科里奥利力

             

预备知识 离心力,平面旋转矩阵

   科里奥利力(Coriolis Force)是匀速旋转的参考系中由质点运动产生的惯性力.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _c = 2m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 是质点相对于旋转参考系 $S'$ 的瞬时速度,$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是旋转系相对于某惯性系 $S$ 转动的角速度矢量. 式中的乘法是叉乘. 在匀速转动参考系(属于非惯性系)中,若质点保持相对静止,则惯性力只有离心力.然而当质点与转动参考系有相对速度时,惯性力中还会增加一个与速度垂直的力,这就是科里奥利力.地理中的地转偏向力就是科里奥利力,可用上式计算(见 “地球表面的科里奥利力”).

   由叉乘的定义可得,科里奥利力与速度矢量始终保持垂直,所以科里奥利力不会对质点做功.

1. 推导

预备知识 连续叉乘的化简,圆周运动的速度,加速度的坐标变换

   我们可以直接根据惯性力的定义(式 1 )和加速度的坐标变换(式 3 )得到任意非惯性系 $S'$ 中质点的总惯性力($S$ 为任意惯性系)为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _c = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} ) = -m \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{equation}
其中第一项包含平移惯性力和转动惯性力,转动惯性力又可划分为离心力以及角加速度产生的惯性力(见式 8 ),但与质点相对 $S'$ 的速度无关,所以只将科里奥利力定义为第二项.

2. 另一种推导

   类比式 1 ,若 $S'$ 系与 $S$ 系原点始终重合,且相对 $S$ 系以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 旋转,对任意一个随时间变化的矢量(假设一阶导数存在),我们把它在 $S$ 和 $S'$ 系中的时间导数分别记为 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S}$ 和 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S'}$,则有

\begin{equation} (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S} = (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
最有一项参考式 5 .注意该式中的矢量为几何矢量 而不是列矢量,若要将该式记为坐标形式,应该使用同一坐标系

   我们先将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 替换为质点的位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,得参考系中质点的速度关系为(即式 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
两边在 $S$ 系中对时间求导得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} = (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
注意 $S'$ 系中的加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$ 并不是 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S}$,而是 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S'}$.令式 3 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$,得
\begin{equation} (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}})_{S} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \end{equation}
式 4 式 6 代入式 5 ,得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
所以旋转参考系中的总惯性力(式 1 )为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S}) = 2m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} -m \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
其中第一项被称为科里奥利力(唯一一项与 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 有关的),第二项为离心力(式 5 ),第三项为角加速度产生的惯性力.

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