杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式

                     

贡献者： ACertainUser; addis

　　¹ 在本文中，我们假定材料是弹性的、线性的、各向同性的，且所有变形都发生在弹性限度内。

1. 杨氏模量；广义胡克定律（单向拉伸）

　　 如同弹簧的胡克定律 $$F=k\mathrm{\Delta }x,$$ 当材料被垂直于截面的单向外力拉伸时，我们有广义胡克定律

其中 $\sigma$ 是应力，$\epsilon$ 是应变，$E$ 被称为杨氏模量（Young's modulus），也叫杨氏模数或者弹性模量，是用于衡量材料弹性的力学属性，物理含义类似弹簧的劲度系数 $k$。杨氏模量具有压强的量纲（国际单位：帕斯卡）。

　　 更准确地说，由于应力与应变都是局域量，材料不同位置的应力、应变情况可以不同，因此广义胡克定律对 “单个微元” 成立，其使用的应力、应变都是单个微元的应力、应变。如果外力在截面上分布均匀，那么应力化为 $\sigma =\frac{F}{A}$，应变为 $\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }l}{l_0}$，在材料内部是处处相同的，此时广义胡克定律简化为：

其中 $F$ 是受力，$L_0$ 是原长，$A$ 是横截面积，$\mathrm{\Delta }L$ 是伸长或压缩的长度。通常我们假设 $\mathrm{\Delta }L\ll L_0$，因为和弹簧一样，过大的形变会导致非线性效应。

2. 泊松比

　　 玩过橡皮条的你会发现，当你在一个方向上拉伸橡皮时，橡皮在另外两个方向往往也会上缩短。这种现象是普遍的，这意味着，如图 1 所示，材料即使只在 $x$ 方向上受力，在 $y,z$ 方向上也会产生变形。这被称为 “柏松现象”，也是弹性力学的另一个基本假设。

负号表示变形的方向，$\nu$ 被称为柏松比 (Poisson's Ratio)。$\nu$ 一般为正值，但一些结构特殊的材料的 $\nu$ 可以是负数。根据弹性力学的相关理论可确定 $\nu$ 的理论范围。

3. 剪切模量；广义胡克定律（单向剪切）

　　 当材料受到一组平行于截面的剪切外力时，材料也会发生形变，只不过发生的是剪切变形。类似地，有

其中 $\tau$ 是剪应力，$\epsilon$ 是切应变，$G$ 是剪切模量，或第一 Lame 常数。

　　 剪切模量并不是独立的物理量，他取决于材料的杨氏模量与泊松比。

　　 在工程上，这个公式也记为 $\tau =G\gamma$。$\gamma$ 是工程剪应变，工程剪应变仅仅是相应切应变的 $2$ 倍。

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1. ^ 本文参考维基百科相关页面与 Callister 的 Material Science and Engineering An Introduction。