力的合成与分解

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　几何矢量

1. 力的合成

图 1：一组力的作用效果等效于他们的合力

　　在经典力学中，力可以用几何矢量表示．力的分解与合成可以看作一个基本假设．这个假设是牛顿运动定律的基础，因为牛顿三定律中的 “力” 都是指质点所受的合力．

　　当若干个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$（$i = 1, 2, \dots, N$）作用在同一个质点上时，等效于一个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 作用在同一个质点上．

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 + \dots + \boldsymbol{\mathbf{F}} _N = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} ~. \end{equation}

　　注意这里的加号表示几何矢量的加法而不是数的加法．我们把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 叫做 $N$ 个 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 的合力，每个 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 叫做一个分力．

　　这里所说的 “等效” 可以指这个质点受力后的运动情况，例如我们基于牛顿第二定律 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 计算粒子的运行轨迹，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 指作用在粒子上的合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{合}$，即有 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{合}=m \boldsymbol{\mathbf{a}} $。“等效” 也可以指物体发生的形变，例如该质点固定在弹簧上，弹簧发生的形变。

力的加法法则

图 2：力的合成法则

　　回顾两个几何矢量的加法，我们就得到了所谓的平行四边形法则或者三角形法则．若 $N > 2$，将所有力 “首尾相接” 即可得到合力．注意这个过程不需要坐标系的概念．若建立了直角坐标系，我们也可以先计算这些矢量的坐标，然后使用坐标计算矢量加法（式 7 ）．

2. 力的分解

图 3：实际常基于坐标轴、切面、粒子运动方向等，将力分解为一组正交（互相垂直）的力

　　我们还可以反向运用式 1 ，将一个力分解为多个力：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i}~. \end{equation}

可见公式完全相同，力的合成与分解只是同一个现象的两面。式 2 从左到右的过程叫做力的分解，从右到左的过程叫做力的合成．

　　我们甚至可以进行多次分解，即继续令某个力等于若干力相加：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i,j}~. \end{equation}

　　那么合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 就可以最终分解为：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_{i,j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{i,j}~. \end{equation}

例 1　小滑块

　　 不管你喜不喜欢，小滑块模型是展示力合成与分解的经典模型。我们此处假定小滑块是一个质点。

图 4：小滑块

图 5：上图的放大

　　我们可以将运用力的合成法则，找到三个力的合力：

图 6：力的合成

　　也可以将 $G$ 分解至垂直与平行于斜面的方向。这种分解往往有助于我们做题，因为 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 往往是未知的。

图 7：力的分解

例 2　刚体的复杂情况

　　以上的例子和论述中，我们探讨的都是一个质点。如果对象是一个刚体，那么受力问题会复杂的多。此处只是告诉你要谨慎地对待刚体，并不涉及过多具体细节。

图 8：即使合力为零，刚体也会“运动”

　　如图 8 所示，尽管这个刚体受的合力为零，刚体也不会静止不动，而是发生转动。这是因为此时力的力矩和不为零。

图 9：即使合力、力矩和为零，刚体的内部受力也不同

　　如图 9 所示，即使（材料力学中的）刚体的所受合力、力矩和为零，他内部的受力也不同。在材料力学看来，外力会导致刚体如同弹簧一样发生微小形变，因此处于静力平衡的刚体与不受力的刚体是不同的。不过，在非材料力学的理想刚体中，一般不需要考虑这么多。

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