离心力
贡献者： addis
预备知识 匀速圆周运动的加速度
，惯性力
，
连续叉乘的化简
令参考系 $abc$ 和 $xyz$ 的 $c$ 轴和 $z$ 轴始终重合。其中 $xyz$ 是惯性系，$abc$ 以恒定的角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴逆时针转动。求 $abc$ 系中一个质量为 $m$ 的静止质点所受的惯性力，即离心力（centrifugal force）。
令质点的坐标 $(a,b,c)$ 离 $c$ 轴的距离为 $r_\bot = \sqrt{a^2 + b^2}$，对应的径向矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot = (a,b,0) ^{\mathrm{T}} $。在 $xyz$ 系中，质点做匀速圆周运动，相对于 $xyz$ 系的加速度（用 $abc$ 系的坐标表示）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{xyz} = - \omega ^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot = - \omega ^2 \begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix} _{abc}~,
\end{equation}
质点相对于 $abc$ 系静止，相对加速度为零
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{abc} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
所以由
惯性力中的结论，惯性力为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{f}} = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{abc} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{xyz}) = \omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot = m\omega ^2 \begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix} _{abc}~.
\end{equation}
注意离心力向外，与直觉相符。注意这个结论只适用于质点相对于 $abc$ 系静止的情况，若有相对运动，则惯性力除了离心力，还会有一项
科里奥利力。
若转轴取任意方向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} $，由式 8 得（这里使用了连续叉乘的化简）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{xyz} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{f}} = -m \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
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