速度的坐标系变换

             

预备知识 几何矢量

1. 无相对转动

   若两个坐标系 $S$ 和 $S'$ 之间无相对转动(注意我们不要求坐标轴 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 同方向),那么某时刻两坐标系之间的相对速度是唯一确定的,即 $S'$ 系中任意一个固定点相对于 $S$ 系任意一个固定点的速度.我们把 $S'$ 系相对于 $S$ 系的速度记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 根据高中所学的速度叠加原理,若某点 $P$ 相对于 $S$ 系的速度瞬时为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$,相对于 $S'$ 的瞬时速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 我们有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r \end{equation}
其中三个矢量都可以是时间的函数.注意该式与点 $P$ 的位置无关只和速度有关.

   注意式 1 中的矢量都是不依赖于坐标系的几何矢量,不能将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S'$ 等同于点 $P$ 在 $S$ 系和 $S'$ 系中的三个位置坐标的求导.如果要将式 1 写成分量的形式,三个矢量必须使用同一坐标系.我们来举例说明.

例 1 

   令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} '$,点 $P$ 在 $S$ 系中坐标关于时间的导数为 $(1, 2, 3)$.请将式 1 表示为三个分量的形式.

   容易得出,点 $P$ 在 $S'$ 系中的坐标关于时间的导数为 $(3, -1, 2)$.

   我们先来看错误的理解:将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$ 等同于 $(1, 2, 3)$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 等同于 $(3, -1, 2)$, 这时会发现,无论 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 取 $(2, 0, 0)$ 还是 $(0, 2, 0)$ 都不能让等式对三个分量同时成立.

   正确的做法是将三个矢量都放到同一坐标系中.先使用 $S$ 系,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$ 的分量仍然取 $(1, 2, 3)$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 在 $S$ 系中为 $(-1, 2, 3)$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 在 $S$ 系中取 $(2, 0, 0)$.这样式 1 就成立了.

   也可以三个矢量都放到 $S'$ 系中,有 $(3, 1, 2) = (3, -1, 2) + (0, 2, 0)$,同样成立.

   对于一般的情况,两参考系中矢量的坐标变换需要使用空间旋转矩阵

2. 一般情况

   对于任意两个坐标系,他们之间的相对运动除了平移可能还有转动,即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 之间的关系可能随时间变化.这时式 1 是否仍然成立呢?

   要回答这个问题我们首先要修改 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 的定义.按照上一节的定义,如果坐标系间存在相对转动,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 将与两个固定点的选取有关.若定义某时刻点 $P$ 在两坐标系中的坐标分别为 $(x_p, y_p, z_p)$ 和 $(x_p', y_p', z_p')$,则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 可以定义为 $S'$ 系中的固定点 $(x_p', y_p', z_p')$ 相对于 $S$ 系中的固定点 $(x_p, y_p, z_p)$ 的瞬时速度.这时仍有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r \end{equation}
再次强调,这三个矢量也是不依赖坐标系的几何矢量.若要记为分量的形式需要使用同一坐标系.

例 2 

   令 $S'$ 系 $t = 0$ 时与 $S$ 系重合并绕 $z$ 轴逆时针以角速度 $\omega$ 转动(不一定为匀速),又令点 $P$ 的运动方程为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} '$,验证式 2

   首先将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 基底表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 视为常矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S$ 系的速度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _S = \alpha (\cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + \alpha\omega t (-\sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 视为常矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S'$ 系的速度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') = \alpha \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} = \alpha (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{equation}
最后,$t$ 时刻两坐标系在点 $P$ 处的相对速度(见式 5 )为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} _r &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = (\omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ') \boldsymbol\times (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') \\ &= \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' = \alpha\omega t(-\sin \omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{aligned} \end{equation}
将以上三式代入式 2 可验证其成立.注意以上我们将所有的矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 基底表示三个矢量,同理我们也可以将所有矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$.

3. 证明

   (未完成)

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