力场、保守场、势能

贡献者： addis

预备知识 1　矢量场，功，牛顿—莱布尼兹公式

1. 力场

　　高中物理中我们已经学过一些场的概念，即质点受场的力取决于质点在场中的位置。例如地球表面局部的引力场可以近似看做一个恒力场（称为为重力场），即在一定区域内，质点总受向下的，大小恒为 $m g$ 的重力（矢量式 $F = m g$ ）。又例如水平面上一根原长忽略不计的弹簧，一端固定在原点，另一端连接质点，那么质点受力总指向原点，大小等于劲度系数和位矢模长的之积 $k r$ 。用矢量的方法表示，就是 $F = - k r$ 。

　　总结到一般情况，力场可以用场对质点施加的力（矢量）关于质点位置（位矢）的矢量函数表示，所以力场是一种矢量场。

例 1　引力场

　　球坐标原点处质量为 $M$ 的质点在周围造成的引力场为

\begin{matrix} (1) & F (r) = - G \frac{M}{r^{2}} \hat{r} . \end{matrix}

若位矢用

r

来表示（

r = r \hat{r}

），则

\begin{matrix} (2) & F (r) = - G \frac{M}{r^{3}} r . \end{matrix}

现在变换到直角坐标系中，有

\begin{matrix} (3) & {\begin{cases} r = x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z} \\ r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \end{cases} \end{matrix}

代入上式，展开得

\begin{matrix} (4) & F (r) = - \frac{G M x}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \hat{x} - \frac{G M y}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \hat{y} - \frac{G M z}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \hat{z} . \end{matrix}

　　显然球坐标系中的引力场表达式比直角坐标系中的要简洁得多。由此可见，对不同的矢量场选择适当的坐标系往往可以简化问题。

　　若质点从场的一点移动到另一点的过程中，力场对质点做的功只与初末位置有关，而与质点移动的路径无关，那么这个力场就是一个保守场。这时我们可以给该质点定义一个势能函数，势能函数是一个关于位矢的标量函数，一般记为 $V (r)$ ，具有能量量纲。当质点从一点以任意路径移动到另一点时，场对质点做的功等于质点初位置的势能减末位置的势能，即

\begin{matrix} (5) & \int_{r_{1}}^{r_{2}} F (r) \cdot d r = V (r_{1}) - V (r_{2}) . \end{matrix}

那么如何判断一个力场是否是保守场呢？我们分一维和多维空间进行讨论。

2. 一维势能函数

　　现在先假设质点只能沿一条直线运动，且力也始终与直线平行。显然质点从一点到另一点的路径只可能有一条，所以任何一维力场都是保守场。若给直线定义一个正方向，单位矢量为 $\hat{x}$ ，任何一维力场可以记为

\begin{matrix} (6) & F (x) = F (x) \hat{x}, \end{matrix}

质点的位置矢量可记为

r = x \hat{x}

。由于

\hat{x} \cdot \hat{x} = 1

，质点从

x = a

移动到

x = b

过程中场做的功为

\begin{matrix} (7) & \int_{r_{1}}^{r_{2}} F (r) \cdot d r = \int_{a}^{b} F (x) d x . \end{matrix}

根据势能的定义，对任意的

a

和

b

，上式应该等于

V (a) - V (b)

。根据牛顿—莱布尼兹公式，势能函数恰好就是

F (x)

的负原函数，所以

F (x)

是

V (x)

负导函数。

\begin{matrix} (8) & V (x) = - \int F (x) d x, F (x) = - \frac{d V (x)}{d x} . \end{matrix}

　　需要注意的是，由于原函数有无穷多个（由不定积分中任意常数的取值决定），所以势能函数也存在无穷多个，且都相差一个常数。为了确定势能函数，我们需要指定场中某一点的势能值，如果令某点势能为零，那么这点就叫做零势点。

例 2　弹簧的势能

　　一个原长可忽略的轻弹簧劲度系数为 $k$ ，一端固定在原点，另一端连接质点。质点只能沿 $\hat{x}$ 方向运动，规定质点在原点时势能为 $0$ ，求弹簧的势能关于质点位置坐标 $x$ 的函数。

　　由题意，式 6 中 $F (x) = - k x$ ，不定积分并取负值得到含有待定常数的势能函数

\begin{matrix} (9) & V (x) = - \int (- k x) d x = \frac{1}{2} k x^{2} - C . \end{matrix}

为了确定待定常数，代入

V (0) = 0

，解得

C = 0

。所以所求势能为

\begin{matrix} (10) & V (x) = \frac{1}{2} k x^{2} . \end{matrix}

3. 二维和三维函数

预备知识 2　梯度定理，斯托克斯定理

　　在二维（平面）或三维空间中，矢量场不一定是保守场，那么应该如何判断一个场是否是保守场？事实上 “线积分结果与路径无关” 有一个充要条件就是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”。而根据斯托克斯定理，这就要求矢量场的旋度处处为零，即它是一个无旋场。

未完成：画图说明 “线积分结果与路径无关” 的等效条件是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”

　　假设力场 $F (r)$ 是平面或三维空间中的保守场，对应势能为 $V (r)$ ，初始点为 $r_{i}$ ，终点为 $r_{f}$ 。对 $- V (r)$ 使用梯度定理得

\begin{matrix} (11) & \int_{r_{i}}^{r_{f}} \nabla [- V (r)] \cdot d l = V (r_{i}) - V (r_{f}) . \end{matrix}

我们把该式与式 5 比较，不难发现力场是势能函数的负梯度

\begin{matrix} (12) & F (r) = - \nabla V (r) . \end{matrix}

即在保守场的某点中，力的方向是势能下降最快的方向，大小是该方向的负方向导数。由梯度的定义，力场的各个分量分别为对应方向的负偏导数

\begin{matrix} (13) & F_{x} (r) = - \frac{\partial V (r)}{\partial x} F_{y} (r) = - \frac{\partial V (r)}{\partial y} \dots \end{matrix}

例 3　二维简谐振子

　　若已知二维的势能函数为 $V (x, y) = k_{1} (x + y)^{2} / 2 + k_{2} (x - y)^{2} / 2$ ，求力场。若已知场函数求势能函数，又该如何求？

　　把势能函数代入式 13 中，求偏导，得场为

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} F (r) & = - \frac{\partial V}{\partial x} \hat{x} - \frac{\partial V}{\partial y} \hat{y} \\ = - [(k_{1} + k_{2}) x + (k_{1} - k_{2}) y] \hat{x} - [(k_{1} - k_{2}) x + (k_{1} + k_{2}) y] \hat{y} . \end{aligned} \end{matrix}

　　现在我们根据 “梯度定理” 中的式 25 从场逆推势能。首先对力场的 $x$ 分量和 $y$ 分量分别关于 $x$ 和 $y$ 做不定积分得到任意两个原函数并记为 $G_{x}$ 和 $G_{y}$ 得

\begin{matrix} (15) & G_{x} (x, y) = - \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) x^{2} - (k_{1} - k_{2}) x y, \end{matrix}

\begin{matrix} (16) & G_{y} (x, y) = - (k_{1} - k_{2}) x y - \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) y^{2}, \end{matrix}

代入得（注意这里的场是势能函数的的负梯度而不是梯度，另外注意下式中的常数项都并入

C

中）

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} V (x, y) & = - G_{y} (x, y) + G_{y} (x, y_{0}) - G_{x} (x, y_{0}) + C \\ = \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) x^{2} + (k_{1} - k_{2}) x y + \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) y^{2} + C \\ = \frac{1}{2} k_{1} (x + y)^{2} + \frac{1}{2} k_{2} (x - y)^{2} + C . \end{aligned} \end{matrix}

若规定零势点

V (0, 0) = 0

，代入上式得

C = 0

。

4. 两质点间的势能

　　如果两质点 $A$ 和 $B$ 的位矢分别为 $r_{A}$ 和 $r_{B}$ ，相对位移为 $R = r_{B} - r_{A}$ ，两质点距离为 $R = | R |$ 。且 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $F = F (R) \hat{R}$ ， $B$ 对 $A$ 的反作用力为 $- F$ 。现在考虑一个过程中力对两质点做的总功。

　　在一段微小时间 $d t$ 内，两质点分别移动了 $d r_{A}$ ，和 $d r_{B}$ ，则相互作用力对二者做功为

\begin{matrix} (18) & d W = F \cdot d r_{B} + (- F) \cdot d r_{A} = F \cdot d R = F (R) \hat{R} \cdot d R = F (R) d R, \end{matrix}

（最后一步的证明见 “位置矢量” 中的例 1 ）定积分得

\begin{matrix} (19) & W = \int_{R_{1}}^{R_{2}} F (R) d R . \end{matrix}

现在我们借用一维势能的定义式 8 来定义势能函数为

F (R)

的负原函数，则力在一段时间内对两质点做的总功就等于末势能减初势能

\begin{matrix} (20) & W = V (R_{2}) - V (R_{1}) . \end{matrix}

5. 三维以上的势能

　　虽然牛顿力学仅限于三维空间以内，但曲线积分在任意维度都有定义，对于 $N$ （ $N > 3$ ）维空间，把坐标记为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ 矢量场 $F$ “延任意闭合曲线的环积分结果为零”，即存在势能函数的充分必要条件是对所有 $i, j \in {1, \dots, N}$ 都有

\begin{matrix} (21) & \frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}} = 0 (i \neq j), \end{matrix}

势能函数的计算同理可得。

6. 含时势能

　　以上的讨论中，我们默认力场的分布不随时间变化，所得势能显然也不随时间变化。但在一些情况下，我们也可以定义随时间变化的势能。

未完成：……

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