力的合成与分解

                     

贡献者: ACertainUser; addis

预备知识 几何矢量

1. 力的合成

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图 1:一组力的作用效果等效于他们的合力

   在经典力学中,力可以用几何矢量表示.力的分解与合成可以看作一个基本假设.这个假设是牛顿运动定律的基础,因为牛顿三定律中的 “力” 都是指质点所受的合力.

   当若干个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$($i = 1, 2, \dots, N$)作用在同一个质点上时,等效于一个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 作用在同一个质点上.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 + \dots + \boldsymbol{\mathbf{F}} _N = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} ~. \end{equation}

   注意这里的加号表示几何矢量的加法而不是数的加法.我们把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 叫做 $N$ 个 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 的合力,每个 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 叫做一个分力

   这里所说的 “等效” 可以指这个质点受力后的运动情况,例如我们基于牛顿第二定律 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 计算粒子的运行轨迹,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 指作用在粒子上的合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{合}$,即有 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{合}=m \boldsymbol{\mathbf{a}} $。“等效” 也可以指物体发生的形变,例如该质点固定在弹簧上,弹簧发生的形变。

力的加法法则

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图 2:力的合成法则

   回顾两个几何矢量的加法,我们就得到了所谓的平行四边形法则或者三角形法则.若 $N > 2$,将所有力 “首尾相接” 即可得到合力.注意这个过程不需要坐标系的概念.若建立了直角坐标系,我们也可以先计算这些矢量的坐标,然后使用坐标计算矢量加法(式 7 ).

2. 力的分解

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图 3:实际常基于坐标轴、切面、粒子运动方向等,将力分解为一组正交(互相垂直)的力

   我们还可以反向运用式 1 ,将一个力分解为多个力:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i}~. \end{equation}
可见公式完全相同,力的合成与分解只是同一个现象的两面。式 2 从左到右的过程叫做力的分解,从右到左的过程叫做力的合成

   我们甚至可以进行多次分解,即继续令某个力等于若干力相加:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i,j}~. \end{equation}

   那么 合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 就可以最终分解为:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_{i,j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i,j}~. \end{equation}

例 1 小滑块

   不管你喜不喜欢,小滑块模型是展示力合成与分解的经典模型。我们此处假定小滑块是一个质点。

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图 4:小滑块
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图 5:上图的放大

   我们可以将运用力的合成法则,找到三个力的合力:

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图 6:力的合成

   也可以将 $G$ 分解至垂直与平行于斜面的方向。这种分解往往有助于我们做题,因为 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 往往是未知的。

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图 7:力的分解

例 2 刚体的复杂情况

   以上的例子和论述中,我们探讨的都是一个质点。如果对象是一个刚体,那么受力问题会复杂的多。此处只是告诉你要谨慎地对待刚体,并不涉及过多具体细节。

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图 8:即使合力为零,刚体也会“运动”

   如 图 8 所示,尽管这个刚体受的合力为零,刚体也不会静止不动,而是发生转动。这是因为此时力的力矩和不为零。

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图 9:即使合力、力矩和为零,刚体的内部受力也不同

   如 图 9 所示,即使(材料力学中的)刚体的所受合力、力矩和为零,他内部的受力 也不同。在材料力学看来,外力会导致刚体如同弹簧一样发生微小形变,因此处于静力平衡的刚体与不受力的刚体是不同的。不过,在非材料力学的理想刚体中,一般不需要考虑这么多。


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