贡献者： 零穹; addis; ACertainUser
1. 动量
令质点质量为 $m$，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，定义其动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
注意动量是矢量，与速度（矢量）的方向相同，且取决于坐标系。
2. 动量定理
微分形式
现在把动量和速度都看做时间的函数。等式两边求导，速度对时间的导数等于加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} = m \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} ~.
\end{equation}
根据牛顿第二定律，$m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 等于质点所受合外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $（注意力和加速度也都是时间的函数），所以
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ~
\end{equation}
或
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
这就是
动量定理，即动量的变化率等于合外力，或极微小时间内的动量变化等于力乘以这段时间。在牛顿力学中，动量定理和牛顿第二定律是完全等效的，但有时运用动量比运用力解决问题更为简便。
积分形式
现在用定积分中的微元思想考虑动量从时刻 $t_1$ 到 $t_2$ 的总变化，我们可以把这段时间划分为 $N$ 段微小时间，第 $i$ 段所在的时刻记为 $t_i$，每小段时间内 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 可认为是恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_i)$
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} (t_2)- \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_1) = \sum_{i=1}^{N} \Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} _i= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_i) \Delta t_i~.
\end{equation}
当 $N\to\infty, \Delta t\to 0$ 时该式可以用定积分（矢量函数）表示
1
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} (t_2)- \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_1) = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
这是
动量定理的积分形式。
特殊地，对于恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $，右边的积分等于 $(t_2-t_1) \boldsymbol{\mathbf{F}} $，上式记为
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \Delta t~.
\end{equation}
若定义冲量
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{I}} =\int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
动量定理也可写作
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} ~.
\end{equation}
可以类比
动能定理
例 1 圆周运动中向心力的冲量
一质量为 $m$ 的质点做半径为 $r$ 速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的圆周运动，其初始位置如图 1 所示。求它经过四分之一的圆周向心力的冲量。
图 1：质量为 $m$ 的质点做半径为 $r$ 速度为 $v$ 的匀速圆周运动
解： 质点初始速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v_0}} $ 竖直向上，经过四分之一圆周后到达圆的顶端，此时速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} $ 水平向右，如图 2 所示
图 2：经过四分之一圆周后质点速度示意图
显然，$\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v_1}} - \boldsymbol{\mathbf{v_0}} $，其大小为 $ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert =\sqrt{2}v$ 由于匀速圆周运动，合外力即是向心力，由动量定理式 6 可知，粒子经过四分之一圆周向心力的冲量 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{I}} =\Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} =m( \boldsymbol{\mathbf{v_1}} - \boldsymbol{\mathbf{v_0}} )~,
\end{equation}
其大小为 $I=\sqrt{2}mv$，方向如图
图 2 所示。
记 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $，则上面结果告诉我们，
\begin{equation}
\int_{0}^{T/4} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) \,\mathrm{d}{t} =\sqrt{2}mv \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} ~.
\end{equation}
由于匀速圆周运动向心力为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} =m\frac{v^2}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
注意 $m\frac{v^2}{r}$ 是常数，
式 12 代入
式 11 ，得
\begin{equation}
\int_{0}^{T/4} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \,\mathrm{d}{t} =\sqrt{2}\frac{r}{v} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} =\frac{\sqrt{2}}{\omega} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} ~.
\end{equation}
式中 $\omega={v}/{r}$ 是角速度，指向 $1/4$ 圆弧的中点。
下面内容为拓展部分（可不看2）：
式 13 反映了什么样的物理内容呢？
由质点匀速圆周运动容易知道，在同样的时间内质点径矢方向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 转过的角度 $\theta$ 是不变量。这表明，若将矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t)$ 头尾相连，则 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (0)$ 到 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t)$ 将画出一个正多边形的轮廓，如图 3
图 3：单位径矢 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 画出的正多边形
而在一个周期内，其将画出一个完整的正多边形（请思考）。
那么将此多边形边长乘以 $ \,\mathrm{d}{t} $ 倍，得到的正多边形便是由矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} $ 头尾相连画出的正多边形轨迹。而 $ \,\mathrm{d}{t} $ 实际上是无穷小量，故这个正多边形事实上成为一个圆，而在一个周期内将画出一个完整的圆。由矢量加法的几何图像可知，那么积分
\begin{equation}
\int_{0}^{t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~
\end{equation}
的结果将是从 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (0) \,\mathrm{d}{t} $ 起点指向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} $ 的终点的向量。
那么这个矢量微元 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (t) \,\mathrm{d}{t} $ 首尾相连构成的圆的半径是多少呢？在四分之一周期内这个圆画了 1/4，所以由式 13 可知，该圆半径便是 $\frac{1}{\omega}$。
1. ^ 通常省略以上的推导而直接表达为 “式 4 两边定积分得到式 6 ”
2. ^ 非看不懂也不要紧
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