离心力

             

预备知识 匀速圆周运动的加速度,惯性力,连续叉乘的化简

   令参考系 $abc$ 和 $xyz$ 的 $c$ 轴和 $z$ 轴始终重合.其中 $xyz$ 是惯性系,$abc$ 以恒定的角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴逆时针转动.求 $abc$ 系中一个质量为 $m$ 的静止质点所受的惯性力,即离心力(centrifugal force)

   令质点的坐标 $(a,b,c)$ 离 $c$ 轴的距离为 $r_\bot = \sqrt{a^2 + b^2}$,对应的径向矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot = (a,b,0) ^{\mathrm{T}} $.在 $xyz$ 系中,质点做匀速圆周运动,相对于 $xyz$ 系的加速度(用 $abc$ 系的坐标表示)为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{xyz} = - \omega ^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot = - \omega ^2 \begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix} _{abc} \end{equation}
质点相对于 $abc$ 系静止,相对加速度为零
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{abc} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
所以由惯性力 中的结论,惯性力为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{abc} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{xyz}) = \omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot = m\omega ^2 \begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix} _{abc} \end{equation}
注意离心力向外,与直觉相符.注意这个结论只适用于质点相对于 $abc$ 系静止的情况,若有相对运动,则惯性力除了离心力,还会有一项科里奥利力

   若转轴取任意方向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} $,由式 8

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{xyz} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = -m \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}

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