力矩

                     

贡献者： addis

预备知识 1　矢量的叉乘

1. 平面力矩

　　 如果只考虑一个厚度不计的片状物体在平面上的运动和受力，受力点位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $，那么对于一个给定的参考点（除非明确指出，一般取坐标原点），就可以计算物体的受到的力矩。

图
图 1：力矩的两种几何理解

　　 根据初中所学的方法，应该先作出 “力臂” $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$ 与力的方向垂直（图 1 左）。力矩的大小（用 $\tau$ 表示）为

\begin{equation} \tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta ~, \end{equation}
其中 $\theta $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的夹角或其补角1。从另一种角度来看，也可以把力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 正交分解为平行 于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的分量和垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的分量（图 1 右）。其中平行分量不产 生力矩，垂直分量产生的力矩为
\begin{equation} \tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} _ \bot \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta ~. \end{equation}
为了区分力矩的两个不同的方向（逆时针和顺时针），通常有两种做法：一是用正负号加以区分，例如规定逆时针的力矩为正，顺时针为负。这种定义把力矩看做一种标量（就像我们讨论一维运动时，将速度表示成标量，用正负号区分方向）。

2. 一般定义

　　 若物体受到若干个力，且受力点不在一个平面内，或者力方向不在同一平面内，则应该在三维空间内考虑力矩，这时力矩只能是矢量，使用位置矢量和力矢量的叉乘定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} ~. \end{equation}
根据这种定义，单个力的力矩大小还是 $\tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta$，但是得到的力矩是矢量。在平面问题中，逆时针的力矩垂直纸面指向读者，而顺时针的力矩方向相反。

3. 力矩的叠加

预备知识 2　质心，重积分

　　 若一个物体在多个位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 分别受力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$（$i = 1, \dots, N$）2，那么定义总力矩为每个点的力矩之和

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~. \end{equation}
如果受力是连续分布的，假设受力的体密度为 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，那么可以由体积分计算总力矩
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \int \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} ~, \end{equation}
这个积分可以展开为三个分量的体积分。

例 1　重力的力矩

　　 若一个物体处于匀强重力场中，若它的密度分布为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 求它受重力的力矩。

　　 事实上这个问题与其用式 5 ，还有一种更简单的办法：假设这个物体由许多质点组成，每个质点位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$，质量为 $m_i$，令重力加速度矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} $（这是一个常矢量，指向下），则总力矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times (m_i \boldsymbol{\mathbf{g}} ) = \sum_i (m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} = \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} ~. \end{equation}
其中第二个等号根据叉乘的几何定义（式 1 ）显然成立，第三个等使用了叉乘的分配律（式 4 ）。

　　 再使用质心的定义（式 6 ），令物体总质量为 $M = \sum_i m_i$，得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = M \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} ~. \end{equation}
可见在计算匀强重力场对物体得力矩时，我们可以假设所有的重力都集中与质心一点。

4. 力矩的坐标系变换

　　 一般来说，由于受力点的位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与坐标系的选取有关，现在来看力矩在不同坐标系之间的变换。

　　 在坐标系 $A$ 中，第 $i$ 个受力点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai}$，物体的合力矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _A = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
在另一坐标系 $B$ 中，$B$ 原点指向 $A$ 原点的矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}$，合力矩为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _B &= \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _A + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~, \end{aligned} \end{equation}
其中最后两步使用了叉乘的分配律（式 4 ）。由结论可以看出，变换坐标系，力矩需要加上原坐标系相对新坐标系的位移叉乘物体的合力。由此也可以得出，若几个力的合力为零，则它们产生的力矩与参考系无关。

1. ^ 因为 $ \sin\left(\pi - \theta\right) = \sin\theta$
2. ^ 如果某个点处受到多个力，我们可以计算该点受到的合力记为 $F_i$


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