位置矢量 位移

             

预备知识 几何矢量

   位置矢量(位矢)就是从坐标原点指向某一点的矢量,通常记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $.当定义了一个坐标系,那么坐标系中一点的位置就可以用位矢表示.

   有时候表示一个关于位置的函数,通常将位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 作为自变量.例如一个物体内密度关于位置的分布可以表示为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.在直角坐标系中,就相当于 $\rho(x,y,z)$,在球坐标系中就相当于 $\rho(r,\theta,\phi)$ 这么做的好处是书写简洁,而且不需要指定坐标系的种类.

   在物体运动过程中,可以把物体的位矢看做时间的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$,则位移 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是一段时间 $[t_1,t_2]$ 内物体初末位矢的矢量差

\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_2) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1) \end{equation}
注意位移只与一段时间内物体的初末位置有关,与路径无关.

预备知识 全微分,矢量的微分,矢量内积

例 1 证明 $ \,\mathrm{d}{r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $

   这个证明的几何意义是,位矢模长的微小变化等于位矢的微小变化在位矢方向的投影.

   这里以平面直角坐标系中的位矢为例证明.令位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的坐标为 $(x, y)$,模长为 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, 模长的全微分为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{r} = \frac{\partial r}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial r}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \,\mathrm{d}{x} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
考虑到 $x/\sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $y/\sqrt{x^2 + y^2}$ 分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r$ 的两个分量,$ \,\mathrm{d}{x} $ 和 $ \,\mathrm{d}{y} $ 分别为 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的两个分量,根据内积的定义上式变为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}

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