杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式

                     

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  1 在本文中,我们假定材料是弹性的、线性的、各向同性的,且所有变形都发生在弹性限度内。

1. 杨氏模量;广义胡克定律(单向拉伸)

图
图 1:在外力下材料变形

   如同弹簧的胡克定律 $$F=k \Delta x~,$$ 当材料被垂直于截面的单向外力拉伸时,我们有广义胡克定律

\begin{equation} \sigma = E \varepsilon~. \end{equation}
其中 $\sigma$ 是应力,$\varepsilon$ 是应变,$E$ 被称为杨氏模量(Young's modulus),也叫杨氏模数或者弹性模量,是用于衡量材料弹性的力学属性,物理含义类似弹簧的劲度系数 $k$。杨氏模量具有压强的量纲(国际单位:帕斯卡)。

   更准确地说,由于应力与应变都是局域量,材料不同位置的应力、应变情况可以不同,因此广义胡克定律对 “单个微元”成立,其使用的应力、应变都是单个微元的应力、应变。如果外力在截面上分布均匀,那么应力化为 $\sigma=\frac{F}{A}$,应变为 $\varepsilon=\frac{\Delta l}{l_0}$,在材料内部是处处相同的,此时广义胡克定律简化为:

\begin{equation} E = \frac{FL_0}{A\Delta L}~. \end{equation}
其中 $F$ 是受力,$L_0$ 是原长,$A$ 是横截面积,$\Delta L$ 是伸长或压缩的长度。通常我们假设 $\Delta L \ll L_0$,因为和弹簧一样,过大的形变会导致非线性效应。

例 1 

   一根横截面直径为 $2r = 2 \,\mathrm{mm} $ 的钢丝,松弛长度为 $L_0 = 1 \,\mathrm{m} $,已知该钢丝的杨氏模量为 $E = 200 \,\mathrm{GPa} $,要将其拉长 $\Delta L = 1 \,\mathrm{mm} $ 需要在两端施加多大的力?

   解:横截面为 $A = \pi r^2$,将各个量代入式 2 解的张力为 $F = 628.3 \,\mathrm{N} $。这也意味着,将一个 $60 \,\mathrm{kg} $ 的成年人挂在铁丝上,才能勉强将其拉长 $1 \,\mathrm{mm} $。危险动作请勿模仿!

2. 泊松比

   玩过橡皮条的你会发现,当你在一个方向上拉伸橡皮时,橡皮在另外两个方向往往也会上缩短。这种现象是普遍的,这意味着,如图 1 所示,材料即使只在 $x$ 方向上受力,在 $y,z$ 方向上也会产生变形。这被称为 “柏松现象”,也是弹性力学的另一个基本假设。

\begin{equation} -\varepsilon_z= \nu \varepsilon_x~. \end{equation}
负号表示变形的方向,$\nu$ 被称为柏松比 (Poisson's Ratio)。$\nu$ 一般为正值,但一些结构特殊的材料的 $\nu$ 可以是负数。根据弹性力学的相关理论可确定 $\nu$ 的理论范围。

3. 剪切模量;广义胡克定律(单向剪切)

图
图 2:材料发生剪切变形

   当材料受到一组平行于截面的剪切外力时,材料也会发生形变,只不过发生的是剪切变形。类似地,有

\begin{equation} \tau=2G\varepsilon~. \end{equation}
其中 $\tau$ 是剪应力,$\varepsilon$ 是切应变,$G$ 是剪切模量,或第一 Lame 常数。

   剪切模量并不是独立的物理量,他取决于材料的杨氏模量与泊松比。

\begin{equation} G = \frac{E}{2(1+\nu)}~. \end{equation}

   在工程上,这个公式也记为 $\tau=G\gamma$。$\gamma$ 是工程剪应变,工程剪应变仅仅是相应切应变的 $2$ 倍。


1. ^ 本文参考维基百科相关页面与 Callister 的 Material Science and Engineering An Introduction。


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