动量、动量定理(单个质点)

             

贡献者: 零穹; addis

预备知识 牛顿第二定律

   令质点质量为 $m$,速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,定义其动量

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
注意动量是矢量,与速度(矢量)的方向相同,且取决于坐标系.

   现在把动量和速度都看做时间的函数.等式两边求导,速度对时间的导数等于加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} = m \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \end{equation}
根据牛顿第二定律,$m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 等于质点所受合外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $(注意力和加速度也都是时间的函数),所以
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \end{equation}
这就是动量定理,即动量的变化率等于合外力.在牛顿力学中,动量定理和牛顿第二定律是完全等效的.

   动量定理也可以写成微分形式

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
也就是在极微小时间内的动量变化等于力乘以这段时间.

   现在用定积分 中的微元思想考虑动量从时刻 $t_1$ 到 $t_2$ 的总变化,我们可以把这段时间划分为 $N$ 段微小时间,第 $i$ 段所在的时刻记为 $t_i$,每小段时间内 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 可认为是恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_i)$

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_2)- \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_1) = \sum_{i=1}^{N} \Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} _i= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_i) \Delta t_i \end{equation}
当 $N\to\infty, \Delta t\to 0$ 时该式可以用定积分(矢量函数)表示1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_2)- \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_1) = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
这是动量定理的积分形式.特殊地,对于恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $,右边的积分等于 $(t_2-t_1) \boldsymbol{\mathbf{F}} $,上式记为
\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \Delta t \end{equation}

例 1 圆周运动中向心力的冲量

   一质量为 $m$ 的质点做半径为 $r$ 速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的圆周运动,其初始位置如图 1 所示.求它经过四分之一的圆周向心力的冲量.

图
图 1:质量为 $m$ 的质点做半径为 $r$ 速度为 $v$ 的匀速圆周运动

   解: 质点初始速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v_0}} $ 竖直向上,经过四分之一圆周后到达圆的顶端,此时速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} $ 水平向右,如图 2 所示

图
图 2:经过四分之一圆周后质点速度示意图

   显然,$\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v_1}} - \boldsymbol{\mathbf{v_0}} $,其大小为 $ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert =\sqrt{2}v$ 由于匀速圆周运动,合外力即是向心力,由动量定理式 6 可知,粒子经过四分之一圆周向心力的冲量 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{I}} =\Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} =m( \boldsymbol{\mathbf{v_1}} - \boldsymbol{\mathbf{v_0}} ) \end{equation}
其大小为 $I=\sqrt{2}mv$,方向如图图 2 所示.

   记 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $,则上面结果告诉我们,

\begin{equation} \int_{0}^{T/4} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) \,\mathrm{d}{t} =\sqrt{2}mv \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} \end{equation}
由于匀速圆周运动向心力为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} =m\frac{v^2}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
注意 $m\frac{v^2}{r}$ 是常数,式 10 代入式 9 ,得
\begin{equation} \int_{0}^{T/4} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \,\mathrm{d}{t} =\sqrt{2}\frac{r}{v} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} =\frac{\sqrt{2}}{\omega} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} \end{equation}
式中 $\omega={v}/{r}$ 是角速度,指向 $1/4$ 圆弧的中点.

   下面内容为拓展部分(可不看2): 式 11 反映了什么样的物理内容呢?

   由质点匀速圆周运动容易知道,在同样的时间内质点径矢方向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 转过的角度 $\theta$ 是不变量.这表明,若将矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t)$ 头尾相连,则 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (0)$ 到 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t)$ 将画出一个正多边形的轮廓,如图 3

图
图 3:单位径矢 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 画出的正多边形

   而在一个周期内,其将画出一个完整的正多边形(请思考). 那么将此多边形边长乘以 $ \,\mathrm{d}{t} $ 倍,得到的正多边形便是由矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} $ 头尾相连画出的正多边形轨迹.而 $ \,\mathrm{d}{t} $ 实际上是无穷小量,故这个正多边形事实上成为一个圆,而在一个周期内将画出一个完整的圆.由矢量加法的几何图像可知,那么积分

\begin{equation} \int_{0}^{t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
的结果将是从 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (0) \,\mathrm{d}{t} $ 起点指向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} $ 的终点的向量.

图
图 4:积分式 12 的几何意义

   那么这个矢量微元 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} $ 首尾相连构成的圆的半径是多少呢?在四分之一周期内这个圆画了 1/4,所以由式 11 可知,该圆半径便是 $\frac{1}{\omega}$.


1. ^ 通常省略以上的推导而直接表达为 “式 4 两边定积分得到式 6
2. ^ 非看不懂也不要紧


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