质点问题(摘要)

                     

贡献者: ACertainUser

   这是关于质点运动学与动力学问题的摘要与总结。

1. 参考系

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图 1:参考系=参考物+坐标系

   我们往往需要选择一个参考系才能有效地探讨各类物理问题。参考系=参考物+坐标系。

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图 2:参考系不同,对物理量的描述也可能不同

   例如,“小明在教学楼往北 30m 的地方” 这句话就包括了一个参考物 “教学楼”、一个(一维的)坐标系 “北” 和一个单位标尺 “m”。而在另一人看来,小明可能 “在食堂往东 20m”。这两句话看似完全不一样,但都是正确的,只是描述时使用的参考系不同。

惯性参考系

   牛顿第一定律(见下)定义了惯性参考系;相对于惯性参考系匀速运动的参考系还是惯性参考系。

2. 质点运动学

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图 3:位矢、速度、加速度

   质点运动学量描述了质点的位矢、速度、加速度等。

表1:质点运动学量
名称 定义
位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ (原点至质点的矢量)
速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} $
加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}^{2}} $

   反过来,可由加速度、速度求位矢。 $$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \int^{t}_0 \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _0~, $$ $$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \int^{t}_0 \boldsymbol{\mathbf{v}} \,\mathrm{d}{t} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _0~, $$

   $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 与初始条件有关。单由速度不能完全确定质点的位置。比如小明说 “我出门往前走了 30m,又右转再走了 20m”。我们的确可以根据小明的描述画出他的行走路线,但如果不知道小明最初在哪里,我们仍然无从得知他的这段行程之后是从图书馆走到了教室,还是从宿舍走到了食堂。

3. 质点动力学

牛顿定律

   牛顿定律 是经典物理中最伟大的发现(可能没有之一)。由于太重要了,因此我不得不在这里复读一遍:

   牛顿的三大定律无不涉及 “力” 的概念。“力” 又是一个令人费解的抽象概念,不过,你只暂时需要知道 “力是物体之间的相互作用,它会改变物体的形状或运动状态;力的作用效果与力的大小、方向、作用点有关。”(反之,如果物体的形状或运动状态改变,那我们说有力作用在上面)

   牛顿第二定律描述了力对物体运动状态的影响(将牛二写为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{m}$ 时更直观地体现了这一点)1,联系了运动学与动力学。

   有人认为牛顿第二定律定义了力,但在费曼2等人看来,牛二以及牛顿三定律只是描述了力的作用效果,而没有直接定义什么是力,否则将会陷入循环论证的尴尬。

力的合成与分解:力的 “加法”

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图 4:力的合成

   力由矢量描述,并且符合矢量的加减法。我们通过合成或分解力来处理合力或力平衡的问题。

质点动力学量与定理

表2:质点系相关物理定律
名称 公式 涉及的物理量 1 涉及的物理量 2 相应的守恒律
牛二 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 是质点的加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是质点所受合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _0$ 质点所受合力为零时,保持静止或匀速运动。这就是判断质点受力平衡的重要依据。
动量定理 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} $ $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 质点动量是质点质量与速度的乘积 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是质点所受的合力。 若 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,则 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = 0$,即合力为零时,质点动量守恒。
角动量定理 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} $ $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 质点角动量是质点动量与位矢的叉乘 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i $ 是质点所受力矩和;$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i= \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 力矩是力与位矢的叉乘 力矩和为零时,质点角动量守恒
动能定理 $W = \Delta E_k$ $E_k = \frac{1}{2} m v^2$ 质点动能=1/2*质点质量*速度的平方 $W = \sum W_i$ 是各力做的功之和; $W_i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 功是力在质点位移上的“作用量”。 功之和为零时,质点动能守恒
保守力的功-能关系 $W_{CON} = -\Delta E_p$$E_P$ 是势能$W_{CON}$ 是保守力的功之和$W_{C} = 0 \Rightarrow \Delta E_{P} = 0$
机械能定理 $W_{NC} = \Delta E_{mech}$ $E_{mech} = E_k+E_P$ 机械能是动能、势能之和 $W_{NC}$ 是非保守力的功之和 $W_{NC} = 0 \Rightarrow \Delta E_{mech} = 0$

  3,4

分量形式

   由于这些方程大都是矢量方程,因此每个方程其实包括了三个不同方向上的方程。比如在直角坐标系中, $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} F_x &= m a_x \\ F_y &= m a_y \\ F_z &= m a_z \\ \end{aligned} \right . $。同理, $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } = \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} \,\mathrm{d}{v} _x &= a_x \,\mathrm{d}{t} \\ \,\mathrm{d}{v} _y &= a_y \,\mathrm{d}{t} \\ \,\mathrm{d}{v} _z &= a_z \,\mathrm{d}{t} \\ \end{aligned} \right . $。

   因此,尽管这些矢量公式看起来非常简洁,但如果你试图直接计算的话,往往会陷入一些麻烦(例如,在直角坐标系下计算有关圆周运动的问题!)。所以,认真寻找问题中的对称性与不变量、选取合适的坐标系以避免直接计算就尤为重要。

4. 伽利略变换

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图 5:伽利略变换
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图 6:速度的参考系变换

   有时我们需要改变参考系来观察同一质点。伽利略变换告诉我们应该如何在不同参考系中相应地转换物理量(在工科力学中这类问题被称为 “点的复合运动问题”)。我们先处理惯性系之间的相互转换问题,非惯性系问题将在文末简要说明。

表3:惯性系间的伽利略变换
物理量 公式
位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _r$
速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$
加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2}$

   注意到在任意惯性参考系中质点的加速度都一致。根据牛顿第二定律 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $,这暗示了质点所受合力无关惯性参考系。式 3 5

5. 相对性原理

   在任意惯性系中,上述动力学定理始终成立。亦即在不同惯性参考系中可能观察到不同的物理量,但不会观察到不同的物理规律。

6. 非惯性参考系问题

表4:惯性系-非惯性系的伽利略变换
物理量 公式
位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _r$
速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$
加速度(参考系间仅平动) $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$
加速度(参考系间平动+转动) $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r +2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2}$

   除了加速度,其余项完全相同;但加速度变换的物理含义非同一般:再次根据牛二 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $,物体的加速度与其受力直接相关。因此,在非惯性系中看来,物体似乎受额外的假想力,例如惯性力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{惯} = -m \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$、离心力、科氏力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{科} = -2 m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2}\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $

   相应地,在非惯性系中,牛二的形式化为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{惯} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{科} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2} $,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是在惯性系中观察到的质点受力。

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图 7:在地面惯性系 $K1$ 看来,板车以及车上的货物在向右加速,货物自然根据 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 受到来自板车后侧的支持力;而在板车非惯性参考系 $K2$ 看来,货物似乎被一个惯性力压在板车后方。这也是汽车加速时的“推背感”

   例如,在一个(相对于某一惯性参考系)向右加速的参考系看来,所有物体都似乎受一个向左的惯性力。

7. 一些你可能关心的其他问题

   这些结论并不是构建经典力学体系所必需的,但是他们很常用。

   重力:$ \boldsymbol{\mathbf{G}} = mg \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 方向指向地面。地球引力的地表小范围近似。

   引力:$ \boldsymbol{\mathbf{G}} = \frac{GMm}{r^2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 方向是两物体相互吸引的方向。

   静电力:$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{kQq}{r^2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 同种电荷相互吸引、异种电荷相互排斥。静电力与引力的相似引发了人们的无尽遐想。

   摩擦力:$ \boldsymbol{\mathbf{f}} = - \mu N \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 指向物体(将要)运动的反方向。有时也使用 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} = - \alpha v^n \hat{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }$。

   弹簧弹力与回复力: $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = - k \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 方向指向平衡位置

   支持力 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} $:总是垂直于接触面的公切线。


1. ^ 拓展一步:力对物体形状的影响是个复杂得多的问题,包括弹性力学、塑性力学、流体力学...
2. ^ 参考他三本厚厚的《物理学讲义》
3. ^ 有些人(包括笔者)认为,“势能” 源于质点和系统其余部分的相互作用,因此势能应属于整个系统,而非单独这个质点。
4. ^ 看起来,“合力的矩” 与 “力矩的和”$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times (\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i) = \sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i)$ 是一样的,但只有单个质点时才如此,在多质点体系(质点系与刚体)中只有 “力矩的和” 有意义。因此,本文避免了前者这种具有迷惑性的写法。
5. ^ 拓展一步:实际问题比这个看似平凡的结论微妙得多。一个经典的问题是,“如果在 S 系中观察到一电荷在磁场中运动,那么 S 系的观察者会认为电荷受磁场力;但在随电荷一同运动的 S‘参考系中的观察者看来,电荷静止不动,则不应受磁场力!为什么两个参考系中的观察者会 “看到” 电荷不同的受力情况?那电荷到底如何运动?” 对于这类问题的思考启发了狭义相对论与相对论性电动力学。简要的回答是,根据洛伦兹变换,在 S’系中的观察者其实看到了磁场 “变成了” 电场,因此电荷受电场力,他的方向与大小恰好等效于 S 系观察者所认为的磁场力。尽管两个参考系的人对于力的来源意见不一,但力的作用效果是完全相同的。


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