简谐振子(经典力学)

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 胡克定律,牛顿第二定律

1. 简谐振子及其运动方程

简谐振子的概念

图
图 1:简谐振子模型

   如图 1 ,质量为 $m$ 的质点固定在弹性系数为 $k$ 的弹簧的一端,弹簧另一端固定,忽略弹簧的质量,任何摩擦以及重力.

   在 $t = 0$ 时,若质点不在平衡位置,或者有一个初速度,则接下来会发生振动.以质点拉伸弹簧的方向为 $x$ 轴正方向,质点的平衡位置为 $x = 0$.当质点在位置 $x$ 时,根据胡克定律,受力为 $F = - kx$.根据牛顿第二定律 $F = ma = m\ddot x$($\ddot x$ 代表对时间的二阶导数). 两式消去 $F$,得

\begin{equation} m\ddot x = - kx \end{equation}
这是一个单自变量常微分方程.我们以弹簧振子为代表,将一切形如式 1 的方程称为简谐振子方程,或者说将一切能量与位置关系满足胡克定律的系统称为简谐振子1

   微分方程式 1 通解表示为:

\begin{equation} x = A \cos\left(\omega t + \phi_0\right) \qquad \left(\omega = \sqrt{k/m} \right) \end{equation}
即无论常数 $A, \phi_0$ 取任意值,形如式 2 的函数都满足式 1 ,且任意一个满足式 1 的函数必取式 2 的形式.

   像式 2 这样满足正弦(余弦)规律的运动叫做简谐运动(或简谐振动).其中 $A$ 为振幅(amplitude),$\omega t + \phi_0$ 为相位(phase),$\phi_0$ 为初相位(initial phase)(即 $t = 0$ 时刻的相位).

   方程式 1 的解法见下:

方程的解法

   由于上式中最高阶导数是二阶,所以叫做二阶微分方程.要解该方程,就是要寻找一个函数 $x(t)$,使它的二阶导数与 $- x(t)$ 成正比,比例系数为 $k/m$.

   注意到 $\cos'' t = - \cos t$ 具有类似的性质2,不妨继续猜测 $x = \cos\left(\omega t\right) $,则 $\ddot x = - {\omega ^2}\cos \omega t$.所以只要令 $\omega = \sqrt{k/m}$ 即可满足方程.这说明,弹簧的振动可以用余弦函数来描述.但是这只是方程的一个解.容易验证,形如式 2 的函数 $x(t)$ 都是式 1 的解.

   事实上,式 2 包含了式 1 的所有解.要证明这一点,需要了解常微分方程的解的结构,因此这里不作讨论.感兴趣的读者请系统学习常微分方程一章.

   式 1 的解法还可参考二阶常系数齐次微分方程的通解,或见常系数线性齐次微分方程,是其中一个简单的特例.

初值与特解

   简谐振子的运动规律式 2 知道了,但是如何决定 $A$ 和 $\phi_0$ 呢?

   由于有两个待定常数,我们需要两个额外条件才能解出.常见的情况是给出初始时刻 $t = 0$ 时质点的位置 $x(0)$ 和速度 $\dot x(0)$,这就叫做初值条件

   例如给出 $x(0) = 0$, $\dot x(0) = v_0$,把方程的通解代入,得 $A\cos \phi_0 = 0$, $ - A\omega \sin \phi_0 = v_0$,解得 $\phi_0 = \pi /2$, $A = -v_0\omega $.所以

\begin{equation} x = - v_0\omega \cos\left(\omega t + \frac{\pi }{2}\right) = v_0\omega \sin \omega t \qquad \left(\omega = \sqrt{k/m} \right) \end{equation}

   初值条件给定,我们便能计算出待定常数 $A$ 和 $\phi_0$,得到唯一的解,即特解.初值条件把不确定的通解固定为唯一特解,其物理意义是初值条件唯一决定了系统的运动状态.

2. 其它简谐振子模型

竖直的弹簧振子

   将图 1 中的弹簧振子竖直放置,忽略弹簧质量,那还是简谐振子吗?答案是肯定的,这是因为胡克定律是线性的.下面是具体讨论.

   设原点仍然定义为弹簧处于原长时的末端,那么小球的运动方程为:

\begin{equation} m\ddot{x} = -kx+mg \end{equation}
作变量代换 $x=y+\frac{mg}{k}$,代回式 4 即得
\begin{equation} m\ddot{y} = m\ddot{x} = -kx+mg = -ky \end{equation}
式 5 就和式 1 一模一样,只是把 $x$ 换成了 $y$.

   由此可见,如果小球所受重力为 $mg$,那么我们只需要把原点定义为比弹簧原长的位置还长 $\frac{mg}{k}$,那整个系统依然是一个平衡点在原点处的弹簧振子.在这个平衡点,重力和弹簧拉力平衡.

小角度单摆

   关于单摆的讨论,另见单摆单摆(大摆角)

   图 2 的左边是一个单摆,右边是摆锤的受力分析.

图
图 2:单摆.

   轻质摆臂的长为 $l$,摆锤的质量为 $m$,则当单摆偏离平衡位置的角度为 $\theta$ 时,摆锤所受合力大小为

\begin{equation} F_{\text{合}} = mg\sin\theta \end{equation}

   设 $x=l\theta$ 是摆锤划过 $\theta$ 角的弧长,于是单摆的运动方程为

\begin{equation} m\ddot{x} = -mg\sin\theta \end{equation}

   这是一个非线性方程.为了简化,我们只考虑摆幅很小的情况(通常取 $\theta < t^\circ$),此时 $\sin\theta$ 近似等于 $\theta$,且 $x$ 也近似等于摆锤的水平位移.于是式 7 化为

\begin{equation} l\ddot{\theta} = -g\theta \end{equation}
式 8 等价于
\begin{equation} \ddot{x} = -\frac{g}{l}x \end{equation}

   显然这也是一个简谐振子.

3. 能量

图
图 3:简谐振子势能曲线

   简谐振子的总能量等于质点动能加弹簧的弹性势能.当位移最大时,动能为 0,总能量等于势能,位移为 0 时势能为 0,总能量等于动能

\begin{equation} E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac12 k x^2 = \frac12 k A^2 = \frac12 m v_0^2 \end{equation}
其中 $v_0$ 是质点经过原点处的速度,即最大速度;$A$ 是质点速度为零时到原点的距离,即最大距离.

4. 频率

   简谐振子作周期性振动,可以计算其振动频率.振动频率的定义是单位时间内完成的周期数量,即完成一个周期所需时间的倒数.

   假设一个简谐振子的运动方程为

\begin{equation} x = A \cos\left(\omega t+\phi_0\right) \end{equation}
其周期为 $T$,那么由于余弦函数的周期是 $2\pi$,可知
\begin{equation} \omega T = 2\pi \end{equation}
于是简谐振子的周期为
\begin{equation} T = \frac{2\pi}{\omega} \end{equation}
从而可得其频率
\begin{equation} \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \end{equation}
式 2 知,$\omega=\sqrt{k/m}$,因此给定的弹簧振子模型的频率为
\begin{equation} \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation}

   类似地,式 9 描述的单摆频率为

\begin{equation} \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} \end{equation}

   当你登陆一颗陌生天体时,可以用一根比较轻的绳子拴着一块重物,配合计时工具,利用式 16 快速地粗测出当地的重力加速度.


1. ^量子简谐振子
2. ^ $\sin t$ 也有同样的性质,所以以下讨论对 $\sin t$ 也成立


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