加速度的坐标系变换

             

预备知识 速度的参考系变换

1. 无相对转动

   类比式 1 ,若两个参考系之间只有平移没有转动,令某时刻点 $P$ 相对于 $S$ 系和 $S'$ 系的加速度分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$,再令两坐标系中任意两个固定点(例如各自的原点)之间的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$,那么有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r \end{equation}
同样地,如果要将该式写成分量的形式,三个矢量必须使用同一坐标系(见例 1 ).

2. 一般情况

   类比式 2 ,若两参考系之间有可能存在转动,牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$ 的定义会变得比牵连速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 更微妙,因为牵连速度与坐标系选取无关,而牵连加速度却有关! 我们举例解释.

例 1 牵连加速度

   令 $S'$ 系原点沿着 $S$ 系的单位矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 匀速运动,且相对 $S$ 系以恒定角速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = 2 \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 转动.令 $t = 0$ 时两系完全重合,且点 $P$ 恰好经过原点.我们来讨论此刻原点处的牵连速度.

   显然,两参考系 $t = 0$ 时刻的固定点就是各自的原点 $O_S$ 和 $O_{S'}$.$O_{S'}$ 延 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动,所以 $S$ 系的观察者会认为牵连加速度为零.然而在 $S'$ 系的观察者看来,$O_S$ 始终在做速度不为零的曲线运动,所以 $t = 0$ 时牵连加速度不为零.

   我们在 $S$ 系中讨论问题.定义 $t$ 时刻点 $P$ 在 $S'$ 系中的固定点相对于 $S$ 系的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$.那么可以证明(比式 1 多出了一项)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是 $S'$ 系相对于 $S$ 系的瞬时角速度.最后一项被称为科里奥利加速度(Coriolis Acceleration)
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}

   若我们把 $S'$ 相对于 $S$ 的运动分解为原点的平移加绕原点的转动,那么牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$ 也可以分解为平移加速度和旋转加速度的矢量和,而旋转加速度又可以分为向心加速度和角加速度引起的切向加速度.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _T + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
其中平移加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _T$ 的定义为 $S'$ 系原点相对于 $S$ 系原点(关于 $S$ 系)的加速度.

习题 1 

   请使用例 2 的情景验证式 2

习题 2 

   试证明式 4

3. 证明(旋转矩阵)

预备知识 旋转矩阵的导数

   我们在 $S$ 系中以坐标的形式证明式 2 ,即式中的矢量都看作是 $S$ 系中的三个坐标.令点 $P$ 在两系中的坐标分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _S(t) = (x, y, z) ^{\mathrm{T}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}(t) = (x', y', z') ^{\mathrm{T}} $,且坐标变换可以用一个旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 和一个平移矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{d}} (t)$ 表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r_{S'}}} + \boldsymbol{\mathbf{d}} \end{equation}
两边关于时间求导得1
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r_{S'}}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}+ \dot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} } \end{equation}
再求导并整理得
\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} + (\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }) + 2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} \end{equation}
下面我们只需证明这三项分别对应式 2 的各项即可.

   在 $S$ 系中,显然有 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S$.$P$ 在 $S'$ 系中的加速度为 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$,乘以旋转矩阵就变换到 $S$ 系中,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$.

   若 $S'$ 系中的固定点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}$ 不随时间变化,则求二阶导数得 $S'$ 系中固定点相对于 $S$ 系中固定点的加速度(在 $S$ 系中的坐标)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _r = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} } \end{equation}

   再来看式 7 最后一项,将式 1 代入,得

\begin{equation} 2\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} = 2 \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}) = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}
这就是式 2 的最后一项.证毕.


1. ^ 用一点表示时间导数,两点表示时间二阶导数

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