贡献者： addis
1. 质点的角动量
在我们讨论物体的转动时通常会引入角动量（angular momentum）的概念，这与直线运动中的动量有许多相似之处。
定义 1 角动量
一个质点的质量为 $m$，某时刻速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则其动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} $。在三维空间中建立坐标系，原点为 $O$，$O$ 点到质点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $。定义该质点关于 $O$ 点的角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \, \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
由叉乘的几何定义 可知，当速度与位矢平行时角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $，垂直时角动量模长为距离和动量模长的积 $L = rp$。
注意角动量取决于参考系的选取，如果我们选用不同的参考系，那么式 1 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 就会发生改变，进而改变角动量。事实上我们也可以取空间中的任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 作为角动量的参考点，定义角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ~.
\end{equation}
这相当于以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 为原点建立一个新的参考系，然后在其中计算角动量。或者更简单地，我们可以说这是关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 点的角动量。
例 1 质点圆周运动的角动量
图 1：圆周运动的角动量
考虑一个质量为 $m$ 的质点绕坐标原点做半径为 $r$ 的逆时针匀速圆周运动（图 1 ），角速度为 $\omega$，速度为 $v = \omega r$。对于圆周运动，位置矢量和速度矢量始终垂直，令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 为垂直纸面向外的单位矢量，则角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = mvr \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = m r^2 \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
所以质点绕原点做圆周运动时，角动量矢量不随时间变化，即下文将要介绍的角动量守恒。
例 2 质点直线运动的角动量
图 2：直线运动的角动量
虽然角动量通常用于描述转动，但也可以描述质点任意运动。例如当质点做匀速直线运动，运动轨迹与原点的距离为 $d$，则角动量始终为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = mvr\sin\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = mvd \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
所以做直线运动的质点同样有角动量守恒。
习题 1 角动量的轴向分量
在例 1 中，如果不把坐标原点设置在圆心上，而是在过圆心的转轴的其他位置，请问 1. 角动量的方向如何？是否随时间变化？2. 角动量矢量在转轴方向的分量是多少？是否随时间变化？
2. 单质点角动量定理
令质点在某时刻受到的力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $，可以证明
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ~,
\end{equation}
这就是（单个质点的）
角动量定理。
特殊地，若质点受到的力矩为零，则 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{t} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，即角动量不随时间变化。这个现象叫做角动量守恒（conservation of angular momentum）。由力矩的定义（式 3 ）$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} $，可见以下两种情况下力矩为零，角动量守恒。
- 质点受合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，即质点静止或做匀速直线运动（例 2 ）。
- $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 同向，即质点只受关于 $O$ 点的有心力。如例 1 的圆周运动中，向心力就属于有心力。
习题 2
习题 1 中我们发现质点的角动量会随时间变化，而质点作圆周运动只需要向心力。计算向心力产生的力矩，是否能使式 5 的角动量定理成立？
证明
我们来证明单个质点的角动量定理。令质点的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }/\mathrm{d}{t} $，加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} $，叉乘的求导法则（式 7 ）与标量乘法求导类似，牛顿第二定律为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $，两个同方向矢量叉乘为零，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} &= \frac{\mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} )}}{\mathrm{d}{t}} = m \frac{\mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} )}}{\mathrm{d}{t}}
= m \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) \\
&= m( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ) = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (m \boldsymbol{\mathbf{a}} )\\
&= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
证毕。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
