贡献者： addis
1. 力场
高中物理中我们已经学过一些场的概念，即质点受场的力取决于质点在场中的位置。例如地球表面局部的引力场可以近似看做一个恒力场（称为为重力场），即在一定区域内，质点总受向下的，大小恒为 $mg$ 的重力（矢量式 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{g}} $）。又例如水平面上一根原长忽略不计的弹簧，一端固定在原点，另一端连接质点，那么质点受力总指向原点，大小等于劲度系数和位矢模长的之积 $kr$。用矢量的方法表示，就是 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = -k \boldsymbol{\mathbf{r}} $。
总结到一般情况，力场可以用场对质点施加的力（矢量）关于质点位置（位矢）的矢量函数表示，所以力场是一种矢量场。
例 1 引力场
球坐标原点处质量为 $M$ 的质点在周围造成的引力场为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - G\frac{M}{r^2}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
若位矢用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 来表示（$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $），则
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - G\frac{M}{r^3}\, \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
现在变换到直角坐标系中，有
\begin{equation}
\begin{cases}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ~.
\end{cases}
\end{equation}
代入上式，展开得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{GMx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{GMy}{(x^2 +y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \frac{GMz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
显然球坐标系中的引力场表达式比直角坐标系中的要简洁得多。由此可见，对不同的矢量场选择适当的坐标系往往可以简化问题。
若质点从场的一点移动到另一点的过程中，力场对质点做的功 只与初末位置有关，而与质点移动的路径无关，那么这个力场就是一个保守场。这时我们可以给该质点定义一个势能函数，势能函数是一个关于位矢的标量函数，一般记为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，具有能量量纲。当质点从一点以任意路径移动到另一点时，场对质点做的功等于质点初位置的势能减末位置的势能，即
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)~.
\end{equation}
那么如何判断一个力场是否是保守场呢？我们分一维和多维空间进行讨论。
2. 一维势能函数
现在先假设质点只能沿一条直线运动，且力也始终与直线平行。显然质点从一点到另一点的路径只可能有一条，所以任何一维力场都是保守场。若给直线定义一个正方向，单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $，任何一维力场可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} (x) = F(x) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ~,
\end{equation}
质点的位置矢量可记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $。由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = 1$，质点从 $x = a$ 移动到 $x=b$ 过程中场做的功为
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }
= \int_a^b F(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
根据势能的定义，对任意的 $a$ 和 $b$，上式应该等于 $V(a) - V(b)$。根据
牛顿—莱布尼兹公式，势能函数恰好就是 $F(x)$ 的负原函数，所以 $F(x)$ 是 $V(x)$ 负导函数。
\begin{equation}
V(x) = -\int F(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\qquad
F(x) = - \frac{\mathrm{d}{V(x)}}{\mathrm{d}{x}} ~.
\end{equation}
需要注意的是，由于原函数有无穷多个（由不定积分中任意常数的取值决定），所以势能函数也存在无穷多个，且都相差一个常数。为了确定势能函数，我们需要指定场中某一点的势能值，如果令某点势能为零，那么这点就叫做零势点。
例 2 弹簧的势能
一个原长可忽略的轻弹簧劲度系数为 $k$，一端固定在原点，另一端连接质点。质点只能沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 方向运动，规定质点在原点时势能为 $0$，求弹簧的势能关于质点位置坐标 $x$ 的函数。
由题意，式 6 中 $F(x) = -kx$，不定积分并取负值得到含有待定常数的势能函数
\begin{equation}
V(x) = -\int (-kx) \,\mathrm{d}{x} = \frac12 k x^2 - C~.
\end{equation}
为了确定待定常数，代入 $V(0) = 0$，解得 $C = 0$。所以所求势能为
\begin{equation}
V(x) = \frac12 k x^2~.
\end{equation}
3. 二维和三维函数
在二维（平面）或三维空间中，矢量场不一定是保守场，那么应该如何判断一个场是否是保守场？事实上 “线积分结果与路径无关” 有一个充要条件就是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”。而根据斯托克斯定理，这就要求矢量场的旋度处处为零，即它是一个无旋场。
未完成：画图说明 “线积分结果与路径无关” 的等效条件是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”
假设力场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是平面或三维空间中的保守场，对应势能为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，初始点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$，终点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f$。对 $-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 使用梯度定理 得
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f} \boldsymbol\nabla [-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) - V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _f)~.
\end{equation}
我们把该式与
式 5 比较，不难发现力场是势能函数的负梯度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
即在保守场的某点中，力的方向是势能下降最快的方向，大小是该方向的负方向导数。由梯度的定义，力场的各个分量分别为对应方向的负偏导数
\begin{equation}
F_x( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{\partial x} \quad F_y( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{\partial y} \quad \ldots~
\end{equation}
例 3 二维简谐振子
若已知二维的势能函数为 $V(x,y) = k_1 (x+y)^2/2 + k_2 (x-y)^2/2$，求力场。若已知场函数求势能函数，又该如何求？
把势能函数代入式 13 中，求偏导，得场为
\begin{equation} \begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= - \frac{\partial V}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{\partial V}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
&= -[(k_1 + k_2) x + (k_1-k_2) y] \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - [(k_1-k_2)x + (k_1+k_2)y] \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
现在我们根据 “梯度定理” 中的式 25 从场逆推势能。首先对力场的 $x$ 分量和 $y$ 分量分别关于 $x$ 和 $y$ 做不定积分得到任意两个原函数并记为 $G_x$ 和 $G_y$ 得
\begin{equation}
G_x(x,y) = - \frac12 (k_1 + k_2) x^2 - (k_1-k_2) xy~,
\end{equation}
\begin{equation}
G_y(x,y) = - (k_1 - k_2) xy - \frac12 (k_1+k_2) y^2~,
\end{equation}
代入得（注意这里的场是势能函数的的负梯度而不是梯度，另外注意下式中的常数项都并入 $C$ 中）
\begin{equation} \begin{aligned}
V(x,y) &= -G_y(x,y) + G_y(x,y_0) - G_x(x,y_0) + C\\
&= \frac12 (k_1 + k_2) x^2 + (k_1-k_2)xy + \frac12 (k_1+k_2) y^2 + C\\
&= \frac12 k_1 (x+y)^2 +\frac12 k_2 (x-y)^2 + C~.
\end{aligned} \end{equation}
若规定零势点 $V(0,0) = 0$，代入上式得 $C=0$。
4. 两质点间的势能
如果两质点 $A$ 和 $B$ 的位矢分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B$，相对位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _B - \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$，两质点距离为 $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $。且 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $，$B$ 对 $A$ 的反作用力为 $- \boldsymbol{\mathbf{F}} $。现在考虑一个过程中力对两质点做的总功。
在一段微小时间 $ \,\mathrm{d}{t} $ 内，两质点分别移动了 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A} $，和 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B} $，则相互作用力对二者做功为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{W} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B} + (- \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }
= F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = F(R) \,\mathrm{d}{R} ~,
\end{equation}
（最后一步的证明见 “位置矢量
” 中的
例 1 ）定积分得
\begin{equation}
W = \int_{R_1}^{R_2} F(R) \,\mathrm{d}{R} ~.
\end{equation}
现在我们借用一维势能的定义
式 8 来定义势能函数为 $F(R)$ 的负原函数，则力在一段时间内对两质点做的总功就等于末势能减初势能
\begin{equation}
W = V(R_2) - V(R_1)~.
\end{equation}
5. 三维以上的势能
虽然牛顿力学仅限于三维空间以内，但曲线积分在任意维度都有定义，对于 $N$（$N > 3$）维空间，把坐标记为 $x_1, x_2, \dots, x_N$ 矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ “延任意闭合曲线的环积分结果为零”，即存在势能函数的充分必要条件是对所有 $i,j \in \left\{1,\dots, N \right\} $ 都有
\begin{equation}
\frac{\partial F_j}{\partial x_i} - \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = 0 \qquad (i\ne j)~,
\end{equation}
势能函数的计算同理可得。
6. 含时势能
以上的讨论中，我们默认力场的分布不随时间变化，所得势能显然也不随时间变化。但在一些情况下，我们也可以定义随时间变化的势能。
未完成：……
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。