速度、加速度

                     

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预备知识 速度、加速度(一维),牛顿第二定律的矢量形式切线,矢量的导数,矢量积分

   在大学物理中,位移、速度和加速度都是矢量,既有大小也有方向。如果没有特殊说明,它们一般是指瞬时速度瞬时加速度

图
图 1:位矢、速度与加速度示意图

1. 速度

   质点在运动时,其位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是时间 $t$ 的函数。假定质点在 $t_1$ 时刻的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)$,经过时间 $\Delta t$ 后,位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t)$,所以物体在 $\Delta t$ 时间内的位移

\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)~. \end{equation}
那么即可定义 $t_1$ 时刻质点的速度1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)}{\Delta t}~. \end{equation}
即速度是位置矢量关于时间的导数,同样是时间的矢量函数。

定理 1 

   速度方向总是质点运动轨迹的切线方向。

   简单的例子:匀速圆周运动的速度(求导法)

2. 加速度

   通常情况下,质点运动轨迹上的每一点都会对应一个确定的速度矢量2,类比速度的定义,加速度的定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} (t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}
结合速度的定义,加速度为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) = \frac{\mathrm{d}^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}^{2}} ~. \end{equation}
所以,加速度是速度对时间的导数,或者位矢对时间的二阶导数。

   加速度可以有垂直于速度的分量,与平行于速度的分量,详见曲线运动的加速度

   简单的例子:圆周运动的加速度(子节 2 )。

3. 由速度或加速度计算位矢

   如果已知速度关于时间的函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$,以及初始时间 $t_0$ 和位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$,该如何得到位移—时间函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 呢?类比一维的情况,我们也可以通过矢量函数的定积分(见例 1 )来求出速度—时间函数进而求出位移—时间函数

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _0 + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{\mathbf{a}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~, \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) &= \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~. \end{aligned} \end{equation}

   简单的例子:匀加速运动


1. ^ 假设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 可导
2. ^ 注意上面的速度在定义时虽然取了两点,但是取极限以后,速度和位置是一一对应的,也就和时间一一对应,而不是两个位置和时间对应一个速度。


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