功、功率

贡献者： addis

预备知识　矢量的内积，定积分

图 1：在一小段位移中，把变力看做恒力

　　如图 1 ，当质点沿着曲线运动时，有一个力作用在其上，当质点的位置为 $r$ 时，力为 $F (r)$ 。下面求质点从点 $A$ 运动到点 $B$ 的过程中，力对质点的做功。

　　把从 $A$ 到 $B$ 这段曲线看成由许多小位移 $Δ r_{1}, Δ r_{2} \dots Δ r_{n}$ 组成，对其中第 $i$ 个进行分析。由于 $Δ r_{i}$ 很短，质点经过 $Δ r_{i}$ 的过程中位矢 $r$ 几乎不变，记为常矢量 $r_{i}$ 。在这小段中， $F (r)$ 也可以近似看成是恒力 $F (r_{i})$ 。

　　现在把 $F (r_{i})$ 分解成垂直于 $Δ r_{i}$ 和平行于 $Δ r_{i}$ 的两个正交分量，其中垂直分量不做功，平行分量的大小为 $| F (r_{i}) | \cos θ_{i}$ ，该分量做功大小为

\begin{matrix} (1) & Δ W_{i} = | F (r_{i}) | | Δ r_{i} | \cos θ_{i} . \end{matrix}

上式可以表示成矢量内积的形式

\begin{matrix} (2) & Δ W_{i} = F (r_{i}) \cdot Δ r_{i} . \end{matrix}

把上式对所有的

i

求和，就得到了做功的近似表达式

\begin{matrix} (3) & W_{a b} = \sum_{i = 1}^{n} Δ W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} F (r_{i}) \cdot Δ r_{i} . \end{matrix}

事实上，当曲线分割的越细，即

n

越大时，上式就越精确地成立。类比定积分中的介绍，令

n \to \infty

，把求和符号换成积分符号，把表示增量的

Δ

换成微分符号

d

，则不等号可以变为等号。

\begin{matrix} (4) & W_{a b} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F (r_{i}) \cdot Δ r_{i} = \int_{C_{a b}} F (r) \cdot d r . \end{matrix}

不同于一元函数的积分，这一类特殊的积分叫做线积分，详见 “线积分”。

1. 力的功率

　　功率（瞬时）的定义为做功的变化率，即

\begin{matrix} (5) & P = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ W}{Δ t} = \frac{d W}{d t} . \end{matrix}

根据式 2 ，力的功率为

\begin{matrix} (6) & P = lim_{Δ t \to 0} \frac{F (r_{i}) \cdot Δ r_{i}}{Δ t_{i}} = F \cdot \frac{d r}{d t} = F \cdot v . \end{matrix}

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