角动量 角动量定理 角动量守恒(单个质点)

             

预备知识 牛顿第二定律,力矩

1. 质点的角动量

   在我们讨论物体的转动时通常会引入角动量(angular momentum)的概念,这与直线运动中的动量有许多相似之处.

定义 1 角动量

   一个质点的质量为 $m$,某时刻速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则其动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} $.在三维空间中建立坐标系,原点为 $O$,$O$ 点到质点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $.定义该质点关于 $O$ 点的角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \, \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}

   由叉乘的几何定义 可知,当速度与位矢平行时角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $,垂直时角动量模长为距离和动量模长的积 $L = rp$.

   注意角动量的值取决于参考系的选取,如果我们选用不同的参考系,那么式 1 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 就会发生改变,进而改变角动量.事实上我们也可以取空间中的任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 作为角动量的参考点,定义角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} \end{equation}
这相当于以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 为原点建立一个新的参考系,然后在其中计算角动量.

例 1 质点圆周运动的角动量

  

图
图 1:圆周运动的角动量

   考虑一个质量为 $m$ 的质点绕坐标原点做半径为 $r$ 的逆时针匀速圆周运动(图 1 ),角速度为 $\omega$,速度为 $v = \omega r$.对于圆周运动,位置矢量和速度矢量始终垂直,令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 为垂直纸面向上的单位矢量,则角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = mvr \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = m r^2 \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
所以质点做圆周运动时,角动量矢量不随时间变化,即下文将要介绍的角动量守恒.

例 2 质点直线运动的角动量

  

图
图 2:直线运动的角动量

   虽然角动量通常用于描述转动,但也可以描述质点任意运动.例如当质点做匀速直线运动,运动轨迹与原点的距离为 $d$,则角动量始终为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = mvr\sin\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = mvd \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
所以做直线运动的质点同样有角动量守恒.

2. 单质点角动量定理

   令质点在某时刻受到的力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $,可以证明

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \end{equation}
这就是(单个质点的)角动量定理

   特殊地,若质点受到的力矩为零,则 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{t} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,即角动量不随时间变化.这个现象叫做角动量守恒(conservation of angular momentum).由力矩的定义(式 3 )$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} $,可见以下两种情况下力矩为零,角动量守恒.

  1. 质点受合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,即质点静止或做匀速直线运动(例 2 ).
  2. $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 同向,即质点只受关于 $O$ 点的有心力.如例 1 的圆周运动中,向心力就属于有心力.

证明

   我们来证明单个质点的角动量定理.令质点的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }/\mathrm{d}{t} $,加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} $,叉乘的求导法则(式 7 )与标量乘法求导类似,牛顿第二定律为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $,两个同方向矢量叉乘为零,

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} &= \frac{\mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} )}}{\mathrm{d}{t}} = m \frac{\mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} )}}{\mathrm{d}{t}} = m \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) \\ &= m( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ) = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (m \boldsymbol{\mathbf{a}} )\\ &= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \end{aligned} \end{equation}
证毕.

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