一种)

\begin{equation} f'_l(z) = f_{l-1}(z) - \frac{l+1}{z} f_l(z) \end{equation}
渐进形式 当 $x \gg 1$ 时,球贝塞尔函数的渐进表达式为
\begin{equation} j_l(x) \to \sin\left(x - l\pi /2\right) /x \qquad y_l(x) \to - \cos\left(x - l\pi /2\right) /x \end{equation}
\begin{equation} h_l^{(1)}(x) \to ( - \mathrm{i} )^{l+1} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x}/x \qquad h_l^{(2)}(x) \to \mathrm{i} ^{l + 1} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}/x \end{equation}
与勒让德多项式的关系(式 9
\begin{equation} j_l(\rho) = \frac{(- \mathrm{i} )^l}{2} \int_{-1}^1 P_l(x) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \rho x} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
分解($[\dots]$ 表示 Clebsch–Gordan 系数
\begin{equation} j_l(x_1 \pm x_2) = \sum_{l_1,l_2} \mathrm{i} ^{l_1\pm l_2-l} \frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{2l+1} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & l\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} ^2 j_{l_1}(x_1) j_{l_2}(x_2) \end{equation}

2. 积分性质

   由渐进形式可得径向归一化积分为($\delta$ 是狄拉克 $\delta$ 函数,推导见式 17

\begin{equation} \begin{aligned} \int_0^\infty k'r j_l(k'r) \cdot kr j_l(kr) \,\mathrm{d}{r} &= \int_0^\infty \sin\left(k'r - l\pi/2\right) \sin\left(kr - l\pi/2\right) \,\mathrm{d}{r} \\ & = \frac{\pi}{2}\delta(k'-k) \qquad (k, k' > 0) \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \int_{0}^{\infty} j_l(x) \,\mathrm{d}{x} = \frac{\pi l!}{2^{l+1} [(l/2)!]^2} \end{equation}
使用奇偶性式 16 易得
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} j_l(x) \,\mathrm{d}{x} = \left\{\begin{aligned} &\frac{\pi l!}{2^l [(l/2)!]^2} &\quad (l = \text{偶数})\\ &0 &\quad (l = \text{奇数}) \end{aligned}\right. \end{equation}
正交性
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} j_l(x) j_{l'}(x) \,\mathrm{d}{x} = \frac{\pi}{2l+1}\delta_{l,l'} \end{equation}
\begin{equation} \int_0^\infty j_l(k' r) j_l(kr) \,\mathrm{d}{r} = \frac{\pi}{2(2l+1)} \frac{k_ < ^l}{k_ > ^{l+1}} \end{equation}
傅里叶变换
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x} j_l(x) \,\mathrm{d}{x} = \pi \mathrm{i} ^l P_l(k) \end{equation}

3. 修正球贝塞尔函数

   修正球贝塞尔方程

\begin{equation} x^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} - [x^2 + l(l + 1)]y = 0 \end{equation}
两个线性无关解称为第一类修正球贝塞尔函数(modified spherical Bessel function of the first kind)第二类修正球贝塞尔函数
\begin{equation} i_l(x) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}} I_{l+1/2}(x) = \mathrm{i} ^{-l} j_l( \mathrm{i} x) \end{equation}
\begin{equation} k_l(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} K_{l+1/2}(x) = \frac{\pi }{2} \mathrm{i} ^{l + 2} h_l^{(1)}( \mathrm{i} x) \end{equation}
渐进形式为
\begin{equation} i_l(x) \to \frac{ \mathrm{e} ^x}{2x} \qquad k_l(x) \to \frac{\pi}{2} \frac{ \mathrm{e} ^{-x}}{x} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面.以及 R. Mehrem, arXiv:0909.0494 (2009).
2. ^ 笔者也不明白为什么要这么做.

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