贡献者： addis; ACertainUser
预备知识 速度、加速度（一维）
，牛顿第二定律的矢量形式
，
切线，矢量的导数
，矢量积分
在大学物理中，位移、速度和加速度都是矢量，既有大小也有方向。如果没有特殊说明，它们一般是指瞬时速度和瞬时加速度
图 1：位矢、速度与加速度示意图
1. 速度
质点在运动时，其位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是时间 $t$ 的函数。假定质点在 $t_1$ 时刻的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)$，经过时间 $\Delta t$ 后，位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t)$，所以物体在 $\Delta t$ 时间内的位移为
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)~.
\end{equation}
那么即可定义 $t_1$ 时刻质点的速度
1
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)}{\Delta t}~.
\end{equation}
即速度是位置矢量关于时间的
导数，同样是时间的矢量函数。
简单的例子：匀速圆周运动的速度（求导法）。
2. 加速度
通常情况下，质点运动轨迹上的每一点都会对应一个确定的速度矢量2，类比速度的定义，加速度的定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} (t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\Delta t}
= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
结合速度的定义，加速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) = \frac{\mathrm{d}^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}^{2}} ~.
\end{equation}
所以，加速度是速度对时间的导数，或者位矢对时间的二阶导数。
加速度可以有垂直于速度的分量，与平行于速度的分量，详见曲线运动的加速度。
简单的例子：圆周运动的加速度（子节 2 ）。
3. 由速度或加速度计算位矢
如果已知速度关于时间的函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$，以及初始时间 $t_0$ 和位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$，该如何得到位移—时间函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 呢？类比一维的情况，我们也可以通过矢量函数的定积分（见例 1 ）来求出速度—时间函数进而求出位移—时间函数
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _0 + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{\mathbf{a}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{r}} (t) &= \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{aligned} \end{equation}
简单的例子：匀加速运动。
1. ^ 假设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 可导
2. ^ 注意上面的速度在定义时虽然取了两点，但是取极限以后，速度和位置是一一对应的，也就和时间一一对应，而不是两个位置和时间对应一个速度。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
