贡献者： addis; ACertainUser
这种情况就是高中物理中所谓的 “绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度”：若某时刻两个坐标系 $S$ 和 $S'$ 之间无相对转动，那么某时刻两坐标系之间的相对速度是唯一确定的，即 $S'$ 系中任意一个固定的点相对于 $S$ 系的速度矢量都是相同的。注意我们不要求 $S$ 系和 $S'$ 系的单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 同方向，只要求它们的相对方向不随时间变化。
把 $S'$ 系相对于 $S$ 系的速度记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 根据高中所学的速度叠加原理，若某点 $P$ 相对于 $S$ 系的速度瞬时为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，相对于 $S'$ 的瞬时速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 我们有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r~.
\end{equation}
其中三个矢量都可以是时间的函数。注意该式与点 $P$ 的位置无关只和速度有关。
图 1：一个简单的例子：在相对于地面运动的火车上看，飞机的速度似乎更慢一些。假设火车和飞机的速度远低于光速！
图 2：另一个简单的例子：在相对于地面下坡运动的火车上看，飞机似乎在抬升。
注意式 1 中的矢量都是几何矢量，不能将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S'$ 等同于点 $P$ 在 $S$ 系和 $S'$ 系中的三个直角坐标的求导。如果要将式 1 写成坐标矢量的形式，三个矢量必须使用同一坐标系（见例 1 ）。
小时百科中，粗体正体的字母既可以用于表示几何矢量本身，又可以表示其坐标1。对于后者，我们可以声明坐标所使用的坐标系
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{v}} )_{S} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} ')_{S} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_{S}~,
\end{equation}
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{v}} )_{S'} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} ')_{S'} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_{S'}~.
\end{equation}
例 1
令 $S$ 系和 $S'$ 系中的三个单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$。他们的关系以及相对速度为
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ~, \quad
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~, \quad
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~, \quad
\boldsymbol{\mathbf{v}} _r = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} '~.
\end{equation}
点 $P$ 在 $S$ 系中坐标关于时间的导数为 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} )_S = (1, 2, 3)$。请将
式 1 表示为三个分量的形式。
解： 容易得出，点 $P$ 在 $S'$ 系中的坐标关于时间的导数为 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} ')_{S'} = (3, -1, 2)$。
我们先来看错误的理解：将式 1 中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 等同于 $(1, 2, 3)$，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 等同于 $(3, -1, 2)$, 这时会发现，无论 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 取 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_S = (2, 0, 0)$ 还是 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_{S'} = (0, 2, 0)$ 都不能让式 1 成立。
正确的做法是将三个矢量都放到同一坐标系中。可以验证式 2 和式 3 都成立。
对于更一般的情况，两参考系中矢量的坐标变换需要使用三维旋转矩阵。
1. ^ 小时百科符号与规范
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