力矩

             

预备知识 矢量的叉乘

1. 平面力矩

   如果只考虑一个厚度不计的片状物体在平面上的运动和受力,受力点位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $,那么对于一个给定的参考点(除非明确指出,一般取坐标原点),就可以计算物体的受到的力矩.

图
图 1:力矩的两种几何理解

   根据初中所学的方法,应该先作出 “力臂” $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$ 与力的方向垂直(图 1 左).力矩的大小(用 $\tau$ 表示)为

\begin{equation} \tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta \end{equation}
其中 $\theta $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的夹角或其补角1.从另一种角度来看,也可以把力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 正交分解为平行 于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的分量和垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的分量(图 1 右).其中平行分量不产 生力矩,垂直分量产生的力矩为
\begin{equation} \tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} _ \bot \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta \end{equation}
为了区分力矩的两个不同的方向(逆时针和顺时针),通常有两种做法:一是用正负号加以区分,例如规定逆时针的力矩为正,顺时针为负.这种定义把力矩看做一种标量(就像我们讨论一维运动时,将速度表示成标量,用正负号区分方向).

2. 一般定义

   若物体受到若干个力,且受力点不在一个平面内,或者力方向不在同一平面内,则应该在三维空间内考虑力矩,这时力矩只能是矢量,使用位置矢量和力矢量的叉乘定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} \end{equation}
根据这种定义,单个力的力矩大小还是 $\tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta$,但是得到的力矩是矢量.在平面问题中,逆时针的力矩垂直纸面指向读者,而顺时针的力矩方向相反.

3. 力矩的叠加

预备知识 质心,重积分

   若一个物体在多个位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 分别受力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$($i = 1, \dots, N$)2,那么定义总力矩为每个点的力矩之和

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}
如果受力是连续分布的,假设受力的体密度为 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,那么可以由体积分计算总力矩
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \int \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
这个积分可以展开为三个分量的体积分.

习题 1 重力的力矩

   若一个物体处于匀强重力场中,若它的密度分布为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 求它受重力的力矩.

   事实上这个问题与其用式 5 ,还有一种更简单的办法:假设这个物体由许多质点组成,每个质点位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$,质量为 $m_i$,令重力加速度矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} $(这是一个常矢量,指向下),则总力矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times (m_i \boldsymbol{\mathbf{g}} ) = \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} \end{equation}
这里使用了叉乘的分配律.再使用质心的定义,令总质量为 $M = \sum_i m_i$,得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = M \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} \end{equation}
可见在计算匀强重力场对物体得力矩时,我们可以假设所有的重力都集中与质心一点.

4. 力矩的坐标系变换

   一般来说,由于受力点的位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与坐标系的选取有关,现在来看力矩在不同坐标系之间的变换.

   在坐标系 $A$ 中,第 $i$ 个受力点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai}$,物体的合力矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _A = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
在另一坐标系 $B$ 中,$B$ 原点指向 $A$ 原点的矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}$,合力矩为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _B &= \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _A + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{aligned} \end{equation}
其中最后两步使用了叉乘的分配律(式 6 ).由结论可以看出,变换坐标系,力矩需要加上原坐标系相对新坐标系的位移叉乘物体的合力.由此也可以得出,若几个力的合力为零,则它们产生的力矩与参考系无关


1. ^ 因为 $ \sin\left(\pi - \theta\right) = \sin\theta$
2. ^ 如果某个点处受到多个力,我们可以计算该点受到的合力记为 $F_i$

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