非惯性参考系、惯性力

贡献者： addis

　　¹若一个质点 $m$ 某时刻在惯性系 $S$ 中的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S}$，在另一个非惯性系 $S'$ 中的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$，则可假设质点受到一个惯性力（inertial force 或 fictitious force）

　　 从这两个例子可以看出，如果要使牛顿运动定律在非惯性系中也成立，则需要假设一些力的存在，即惯性力。人的直觉总会假设自己的参考系是惯性系，这就解释了为什么日常生活中我们常说离心力却不说向心力。用离心力来描述现象并没有错，这只是从更符合直觉的非惯性系的角度来分析而已。

1. 平动非惯性系

　　 假设某个非惯性系 $S'$ 相对于惯性系 $S$ 没有旋转只有平移，且 $t$ 时刻的相对加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} (t)$。这样，$S'$ 中的任何一个静止点相对于 $S$ 系的加速度都是 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} (t)$。设 $S'$ 系中有一质点 $m$，相对于 $S'$ 系的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} (t)$，那么在惯性系中质点的加速度为

　　 在惯性系 $S$ 中运用牛顿第二定律得质点的真实受力为（注意真实受力不随参考系变化）

　　 在例 1 中，电梯的参考系就是一个平动的非惯性系。如果人站在一个弹簧秤上，秤的示数将等于人的体重加上惯性力 $ma$（电梯向上加速时 $a$ 取正值）。这用惯性力来解释，就是静止的人受到与电梯加速度方向相反的惯性力，大小等于 $ma$（注意在电梯参考系中人没有加速度，所以是 “受力平衡” 的）。

2. 一般非惯性系

　　 非平动参考系相对于惯性系除了平移运动还可能做相对旋转运动。对于非平动参考系，式 2 并不满足（即使把 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 看做位置和时间的函数也不行），以后在 “科里奥利力” 中我们会推导 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$ 间的具体关系。所以以上对任何非惯性系都成立的结论只有

计算惯性力的坐标法

1. 求出所选惯性系和非惯性系之间的坐标变换和逆变换关系（具体表达式可以用罗德里格旋转公式或者四元数得到，如果问题是二维的，直接用平面旋转变换即可）
   \begin{equation} \left\{\begin{aligned} x &= f_1( a,b,c,t )\\ y &= f_2( a,b,c,t )\\ z &= f_3( a,b,c,t ) \end{aligned}\right. ~, \qquad \left\{\begin{aligned} a &= g_1( x,y,z,t )\\ b &= g_2( x,y,z,t )\\ c &= g_3( x,y,z,t ) \end{aligned}\right. ~. \end{equation}
2. 对 $x,y,z$ 求时间的二阶全导数，得出惯性系中质点的加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S}$。
   \begin{equation} \left\{\begin{aligned} \ddot x &= \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{t}^{2}} f_1( a,b,c,t )\\ \ddot y &= \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{t}^{2}} f_2( a,b,c,t )\\ \ddot z &= \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{t}^{2}} f_3( a,b,c,t ) \end{aligned}\right. ~ \end{equation}
3. 把 $S$ 系中的加速度矢量³ $ \begin{pmatrix}\ddot x &\ddot y &\ddot z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 用 $g_1, g_2, g_3$ 逆变换到 $S'$ 系中表示，
   \begin{equation} \begin{pmatrix}\ddot x\\ \ddot y\\ \ddot z\end{pmatrix} _{S'} = \begin{pmatrix}g_1(\ddot x,\ddot y,\ddot z, t) \\ g_2(\ddot x,\ddot y,\ddot z, t) \\ g_3(\ddot x,\ddot y,\ddot z, t)\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}g_1(0,0,0,t)\\g_2(0,0,0,t)\\g_3(0,0,0,t)\end{pmatrix} ~. \end{equation}
4. 质点受到的惯性力为
   \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = m ( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} ) = m \begin{pmatrix}\ddot a\\ \ddot b\\ \ddot c\end{pmatrix} - m \begin{pmatrix}\ddot x\\ \ddot y\\ \ddot z\end{pmatrix} _{S'}~ \end{equation}

　　 注意式 11 中的坐标变换是必须的，因为 $ \begin{pmatrix}\ddot a & \ddot b & \ddot c\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 是 $S'$ 系中的矢量坐标，$ \begin{pmatrix}\ddot x & \ddot y & \ddot z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 是 $S$ 系中的矢量坐标，直接相减没有几何意义。必须把 $ \begin{pmatrix}\ddot x & \ddot y & \ddot z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 变换到 $S'$ 系中表示，或者把 $ \begin{pmatrix}\ddot a & \ddot b & \ddot c\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 变换到 $S$ 系中表示才可相减。由于惯性力是非惯性系中的假想力，所以第一种方式比较方便。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 这里把绝对加速度定义为任意惯性系中的测得质点的加速度。由于不同惯性系之间的相对加速度为零，绝对加速度与惯性系的选择无关。
3. ^ 上标 $T$ 表示矩阵转置，将行矢量变为列矢量。这是为了排版方便。