质点问题（摘要）

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　　 这是关于质点运动学与动力学问题的摘要与总结。

1. 参考系

　　 我们往往需要选择一个参考系才能有效地探讨各类物理问题。参考系=参考物+坐标系。

　　 例如，“小明在教学楼往北 30m 的地方” 这句话就包括了一个参考物 “教学楼”、一个（一维的）坐标系 “北” 和一个单位标尺 “m”。而在另一人看来，小明可能 “在食堂往东 20m”。这两句话看似完全不一样，但都是正确的，只是描述时使用的参考系不同。

惯性参考系

　　 牛顿第一定律(见下)定义了惯性参考系；相对于惯性参考系匀速运动的参考系还是惯性参考系。

2. 质点运动学

　　 质点运动学量描述了质点的位矢、速度、加速度等。

　　 反过来，可由加速度、速度求位矢。 $$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \int^{t}_0 \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _0 $$ $$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \int^{t}_0 \boldsymbol{\mathbf{v}} \,\mathrm{d}{t} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 $$

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 与初始条件有关。单由速度不能完全确定质点的位置。比如小明说 “我出门往前走了 30m，又右转再走了 20m”。我们的确可以根据小明的描述画出他的行走路线，但如果不知道小明最初在哪里，我们仍然无从得知他的这段行程之后是从图书馆走到了教室，还是从宿舍走到了食堂。

3. 质点动力学

牛顿定律

　　 牛顿定律 是经典物理中最伟大的发现（可能没有之一）。由于太重要了，因此我不得不在这里复读一遍：

• 第一定律：不受力或受合力为零的质点做匀速直线运动或静止。
• 第二定律：质点所受合外力等于质点的质量乘以加速度。
• 第三定律：两质点的相互作用力等大反向。

　　 “力” 又是一个令人费解的抽象概念，不过，你只暂时需要知道 “力是物体之间的相互作用，它会改变物体的形状或运动状态；力的作用效果与力的大小、方向、作用点有关。”（反之，如果物体的形状或运动状态改变，那我们说有力作用在上面）

　　 牛顿第二定律描述了力对物体运动状态的影响(将牛二写为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{m}$ 时更直观地体现了这一点)¹，联系了运动学与动力学。

力的合成与分解：力的 “加法”

　　 力由矢量描述，并且符合矢量的加减法。我们通过合成或分解力来处理合力或力平衡的问题。

质点动力学量与定理

　　²,³

4. 伽利略变换

　　 有时我们需要改变参考系来观察同一质点。伽利略变换告诉我们应该如何在不同参考系中相应地转换物理量（在工科力学中这类问题被称为 “点的复合运动问题”）。我们先处理惯性系之间的相互转换问题，非惯性系问题将在文末简要说明。

　　 注意到在任意惯性参考系中质点的加速度都一致。根据牛顿第二定律 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $，这暗示了质点所受合力无关惯性参考系。式 3 ⁴

5. 相对性原理

　　 在任意惯性系中，上述动力学定理始终成立。亦即在不同惯性参考系中可能观察到不同的物理量，但不会观察到不同的物理规律。

6. 非惯性参考系问题

　　 除了加速度，其余项完全相同；但加速度变换的物理含义非同一般：再次根据牛二 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $，物体的加速度与其受力直接相关。因此，在非惯性系中看来，物体似乎受额外的假想力，例如惯性力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{惯} = -m \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$、离心力、科氏力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{科} = -2 m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2}\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 。

　　 相应地，在非惯性系中，牛二的形式化为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{惯} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{科} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2} $，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是在惯性系中观察到的质点受力。

　　 例如，在一个（相对于某一惯性参考系）向右加速的参考系看来，所有物体都似乎受一个向左的惯性力。

7. 一些你可能关心的其他问题

　　 这些结论并不是构建经典力学体系所必需的，但是他们很常用。

　　 重力：$ \boldsymbol{\mathbf{G}} = mg \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 方向指向地面。地球引力的地表小范围近似。

　　 引力：$ \boldsymbol{\mathbf{G}} = \frac{GMm}{r^2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 方向是两物体相互吸引的方向。

　　 静电力：$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{kQq}{r^2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 同种电荷相互吸引、异种电荷相互排斥。静电力与引力的相似引发了人们的无尽遐想。

　　 摩擦力：$ \boldsymbol{\mathbf{f}} = - \mu N \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 指向物体（将要）运动的反方向。有时也使用 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} = - \alpha v^n \hat{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }$。

　　 弹簧弹力与回复力: $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = - k \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 方向指向平衡位置

　　 支持力 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} $：总是垂直于接触面的公切线。

1. ^ 拓展一步：力对物体形状的影响是个复杂得多的问题，包括弹性力学、塑性力学、流体力学...
2. ^ 有些人（包括笔者）认为，“势能” 源于质点和系统其余部分的相互作用，因此势能应属于整个系统，而非单独这个质点。
3. ^ 看起来，“合力的矩” 与 “力矩的和”$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times (\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i) = \sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i)$ 是一样的，但只有单个质点时才如此，在多质点体系（质点系与刚体）中只有 “力矩的和” 有意义。因此，本文避免了前者这种具有迷惑性的写法。
4. ^ 拓展一步：实际问题比这个看似平凡的结论微妙得多。一个经典的问题是，“如果在 S 系中观察到一电荷在磁场中运动，那么 S 系的观察者会认为电荷受磁场力；但在随电荷一同运动的 S‘参考系中的观察者看来，电荷静止不动，则不应受磁场力！为什么两个参考系中的观察者会 “看到” 电荷不同的受力情况？那电荷到底如何运动？” 对于这类问题的思考启发了狭义相对论与相对论性电动力学。简要的回答是，根据洛伦兹变换，在 S’系中的观察者其实看到了磁场 “变成了” 电场，因此电荷受电场力，他的方向与大小恰好等效于 S 系观察者所认为的磁场力。尽管两个参考系的人对于力的来源意见不一，但力的作用效果是完全相同的。