球谐函数

贡献者： addis

预备知识　球坐标的拉普拉斯方程，连带勒让德函数

　　¹当球坐标中的拉普拉斯方程分离变量后，关于极角 $θ$ 的函数为连带勒让德函数 $P_{l}^{m} (\cos θ)$ ，方向角函数为 $e^{i m ϕ}$ 。我们定义球谐函数（spherical harmonics）为²³

\begin{matrix} (1) & Y_{l, m} (\hat{r}) = Y_{l, m} (θ, ϕ) = A_{l, m} P_{l}^{m} (\cos θ) e^{i m ϕ}, \end{matrix}

其中

\hat{r}

表示一个单位矢量，指向球坐标中的点

(1, θ, ϕ)

。

l, m

为整数，

l ⩾ 0

，

- l ⩽ m ⩽ l

。

A_{l, m}

是归一化系数，使得

{| Y_{l, m} (\hat{r}) |}^{2}

在单位球面上的面积分等于 1（式 8 ）。

\begin{matrix} (2) & A_{l, m} = \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} . \end{matrix}

球谐函数可以看作是将单位球面上的每一点（或者三维空间中的每个方向）映射到一个复数函数值。常见的球谐函数见 “球谐函数列表”，函数图常用图 1 的方式绘制。

图 1：

| Y_{l, m} (\hat{r}) |

在

ϕ = 0

平面的极坐标曲线。红色代表

Y_{l, m} (\hat{r}) > 0

，蓝色代表

Y_{l, m} (\hat{r}) < 0

。第 1 行到第 4 行分别为

l = 0

到

3

，每行从左到右分别为

m = - l

到

l

。图中的右上角标明了

r

的单位长度。

　　当 $m = 0$ 时球谐函数可以用勒让德多项式表示为关于 $z$ 轴对称的函数

\begin{matrix} (3) & Y_{l, 0} (\hat{r}) = \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π}} P_{l} (\cos θ), \end{matrix}

另外根据式 1 和式 6 可得

\begin{matrix} (4) & Y_{l, m} (\hat{z}) = \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π}} δ_{m, 0} . \end{matrix}

1. 偏微分方程

　　球谐函数同时满足偏微分方程

\begin{aligned} (5) & \nabla_{Ω}^{2} Y_{l, m} & = - l (l + 1) Y_{l, m}, \\ (6) & \frac{\partial}{\partial ϕ} Y_{l, m} & = i m Y_{l, m}, \end{aligned}

其中

\begin{matrix} (7) & \nabla_{Ω}^{2} = \frac{1}{\sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial}{\partial θ}) + \frac{1}{\sin^{2} θ} (\frac{\partial^{2}}{\partial ϕ^{2}}) \end{matrix}

是球坐标系拉普拉斯算子中与

r

无关的部分（式 6 ）。

2. 归一化系数

　　由球谐函数的归一化条件，对单位球面积分（例 2 ）得

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} 1 & = \int {| Y_{l, m} (\hat{r}) |}^{2} d Ω = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} {| Y_{l, m} (θ, ϕ) |}^{2} \sin θ d θ d ϕ \\ = {| A_{l, m} |}^{2} \int_{- 1}^{1} {| P_{l}^{m} (\cos θ) |}^{2} d (\cos θ) \int_{0}^{2 π} {| e^{i m ϕ} |}^{2} d ϕ \\ = \frac{2 π}{{| A_{l, m}^{'} |}^{2}} {| A_{l, m} |}^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

A_{l, m}^{'}

是

P_{l}^{m} (x)

的归一化系数（见式 4 ），代入后可得

A_{l, m}

。

3. Condon–Shortley 相位

　　与连带勒让德函数相同，在定义球谐函数时我们也可以选择是否包含 Condon–Shortley 相位 $(- 1)^{m}$ 。物理中一般选择包含，小时百科中也统一包含。如果包含，我们可以选择将其包含在连带勒让德函数中（如式 2 ），或者包含在球谐函数的定义中。如果不包含，该相位在两个定义中都不出现。

4. 正交归一性

　　由勒让德函数的正交归一性（式 5 ）以及 $e^{i m ϕ}$ 的正交归一性（式 5 ），不难证明球谐函数的正交归一性

\begin{matrix} (9) & \int Y_{l^{'}, m^{'}}^{*} (\hat{r}) Y_{l, m} (\hat{r}) d Ω = δ_{l, l^{'}} δ_{m, m^{'}}, \end{matrix}

其中

δ_{i, j}

是克罗内克 delta 函数。与多元函数的傅里叶级数类似，球谐函数可以展开所有性质良好的二元函数：

\begin{matrix} (10) & f (\hat{r}) = f (θ, ϕ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} C_{l, m} Y_{l, m} (θ, ϕ) (θ \in [0, π], ϕ \in [2, 2 π]), \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & C_{l, m} = \int Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) f (\hat{r}) d Ω . \end{matrix}

若

f (\hat{r})

是实函数，那么（证明：令式 10 等于自己的复共轭再使用式 25 即可）

\begin{matrix} (12) & C_{l, m} = (- 1)^{m} C_{l, - m}^{*} . \end{matrix}

　　性质良好的三维函数 $f (r)$ 也可以展开为径向函数 $f_{l, m} (r)$ 和球谐函数的乘积

\begin{matrix} (13) & f (r) = f (r, θ, ϕ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} f_{l, m} (r) Y_{l, m} (θ, ϕ), \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & f_{l, m} (r) = \int Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) f (r) d Ω . \end{matrix}

若

f (r)

是实函数，那么

\begin{matrix} (15) & f_{l, - m} (r) = (- 1)^{m} f_{l, m} (r) . \end{matrix}

5. 旋转变换

\begin{matrix} (16) & Y_{l, m} ({\hat{r}}^{'}) = \sum_{m^{'} = - l}^{l} D_{m, m^{'}}^{(l)} (R)^{*} Y_{l, m^{'}} (\hat{r}), \end{matrix}

其中

D^{(l)}

是 Wigner D 矩阵。从量子力学的角度来说，总角动量是与方向无关的，只有角动量在某方向的分量有关。

6. 中心对称

　　 $l$ 为偶数时，球谐函数是中心对称的（偶宇称），否则是反对称的（奇宇称）。

\begin{matrix} (17) & Y_{l, m} (- \hat{r}) = (- 1)^{l} Y_{l, m} (\hat{r}), \end{matrix}

可以用图 1 验证。

7. 求导和积分

　　以下公式在量子力学中计算氢原子跃迁矩阵元以及数值解 TDSE 时有应用。

　　三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘⁴

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} \int Y_{l_{1} m_{1}} (\hat{r}) Y_{l_{2} m_{2}} (\hat{r}) Y_{l_{3} m_{3}} (\hat{r}) d Ω \\ = (- 1)^{m_{3}} \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1)}{4 π (2 l_{3} + 1)}} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{array}] \\ = \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1) (2 l_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{array}), \end{aligned} \end{matrix}

使用式 25 把第一个球谐函数变为复共轭得

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} \int Y_{l_{1} m_{1}}^{*} (\hat{r}) Y_{l_{2} m_{2}} (\hat{r}) Y_{l_{3} m_{3}} (\hat{r}) d Ω \\ = (- 1)^{m_{1}} \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1) (2 l_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ - m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

注意

\cos θ

是一个厄米（对称）算符。

　　特殊地，考虑到 $\cos θ = \sqrt{\frac{4 π}{3}} Y_{1, 0}$ ，有

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} C_{l, m} & := \int Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) \cos θ (\hat{r}) Y_{l + 1, m} (\hat{r}) = \int Y_{l + 1, m}^{*} (\hat{r}) \cos θ (\hat{r}) Y_{l, m} (\hat{r}) \\ = \sqrt{\frac{(l + 1)^{2} - m^{2}}{(2 l + 1) (2 l + 3)}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　根据 $P_{l}^{m} (x)$ 的求导公式（式 11 ），有

\begin{matrix} (21) & \frac{\partial}{\partial θ} Y_{l, m} (\hat{r}) = \frac{1}{\sin θ} [l C_{l, m} Y_{l + 1, m} (\hat{r}) - (l + 1) C_{l - 1, m} Y_{l - 1, m} (\hat{r})] . \end{matrix}

故

\begin{matrix} (22) & \int Y_{l + 1, m}^{*} (\hat{r}) \sin θ \frac{\partial}{\partial θ} Y_{l, m} (\hat{r}) d Ω = l C_{l, m}, \end{matrix}

\begin{matrix} (23) & \int Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) \sin θ \frac{\partial}{\partial θ} Y_{l + 1, m} (\hat{r}) d Ω = - (l + 2) C_{l, m} . \end{matrix}

注意

\sin θ \partial / \partial θ

不是一个反对称算符，但若加上

\cos θ

就是。反对称算符乘以

i

就是厄米算符。

8. 矢量相加定理

　　这里的矢量相加定理（vector addition theorem）是指把勒让德多项式展开为两个球谐函数的乘积

\begin{matrix} (24) & P_{l} (\cos θ) = \frac{4 π}{2 l + 1} \sum_{m = - l}^{l} Y_{l, m}^{*} (\hat{u}) Y_{l, m} (\hat{v}), \end{matrix}

其中

θ

是两个单位矢量

\hat{u}, \hat{v}

的夹角。

9. 其他性质

\begin{matrix} (25) & Y_{l, m} (\hat{r}) = (- 1)^{m} Y_{l, - m}^{*} (\hat{r}) . \end{matrix}

这里的

(- 1)^{m}

是由连带勒让德函数的性质（式 8 ）而来，而复共轭由

\exp (i m ϕ)

因子而来。

　　根据 “球坐标与直角坐标的转换” 中定义的直角坐标系以及球谐函数表可得

\begin{matrix} (26) & x = \sqrt{\frac{2 π}{3}} r (Y_{1, - 1} - Y_{1, 1}), y = i \sqrt{\frac{2 π}{3}} r (Y_{1, - 1} + Y_{1, 1}), z = 2 \sqrt{\frac{π}{3}} r Y_{1, 0} . \end{matrix}

10. 应用

　　平面波的球谐展开，电多极子展开，球坐标系中的拉普拉斯方程，类氢原子的定态波函数等。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 有些教材也将球谐函数记为 $Y_{l}^{m}$
3. ^ 特殊地， $Y_{l, 0} (\hat{r}) = \sqrt{(2 l + 1) / (4 π)} P_{l} (\cos θ)$ ， $P_{l}$ 是勒让德多项式。
4. ^ 见 Bransden 附录 A4，以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面