牛顿运动定律、惯性系

贡献者： addis

预备知识 1　牛顿运动定律（高中），力的合成与分解，速度的参考系变换

　　牛顿的三定律可表述如下，为了避免讨论物体的质心及转动，这里我们只讨论质点。

第一定律：不受力或受合力为零的质点做匀速直线运动或静止。
第二定律：质点所受合外力等于质点的质量乘以加速度。
第三定律：两质点的相互作用力等大反向。

1. 第一定律

　　牛顿第一定律的作用是定义惯性坐标系（inertial frame of reference，简称惯性系）：定义满足牛顿第一定律的参考系就是惯性系，且惯性系存在。

推论 1　推论

　　相对某惯性系静止或匀速运动且没有相对转动的参考系也是惯性系，否则不是惯性系。

　　证明：若已知 $A$ 系为惯性系，$B$ 系相对 $A$ 系的平移速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}$，质点在两系中的瞬时速度分别记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _A, \boldsymbol{\mathbf{v}} _B$，则由高中的 “绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度”（式 1 ）得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{B} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{A} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}~. \end{equation}

由于 $A$ 是惯性系，所以任何不受力的质点 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{A}$ 都不随时间变化。若 $B$ 与 $A$ 之间静止或匀速运动且没有相对转动，那么相对速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}$ 也不随时间变化，所以任何不受力的质点在 $B$ 中的速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{B}$ 也不随时间变化，所以 $B$ 也是惯性系。但若两系之间有任何相对的加速度（包括转动和加速平移），那么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}$ 将随时间或位置变化，也就不能保证对任意的不受力质点 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _B$ 都不随时间变化，所以 $B$ 系就不是惯性系。

2. 第二定律

预备知识 2　牛顿第二定律的矢量形式

　　牛顿第二定律只能在惯性系中使用，在非惯性系中需要用惯性力对合力进行修正才能成立。用矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 表示合力，牛顿第二定律记为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} ~. \end{equation}

高中物理只强调圆周运动和直线运动，所以一般 $F$ 和 $a$ 都记为标量，请读者不要局限在高中思维。这是一条矢量表达式，加速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 是位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 关于时间的二阶导数，或者速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 关于时间的导数。加速度和速度不必共线也不必垂直。

动量定理

　　牛顿本人对第二定律的表述使用了动量定理，记质点的动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $，则

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}

在经典力学中，由于质量不发生变化，式 2 和式 3 是等效的，但令人惊讶的是，牛顿所用的形式在狭义相对论中仍然成立¹，而式 2 却不成立。

3. 第三定律

　　广义来说，牛顿第三定律就是动量守恒定律。牛顿第三定律在任何参考系中都适用，但是要注意两点。第一，在非惯性系中，由于惯性力作为一个数学上的修正，并不是真正的力，所以不存在反作用力。第二，在考虑电磁力时，由于电磁场可能具有动量，所以动量守恒定律要求所有物体与电磁场的动量之和守恒，而不仅仅是质点的总动量守恒。在考虑两带电粒子的相互作用力时，若假设粒子的运动速度较慢，则磁场可以忽略，电磁场动量始终为零，此时两粒子的总动量守恒，相互作用力等大反向。

1. ^ 在狭义相对论中，动量的定义有所不同。