贡献者： addis; junyi
科里奥利力（Coriolis Force）是匀速旋转的参考系中由质点运动产生的惯性力。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _c = 2m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 是质点相对于旋转参考系 $S'$ 的瞬时速度，$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是旋转系相对于某惯性系 $S$ 转动的角
速度矢量。
式中的乘法是
叉乘。
在匀速转动参考系（属于非惯性系）中，若质点保持相对静止，则惯性力只有离心力。然而当质点与转动参考系有相对速度时，惯性力中还会增加一个与速度垂直的力，这就是科里奥利力。地理中的地转偏向力就是科里奥利力，可用上式计算（见 “
地球表面的科里奥利力”）。
由叉乘的定义可得，科里奥利力与速度矢量始终保持垂直，所以科里奥利力不会对质点做功。
1. 推导
预备知识 2 连续叉乘的化简，
圆周运动的速度，
加速度的坐标变换
我们可以直接根据惯性力的定义（式 1 ）和加速度的坐标变换（式 9 ）得到任意非惯性系 $S'$ 中质点的总惯性力（$S$ 为任意惯性系）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _c = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} ) = -m \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~.
\end{equation}
其中第一项包含平移惯性力和转动惯性力，转动惯性力又可划分为离心力以及角加速度产生的惯性力（见
式 8 ），但与质点相对 $S'$ 的速度无关，所以只将科里奥利力定义为第二项。
2. 另一种推导
1类比
式 1 ，若 $S'$ 系与 $S$ 系原点始终重合，且相对 $S'$ 相对 $S$ 系以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 旋转，对任意一个随时间变化的矢量（假设一阶导数存在），我们把它在 $S$ 和 $S'$ 系中的时间导数分别记为 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S}$ 和 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S'}$，则有
\begin{equation}
(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S} = (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
最后一项参考
式 5 。注意该式中的矢量为
几何矢量而不是坐标列矢量，若要将该式记为坐标形式，应该使用同一
坐标系。
我们先将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 替换为质点的位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，得参考系中质点的速度关系为（即式 1 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
两边在 $S$ 系中对时间求导得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} = (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
注意 $S'$ 系中的加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$ 并不是 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S}$，而是 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S'}$。令
式 3 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$，得
\begin{equation}
(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~.
\end{equation}
将
式 4 和
式 6 代入
式 5 ，得（参考 “
连续叉乘的化简”）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
所以旋转参考系中的总惯性力（
式 1 ）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{f}} = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S}) = 2m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} -m \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
其中第一项被称为科里奥利力（唯一一项与 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 有关的），第二项为离心力（
式 5 ），第三项为角加速度产生的惯性力。
1. ^ 参考 [1] 相关章节。
[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed
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