加速度的参考系变换

                     

贡献者: addis; Entanglement; 零穹

预备知识 速度的参考系变换

1. 无相对转动

   若两个参考系之间只有平移没有转动,某时刻两个参考系中任意两个固定点之间的加速度都是相等的(类比式 1 ).令某时刻点 $P$ 相对于 $S$ 系和 $S'$ 系的加速度分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$,再令两坐标系之间的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$,那么有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r \end{equation}
同样地,如果要将该式写成分量的形式,三个矢量必须使用同一坐标系(见例 1 ).

例 1 

   如图 1 一个圆盘绕着圆形轨道的外侧无摩擦滚动,圆盘中心的相对于轨道中心的角速度为 $\omega$,求圆盘边缘上一点在任意时刻的加速度.

图
图 1:例 1 图示

   解:我们令轨道参考系为 $S$ 系,$S'$ 系的原点为点 $A$,且相对 $S$ 系无转动,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 从 $O$ 指向接触点,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 从 $A$ 指向边缘上一点 $P$,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r$ 是单位矢量,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $ 同理.那么在 $S'$ 系中,$P$ 的角速度等于 “相对于接触点的角速度” 加 “接触点的角速度”

\begin{equation} \omega_1 = \frac{\omega R}{r} + \omega \end{equation}
向心加速度为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = -\omega_1^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} = -\frac{(R+r)^2}{r} \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}

   圆盘中心 $A$ 点相对于圆形轨道中心 $O$ 点的加速度,也就是 $S'$ 相对于 $S$ 的加速度为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _r = -\omega^2 (R + r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \end{equation}
代入式 1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r = -\frac{(R+r)^2}{r} \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} -\omega^2 (R + r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \end{equation}
例如当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 同方向时(点 $P$ 离 $O$ 最远),$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = - \left(\frac{R^2}{r} + 2r + 3R \right) \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \end{equation}
反方向时(点 $P$ 离 $O$ 最近),$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \left(\frac{R^2}{r} + R \right) \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \end{equation}

   另一种方法是假设 $S'$ 以 $A$ 为原点且相对 $S$ 系以 $\omega$ 逆时针旋转,此时必须考虑下文的科里奥利加速度,见习题 1

2. 有相对转动

   类比式 5 ,若两参考系之间有可能存在转动,牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$ 的定义会变得比牵连速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 更微妙,因为牵连速度与参考系的选取无关,而牵连加速度却有关! 我们举例解释.

例 2 牵连加速度

   令 $S'$ 系原点沿着 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动,且相对 $S$ 系以恒定角速度矢量(子节 3 )$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 转动.令 $t = 0$ 时两系完全重合.我们来讨论此刻原点处的牵连速度.

   两参考系 $t = 0$ 时刻的固定点为各自的原点 $O$ 和 $O'$.$O'$ 延 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动,所以 $S$ 系的观察者会认为牵连加速度为零.然而在 $S'$ 系的观察者看来,$O$ 始终在做速度不为零的曲线运动,所以 $t = 0$ 时牵连加速度不为零.

   我们在 $S$ 系中讨论问题.定义 $t$ 时刻点 $P$ 在 $S'$ 系中的固定点相对于 $S$ 系的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$.那么可以证明(证明见下文)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}
这比式 1 多出了一项,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是 $S'$ 系相对于 $S$ 系的瞬时角速度.最后一项被称为科里奥利加速度(Coriolis Acceleration)
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}

   若我们把 $S'$ 相对于 $S$ 的运动分解为原点的平移加绕原点的转动,那么牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$ 也可以分解为平移加速度旋转加速度,而旋转加速度又可以分为向心加速度式 11 )和角加速度项

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}) = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} \end{equation}
其中平移加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'}$ 的定义为 $S'$ 系原点在 $S$ 系中的加速度.

   一种常见的特殊情况是,当两坐标系原点重合,且相对匀速转动时,有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}) + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}
最后两项分别是向心加速度以及科里奥利加速度.

习题 1 

  

  1. 请使用例 2 的情景验证式 8
  2. 使用旋转参考系计算例 1 ,是否能得到相同的结果?(假设 $S'$ 系关于 $S$ 系逆时针以 $\omega$ 旋转).

习题 2 

   试证明式 10

证明(旋转矩阵法)

预备知识 旋转矩阵的导数

   我们在 $S$ 系中以坐标的形式证明式 8 ,如无声明式中的矢量都看作是 $S$ 系中的三个坐标.令点 $P$ 在两系中的坐标分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _S(t) = (x\ y\ z) ^{\mathrm{T}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}(t) = (x'\ y'\ z') ^{\mathrm{T}} $,且坐标变换可以用一个旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 和一个平移矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{d}} (t)$ 表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{d}} \end{equation}
两边关于时间求导得1
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}+ \dot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} } \end{equation}
再求导并整理得
\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} + (\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }) + 2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} \end{equation}
下面我们只需证明这三项分别对应式 8 的各项即可.

   在 $S$ 系中,显然有 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S$.$P$ 在 $S'$ 系中的加速度为 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$,乘以旋转矩阵就变换到 $S$ 系中,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$.

   若 $S'$ 系中的固定点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}$ 不随时间变化,则式 12 求二阶导数得 $S'$ 系中固定点相对于 $S$ 系中固定点的加速度(在 $S$ 系中的坐标)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _r = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} } \end{equation}

   再来看式 14 最后一项,将式 2 代入,得

\begin{equation} 2\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} = 2 \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}) = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}
这就是式 8 的最后一项.证毕.

证明(矢量法)

  

未完成:把子节 2 的内容移过来.


1. ^ 用符号上方一点表示时间导数,两点表示时间二阶导数.


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