力的分解与合成

             

预备知识 几何矢量

   在经典力学中,力可以用几何矢量表示.力的分解与合成可以看作一个基本假设.这个假设是牛顿运动定律的基础,因为牛顿三定律中的 “力” 都是指质点所受的合力.

   当若干个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$($i = 1, 2, \dots, N$)作用在同一个质点上时,等效于一个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 作用在同一个质点上.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 + \dots + \boldsymbol{\mathbf{F}} _N \end{equation}
注意这里的加号表示几何矢量的加法而不是数的加法.我们把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 叫做 $N$ 个 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 的合力,每个 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 叫做一个分力式 1 从左到右的过程叫做力的分解,从右到左的过程叫做力的合成

   这里所说的 “等效” 可以指这个质点受力后的运动情况,也可以指物体发生的形变,例如该质点固定在弹簧上,弹簧发生的形变.

   回顾两个几何矢量的加法,我们就得到了所谓的平行四边形法则或者三角形法则.若 $N > 2$,用 “首尾相接” 的方法即可.注意这个过程不需要坐标系的概念.若建立了直角坐标系,我们也可以先计算这些矢量的坐标,然后使用坐标计算矢量加法(式 7 ).

多次分解

   注意在式 1 中我们甚至可以进行多次分解,即继续令某个(或每个)力等于若干力相加

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i,j} \end{equation}
那么 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 就可以最终分解为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_{i,j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i,j} \end{equation}
这仍然符合分解的定义,即一个力矢量表示为多个力矢量相加,本质上并无不同.

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