功 功率

             

预备知识 矢量的内积,定积分
图
图 1:在一小段位移中,把变力看做恒力

   如图 1 ,当质点沿着曲线运动时,有一个力作用在其上,当质点的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 时,力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.下面求质点从点 $A$ 运动到点 $B$ 的过程中,力对质点的做功.

   把从 $A$ 到 $B$ 这段曲线看成由许多小位移 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \dots \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _n$ 组成,对其中第 $i$ 个进行分析.由于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 很短,质 点经过 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的过程中位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 几乎不变,记为常矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$.在这小段中, $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 也可以近似看成是恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$.

   现在把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$ 分解成垂直于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 和平行于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的两个正交分量,其中垂直分量不做功,平行分量的大小为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \right\rvert \cos \theta_i$,该分量做功大小为

\begin{equation} \Delta W_i = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \right\rvert \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right\rvert \cos \theta_i \end{equation}
上式可以表示成矢量内积的形式
\begin{equation} \Delta W_i = \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \end{equation}
把上式对所有的 $i$ 求和,就得到了做功的近似表达式
\begin{equation} W_{ab} = \sum_{i = 1}^n \Delta W_i \approx \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \end{equation}
事实上,当曲线分割的越细,即 $n$ 越大时,上式就越精确地成立.类比定积分中的介绍,令 $n \to \infty $,把求和符号换成积分符号,把表示增量的 $\Delta $ 换成微分符号 $ \,\mathrm{d}{} $,则不等号可以变为等号.
\begin{equation} W_{ab} = \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = \int_{C_{ab}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
不同于一元函数的积分,这一类特殊的积分叫做线积分,详见 “线积分”.

1. 力的功率

   功率(瞬时)的定义为做功的变化率,即

\begin{equation} P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
根据式 2 ,力的功率为
\begin{equation} P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}{\Delta t_i} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}

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