速度的参考系变换

             

贡献者: addis

预备知识 圆周运动的速度,三维旋转矩阵

1. 无相对转动

   这种情况就是高中物理中所谓的 “绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度”:若两个坐标系 $S$ 和 $S'$ 之间无相对转动,那么某时刻两坐标系之间的相对速度是唯一确定的,即 $S'$ 系中任意一个固定点相对于 $S$ 系任意一个固定点的速度唯一确定.注意我们不要求 $S$ 系和 $S'$ 系的单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 同方向.

   把 $S'$ 系相对于 $S$ 系的速度记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 根据高中所学的速度叠加原理,若某点 $P$ 相对于 $S$ 系的速度瞬时为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$,相对于 $S'$ 的瞬时速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 我们有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r \end{equation}
其中三个矢量都可以是时间的函数.注意该式与点 $P$ 的位置无关只和速度有关.

   注意式 1 中的矢量都是几何矢量,不能将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S'$ 等同于点 $P$ 在 $S$ 系和 $S'$ 系中的三个位置坐标的求导.如果要将式 1 写成坐标矢量的形式,三个矢量必须使用同一坐标系(见例 1 ).

   本书中,粗体正体的字母既可以用于表示几何矢量本身,又可以表示其坐标1.对于后者,我们可以声明坐标所使用的坐标系

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S})_{S} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'})_{S} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_{S} \end{equation}
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S})_{S'} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'})_{S'} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_{S'} \end{equation}

例 1 

   令 $S$ 系和 $S'$ 系中的三个单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$.他们的关系以及相对速度为

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \quad \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' \end{equation}
点 $P$ 在 $S$ 系中坐标关于时间的导数为 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _S)_S = (1, 2, 3)$.请将式 1 表示为三个分量的形式.

   解:容易得出,点 $P$ 在 $S'$ 系中的坐标关于时间的导数为 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'})_{S'} = (3, -1, 2)$.

   我们先来看错误的理解:将式 1 中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _S$ 等同于 $(1, 2, 3)$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 等同于 $(3, -1, 2)$, 这时会发现,无论 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 取 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_S = (2, 0, 0)$ 还是 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_{S'} = (0, 2, 0)$ 都不能让式 1 成立.

   正确的做法是将三个矢量都放到同一坐标系中.可以验证式 2 式 3 都成立.

   对于更一般的情况,两参考系中矢量的坐标变换需要使用空间旋转矩阵

2. 有相对转动

   对于任意两个坐标系,他们之间的相对运动除了平移可能还有转动,即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 之间的关系可能随时间变化.这时式 1 是否仍然成立呢?

   要回答这个问题我们首先要修改 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 的定义.按照上一节的定义,如果坐标系间存在相对转动,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 将与两个固定点的位置有关.若定义某时刻点 $P$ 在两坐标系中的坐标分别为 $(x_p, y_p, z_p)$ 和 $(x_p', y_p', z_p')$,则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 可以定义为 $S'$ 系中的固定点 $(x_p', y_p', z_p')$ 相对于 $S$ 系中的固定点 $(x_p, y_p, z_p)$ 的瞬时速度2.这时仍有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r \end{equation}
证明见下文.再次强调,这三个矢量也表示几何矢量.若要记为分量的形式需要使用同一坐标系(式 2 式 3 ).

例 2 

   令 $S'$ 系 $t = 0$ 时与 $S$ 系重合并绕 $z$ 轴逆时针以常数角速度 $\omega$ 转动,又令点 $P$ 的运动方程为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} '$,验证式 5

   首先将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 基底表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 视为常矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S$ 系的速度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _S = \alpha (\cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + \alpha\omega t (-\sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 视为常矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S'$ 系的速度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') = \alpha \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \alpha (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{equation}
最后,$t$ 时刻两坐标系在点 $P$ 处的相对速度(见式 5 )为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} _r &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = (\omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ') \boldsymbol\times (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') \\ &= \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' = \alpha\omega t(-\sin \omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \end{aligned} \end{equation}
将以上三式代入式 5 可验证其成立.注意以上我们将所有的矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 基底,同理我们也可以将所有矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 基底.

   一般情况下,相对速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 可以拆分成 $S'$ 原点在 $S$ 中的速度和 $S'$ 相对 $S$ 旋转产生的速度两部份,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \end{equation}
例 2 中,两个原点始终重合,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{O'} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} ' = \boldsymbol{\mathbf{r}} $,所以有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $.

证明

   现在用旋转变换矩阵在 $S$ 系中证明式 5 .令 $S'$ 中坐标到 $S$ 坐标的旋转变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $,即对任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_{S'} = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_S$,那么

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _S)_S = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'})_S + ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'})_S = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'})_S + \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'})_{S'} \end{equation}
两边对时间求导得
\begin{equation} ({ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_S)_S = ({ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{O'})_S + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'})_{S'} + \boldsymbol{\mathbf{R}} ({ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S'} \end{equation}
右边前两项就是固定点之间的相对速度(式 10 )$( \boldsymbol{\mathbf{v}} _r)_S$(第二项参考式 5 ),而第三项为 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'})_S$.这样就得到了式 2

   证毕.


1. ^ 小时百科符号与规范
2. ^ 也可以简单说 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 是 $S'$ 系中的固定点 $(x_p', y_p', z_p')$ 在 $S$ 系中的瞬时速度.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利