动量、动量定理（单个质点）

贡献者：零穹; addis; ACertainUser

预备知识　牛顿第二定律

1. 动量

　　令质点质量为 $m$ ，速度为 $v$ ，定义其动量为

\begin{matrix} (1) & p = m v . \end{matrix}

注意动量是矢量，与速度（矢量）的方向相同，且取决于坐标系。

2. 动量定理

微分形式

　　现在把动量和速度都看做时间的函数。等式两边求导，速度对时间的导数等于加速度 $a$

\begin{matrix} (2) & \frac{d p}{d t} = m \frac{d v}{d t} = m a . \end{matrix}

根据牛顿第二定律，

m a

等于质点所受合外力

F

（注意力和加速度也都是时间的函数），所以

\begin{matrix} (3) & \frac{d p}{d t} = F \end{matrix}

或

\begin{matrix} (4) & d p = F d t . \end{matrix}

这就是动量定理，即动量的变化率等于合外力，或极微小时间内的动量变化等于力乘以这段时间。在牛顿力学中，动量定理和牛顿第二定律是完全等效的，但有时运用动量比运用力解决问题更为简便。

积分形式

　　现在用定积分中的微元思想考虑动量从时刻 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 的总变化，我们可以把这段时间划分为 $N$ 段微小时间，第 $i$ 段所在的时刻记为 $t_{i}$ ，每小段时间内 $F$ 可认为是恒力 $F (t_{i})$

\begin{matrix} (5) & p (t_{2}) - p (t_{1}) = \sum_{i = 1}^{N} Δ p_{i} = \sum_{i = 1}^{N} F (t_{i}) Δ t_{i} . \end{matrix}

当

N \to \infty, Δ t \to 0

时该式可以用定积分（矢量函数）表示¹

\begin{matrix} (6) & p (t_{2}) - p (t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t, \end{matrix}

这是动量定理的积分形式。

　　特殊地，对于恒力 $F$ ，右边的积分等于 $(t_{2} - t_{1}) F$ ，上式记为

\begin{matrix} (7) & Δ p = F Δ t . \end{matrix}

　　若定义冲量

\begin{matrix} (8) & I = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t, \end{matrix}

动量定理也可写作

\begin{matrix} (9) & Δ p = I . \end{matrix}

可以类比动能定理

例 1　圆周运动中向心力的冲量

　　一质量为 $m$ 的质点做半径为 $r$ 速度为 $v$ 的圆周运动，其初始位置如图 1 所示。求它经过四分之一的圆周向心力的冲量。

图 1：质量为

m

的质点做半径为

r

速度为

v

的匀速圆周运动

　　解：质点初始速度 $v_{0}$ 竖直向上，经过四分之一圆周后到达圆的顶端，此时速度 $v_{1}$ 水平向右，如图 2 所示

图 2：经过四分之一圆周后质点速度示意图

　　显然， $Δ v = v_{1} - v_{0}$ ，其大小为 $| Δ v | = \sqrt{2} v$ 由于匀速圆周运动，合外力即是向心力，由动量定理式 6 可知，粒子经过四分之一圆周向心力的冲量 $I$ 即

\begin{matrix} (10) & I = Δ p = m (v_{1} - v_{0}), \end{matrix}

其大小为

I = \sqrt{2} m v

，方向如图图 2 所示。

　　记 $Δ v$ 方向为 $\hat{v}$ ，则上面结果告诉我们，

\begin{matrix} (11) & \int_{0}^{T / 4} F (t) d t = \sqrt{2} m v \hat{v} . \end{matrix}

由于匀速圆周运动向心力为

\begin{matrix} (12) & F = m \frac{v^{2}}{r} \hat{r} . \end{matrix}

注意

m \frac{v^{2}}{r}

是常数，式 12 代入式 11 ，得

\begin{matrix} (13) & \int_{0}^{T / 4} \hat{r} d t = \sqrt{2} \frac{r}{v} \hat{v} = \frac{\sqrt{2}}{ω} \hat{v} . \end{matrix}

式中

ω = v / r

是角速度，指向

1 / 4

圆弧的中点。

　　下面内容为拓展部分（可不看²）：式 13 反映了什么样的物理内容呢？

　　由质点匀速圆周运动容易知道，在同样的时间内质点径矢方向 $\hat{r}$ 转过的角度 $θ$ 是不变量。这表明，若将矢量 $\hat{r} (t)$ 头尾相连，则 $\hat{r} (0)$ 到 $\hat{r} (t)$ 将画出一个正多边形的轮廓，如图 3

图 3：单位径矢

\hat{r}

画出的正多边形

　　而在一个周期内，其将画出一个完整的正多边形（请思考）。那么将此多边形边长乘以 $d t$ 倍，得到的正多边形便是由矢量 $\hat{r} (t) d t$ 头尾相连画出的正多边形轨迹。而 $d t$ 实际上是无穷小量，故这个正多边形事实上成为一个圆，而在一个周期内将画出一个完整的圆。由矢量加法的几何图像可知，那么积分

\begin{matrix} (14) & \int_{0}^{t} \hat{r} (t) d t \end{matrix}

的结果将是从

\hat{r} (0) d t

起点指向

\hat{r} (t) d t

的终点的向量。

图 4：积分式 14 的几何意义

　　那么这个矢量微元 $\hat{r} (t) d t$ 首尾相连构成的圆的半径是多少呢？在四分之一周期内这个圆画了 1/4，所以由式 13 可知，该圆半径便是 $\frac{1}{ω}$ 。

1. ^ 通常省略以上的推导而直接表达为 “式 4 两边定积分得到式 6 ”
2. ^ 非看不懂也不要紧