贡献者： addis; Entanglement
1. 无相对转动
若两个参考系之间只有平移没有转动，某时刻两个参考系中任意两个固定点之间的加速度都是相等的（类比式 1 ）。令某时刻点 $P$ 相对于 $S$ 系和 $S'$ 系的加速度分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$，再令两坐标系之间的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$，那么有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r~.
\end{equation}
同样地，如果要将该式写成分量的形式，三个矢量必须使用同一坐标系（见
例 1 ）。
例 1
如图 1 一个圆盘绕着圆形轨道的外侧无摩擦滚动，圆盘中心的相对于轨道中心的角速度为 $\omega$，求圆盘边缘上一点在任意时刻的加速度。
图 1：例 1 图示
解：我们令轨道参考系为 $S$ 系，$S'$ 系的原点为点 $A$，且相对 $S$ 系无转动，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 从 $O$ 指向接触点，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 从 $A$ 指向边缘上一点 $P$，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r$ 是单位矢量，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $ 同理。那么在 $S'$ 系中，$P$ 的角速度等于 “相对于接触点的角速度” 加 “接触点的角速度”
\begin{equation}
\omega_1 = \frac{\omega R}{r} + \omega~.
\end{equation}
向心加速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = -\omega_1^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} = -\frac{(R+r)^2}{r} \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
圆盘中心 $A$ 点相对于圆形轨道中心 $O$ 点的加速度，也就是 $S'$ 相对于 $S$ 的加速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _r = -\omega^2 (R + r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~,
\end{equation}
代入
式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r = -\frac{(R+r)^2}{r} \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} -\omega^2 (R + r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~.
\end{equation}
例如当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 同方向时（点 $P$ 离 $O$ 最远），$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = - \left(\frac{R^2}{r} + 2r + 3R \right) \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~.
\end{equation}
反方向时（点 $P$ 离 $O$ 最近），$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \left(\frac{R^2}{r} + R \right) \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~.
\end{equation}
另一种方法是假设 $S'$ 以 $A$ 为原点且相对 $S$ 系以 $\omega$ 逆时针旋转，此时必须考虑下文的科里奥利加速度，见习题 1 。
2. 有相对转动
类比式 1 ，若两参考系之间有可能存在转动，牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$ 的定义会变得比牵连速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 更微妙，因为牵连速度与参考系的选取无关，而牵连加速度却有关！ 我们举例解释。
例 2 牵连加速度
令 $S'$ 系原点沿着 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动，且相对 $S$ 系以恒定角速度矢量（子节 3 ）$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 转动。令 $t = 0$ 时两系完全重合。我们来讨论此刻原点处的牵连速度。
两参考系 $t = 0$ 时刻的固定点为各自的原点 $O$ 和 $O'$。$O'$ 延 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动，所以 $S$ 系的观察者会认为牵连加速度为零。然而在 $S'$ 系的观察者看来，$O$ 始终在做速度不为零的曲线运动，所以 $t = 0$ 时牵连加速度不为零。
我们在 $S$ 系中讨论问题。定义 $t$ 时刻点 $P$ 在 $S'$ 系中的固定点相对于 $S$ 系的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$。那么可以证明（证明见下文）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~.
\end{equation}
这比
式 1 多出了一项，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是 $S'$ 系相对于 $S$ 系的瞬时角速度。最后一项被称为
科里奥利加速度（Coriolis Acceleration）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _c = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~.
\end{equation}
若我们把 $S'$ 相对于 $S$ 的运动分解为原点的平移加绕原点的转动，那么牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$ 也可以分解为平移加速度和旋转加速度，而旋转加速度又可以分为向心加速度（式 11 ）和角加速度项。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'})
= \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}~,
\end{equation}
其中平移加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'}$ 的定义为 $S'$ 系原点在 $S$ 系中的加速度。
一种常见的特殊情况是，当两坐标系原点重合，且相对匀速转动时，有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}) + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~,
\end{equation}
最后两项分别是向心加速度以及科里奥利加速度。
习题 1
- 请使用例 1 的情景验证式 8 。
- 使用旋转参考系计算例 1 ，是否能得到相同的结果？（假设 $S'$ 系关于 $S$ 系逆时针以 $\omega$ 旋转）。
证明（旋转矩阵法）
我们在 $S$ 系中以坐标的形式证明式 8 ，如无声明式中的矢量都看作是 $S$ 系中的三个坐标。令点 $P$ 在两系中的坐标分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _S(t) = (x\ y\ z) ^{\mathrm{T}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}(t) = (x'\ y'\ z') ^{\mathrm{T}} $，且坐标变换可以用一个旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 和一个平移矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{d}} (t)$ 表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{d}} ~.
\end{equation}
两边关于时间求导得
1
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}+ \dot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }~,
\end{equation}
再求导并整理得
\begin{equation}
\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} + (\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }) + 2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}~,
\end{equation}
下面我们只需证明这三项分别对应
式 8 的各项即可。
在 $S$ 系中，显然有 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S$。$P$ 在 $S'$ 系中的加速度为 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$，乘以旋转矩阵就变换到 $S$ 系中，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$。
若 $S'$ 系中的固定点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}$ 不随时间变化，则式 12 求二阶导数得 $S'$ 系中固定点相对于 $S$ 系中固定点的加速度（在 $S$ 系中的坐标）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _r = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }~.
\end{equation}
再来看式 14 最后一项，将式 2 代入，得
\begin{equation}
2\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} = 2 \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}) = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~,
\end{equation}
这就是
式 8 的最后一项。证毕。
证明（矢量法）
1. ^ 用符号上方一点表示时间导数，两点表示时间二阶导数。
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