力场 保守场 势能

             

预备知识 矢量场,功,牛顿—莱布尼兹公式

1. 力场

   高中物理中我们已经学过一些场的概念,即质点受场的力取决于质点在场中的位置.例如地球表面局部的引力场可以近似看做一个恒力场(称为为重力场),即在一定区域内,质点总受向下的,大小恒为 $mg$ 的重力(矢量式 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{g}} $).又例如水平面上一根原长忽略不计的弹簧,一端固定在原点,另一端连接质点,那么质点受力总指向原点,大小等于劲度系数和位矢模长的之积 $kr$.用矢量的方法表示,就是 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = -k \boldsymbol{\mathbf{r}} $.

   总结到一般情况,力场可以用场对质点施加的力(矢量)关于质点位置(即位矢)的矢量函数表示,所以力场是一种矢量场.

例 1 引力场

   球坐标原点处质量为 $M$ 的质点在周围造成的引力场为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - G\frac{M}{r^2}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
若位矢用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 来表示($ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $),则
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - G\frac{M}{r^3}\, \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
现在变换到直角坐标系中,有
\begin{equation} \begin{cases} \boldsymbol{\mathbf{r}} = x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{cases} \end{equation}
代入上式,展开得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{GMx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{GMy}{(x^2 +y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \frac{GMz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

   显然球坐标系中的引力场表达式比直角坐标系中的要简洁得多.由此可见,对不同的矢量场选择适当的坐标系往往可以简化问题.

   若质点从场的一点移动到另一点的过程中,力场对质点做的功 只与初末位置有关,而与质点移动的路径无关,那么这个力场就是一个保守场.这时我们可以给该质点定义一个势能函数,势能函数是一个关于位矢的标量函数,一般记为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,具有能量量纲.当质点从一点以任意路径移动到另一点时,场对质点做的功等于质点初位置的势能减末位置的势能,即

\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \end{equation}
那么如何判断一个力场是否是保守场呢?我们分一维和多维空间进行讨论.

2. 一维势能函数

   现在先假设质点只能沿一条直线运动,且力也始终与直线平行.显然质点从一点到另一点的路径只可能有一条,所以任何一维力场都是保守场.若给直线定义一个正方向,单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $,任何一维力场可以记为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} (x) = F(x) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \end{equation}
质点的位置矢量可记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $.由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = 1$,质点从 $x = a$ 移动到 $x=b$ 过程中场做的功为
\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \int_a^b F(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
根据势能的定义,对任意的 $a$ 和 $b$,上式应该等于 $V(a) - V(b)$.根据牛顿—莱布尼兹公式,势能函数恰好就是 $F(x)$ 的负原函数,所以 $F(x)$ 是 $V(x)$ 负导函数.
\begin{equation} V(x) = -\int F(x) \,\mathrm{d}{x} \qquad F(x) = - \frac{\mathrm{d}{V(x)}}{\mathrm{d}{x}} \end{equation}

   需要注意的是,由于原函数有无穷多个(由不定积分中任意常数的取值决定),所以势能函数也存在无穷多个,且都相差一个常数.为了确定势能函数,我们需要指定场中某一点的势能值,如果令某点势能为零,那么这点就叫做零势点

例 2 弹簧的势能

   一个原长可忽略的轻弹簧劲度系数为 $k$,一端固定在原点,另一端连接质点.质点只能沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 方向运动,规定质点在原点时势能为 $0$,求弹簧的势能关于质点位置坐标 $x$ 的函数.

   由题意,式 6 中 $F(x) = -kx$,不定积分并取负值得到含有待定常数的势能函数

\begin{equation} V(x) = -\int (-kx) \,\mathrm{d}{x} = \frac12 k x^2 - C \end{equation}
为了确定待定常数,代入 $V(0) = 0$,解得 $C = 0$.所以所求势能为
\begin{equation} V(x) = \frac12 k x^2 \end{equation}

3. 多维势能函数

预备知识 梯度定理,斯托克斯定理

   在二维(平面)或三维空间中,矢量场不一定是保守场,那么应该如何判断一个场是否是保守场?事实上 “线积分结果与路径无关” 有一个等效条件就是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”.而根据斯托克斯定理,这就要求矢量场的旋度处处为零,即它是一个无旋场

未完成:画图说明 “线积分结果与路径无关” 的等效条件是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”

   假设力场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是平面或三维空间中的保守场,对应势能为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,初始点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$,终点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f$.对 $-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 使用梯度定理

\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f} \boldsymbol\nabla [-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) - V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _f) \end{equation}
我们把该式与式 5 比较,不难发现力场是势能函数的负梯度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
即在保守场的某点中,力的方向是势能下降最快的方向,大小是该方向的负方向导数.由梯度的定义,力场的各个分量分别为对应方向的负偏导数
\begin{equation} F_x( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{\partial x} \quad F_y( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{\partial y} \quad \ldots \end{equation}

例 3 二维简谐振子

   若已知二维的势能函数为 $V(x,y) = k_1 (x+y)^2/2 + k_2 (x-y)^2/2$,求力场.若已知场函数求势能函数,又该如何求?

   把势能函数代入式 13 中,求偏导,得场为

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= - \frac{\partial V}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{\partial V}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ &= -[(k_1 + k_2) x + (k_1-k_2) y] \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - [(k_1-k_2)x + (k_1+k_2)y] \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{aligned} \end{equation}

   现在我们根据 “梯度定理” 中的式 25 从场逆推势能.首先对力场的 $x$ 分量和 $y$ 分量分别关于 $x$ 和 $y$ 做不定积分得到任意两个原函数并记为 $G_x$ 和 $G_y$ 得

\begin{equation} G_x(x,y) = - \frac12 (k_1 + k_2) x^2 - (k_1-k_2) xy \end{equation}
\begin{equation} G_y(x,y) = - (k_1 - k_2) xy - \frac12 (k_1+k_2) y^2 \end{equation}
代入得(注意这里的场是势能函数的的负梯度而不是梯度,另外注意下式中的常数项都并入 $C$ 中)
\begin{equation} \begin{aligned} V(x,y) &= -G_y(x,y) + G_y(x,y_0) - G_x(x,y_0) + C\\ &= \frac12 (k_1 + k_2) x^2 + (k_1-k_2)xy + \frac12 (k_1+k_2) y^2 + C\\ &= \frac12 k_1 (x+y)^2 +\frac12 k_2 (x-y)^2 + C \end{aligned} \end{equation}
若规定零势点 $V(0,0) = 0$,代入上式得 $C=0$.

4. 两质点间的势能

   如果两质点 $A$ 和 $B$ 的位矢分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B$,相对位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _B - \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$,两质点距离为 $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $.且 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $,$B$ 对 $A$ 的反作用力为 $- \boldsymbol{\mathbf{F}} $.现在考虑一个过程中力对两质点做的总功.

   在一段微小时间 $ \,\mathrm{d}{t} $ 内,两质点分别移动了 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A} $,和 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B} $,则相互作用力对二者做功为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{W} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B} + (- \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = F(R) \,\mathrm{d}{R} \end{equation}
(最后一步的证明见 “位置矢量” 中的例 1 )定积分得
\begin{equation} W = \int_{R_1}^{R_2} F(R) \,\mathrm{d}{R} \end{equation}
现在我们借用一维势能的定义式 8 来定义势能函数为 $F(R)$ 的负原函数,则力在一段时间内对两质点做的总功就等于末势能减初势能
\begin{equation} W = V(R_2) - V(R_1) \end{equation}

5. 含时势能

   以上的讨论中,我们默认力场的分布不随时间变化,所得势能显然也不随时间变化.但在一些情况下,我们也可以定义随时间变化的势能.

未完成:……

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