Clebsch–Gordan 系数

贡献者： addis

本文需要更多讲解，便于帮助理解。

预备知识　角动量加法

1. 相位约定

　　任何算符的一组归一化本征基底各自乘以一个任意相位因子 $e^{i ϕ_{I}}$ 仍然是一组归一化的本征基底（本征值不变）。所以基底变换矩阵（如 CG 矩阵），每一行或每一列分别乘以一个相位因子，仍然表示相同的基底变换。这些相位怎么取被称为相位约定（phase convention）。一般的约定¹是使所有 CG 系数为实数，且第一行和第一列（对应最大的 $m_{1}$ 和最大的 $L$ ）的矩阵元大于零。

2. 解析表达式为

　　按照这种相位约定，CG 系数的解析表达式为

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ⟨ l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2} | l_{1}, l_{2}, L, M ⟩ = [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{array}] \\ = \sqrt{\frac{(2 L + 1) (L + l_{1} - l_{2})! (L - l_{1} + l_{2})! (l_{1} + l_{2} - L)!}{(l_{1} + l_{2} + L + 1)!}} \\ \times \sqrt{(L + M)! (L - M)! (l_{1} - m_{1})! (l_{1} + m_{1})! (l_{2} - m_{2})! (l_{2} + m_{2})!} \\ \times \sum_{k = k_{m i n}}^{k_{m a x}} \frac{(- 1)^{k}}{k! (l_{1} + l_{2} - L - k)! (l_{1} - m_{1} - k)! (l_{2} + m_{2} - k)!} \\ \times \frac{1}{(L - l_{2} + m_{1} + k)! (L - l_{1} - m_{2} + k)!}, \end{aligned} \end{matrix}

其中求和的上下限需要保证每个含有

k

的阶乘自变量都大于等于 0，所以有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} k_{m i n} = max {0, l_{2} - m_{1} - L, l_{1} + m_{2} - L}, \\ k_{m a x} = min {l_{1} + l_{2} - L, l_{1} - m_{1}, l_{2} + m_{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

3. 基本选择定则

　　从 “角动量加法” 中可以得到

\begin{matrix} (3) & | l_{1} - l_{2} | ⩽ L ⩽ l_{1} + l_{2} . \end{matrix}

从物理上理解，两个矢量相加得到第三个矢量

v_{1} + v_{2} = v

，则他们的模长

v_{1}, v_{2}, v

必须满足三角不等式

| v_{1} - v_{2} | ⩽ v ⩽ v_{1} + v_{2}

。

　　我们还可以得到

\begin{matrix} (4) & m_{1} + m_{2} = M, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & - L ⩽ M ⩽ L, - l_{1} ⩽ m_{1} ⩽ l_{1}, - l_{2} ⩽ m_{2} ⩽ l_{2} . \end{matrix}

当有可能出现半整数时，还要求²

\begin{matrix} (6) & M + L \in N, m_{1} + l_{1} \in N, m_{2} + l_{2} \in N . \end{matrix}

当且仅当一个 CG 系数满足以上选择定则时，它才会在 CG 表中出现（可能是 0）。

4. 对称性

　　由于 3j 符号具有更简洁的对称性，我们可以用其推导 CG 系数的对称性³

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{array}] & = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ - m_{1} & - m_{2} & - M \end{array}] \\ = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} [\begin{array}{c} l_{2} & l_{1} & L \\ m_{2} & m_{1} & M \end{array}] \\ = (- 1)^{l_{1} - m_{1}} \sqrt{\frac{2 L + 1}{2 l_{2} + 1}} [\begin{array}{c} l_{1} & L & l_{2} \\ m_{1} & - M & - m_{2} \end{array}] \\ = (- 1)^{l_{2} + m_{2}} \sqrt{\frac{2 L + 1}{2 l_{1} + 1}} [\begin{array}{c} L & l_{2} & l_{1} \\ - M & m_{2} & - m_{1} \end{array}] . \end{aligned} \end{matrix}

5. 对称性选择定则

　　符合基本选择定则的 CG 系数也可能为 0。我们可以用更多的选择定则来找到这些系数。由 3j 符号的选择定则（式 7 ，式 8 ），当第一行三个数之和为奇数时⁴

\begin{matrix} (8) & [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & L \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} l & l & L \\ m & m & M \end{matrix}] = [\begin{matrix} l_{1} & l & l \\ m_{1} & m & - m \end{matrix}] = [\begin{matrix} l & l_{2} & l \\ m & m_{2} & - m \end{matrix}] = 0 . \end{matrix}

注意即使加入了这些选择定则，CG 系数仍然可能为零，事实上要找到所有的零系数非常困难⁵。

6. 特殊情况

　　一些情况下式 1 有更简单的表达式

\begin{matrix} (9) & [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & 0 \\ m_{1} & m_{2} & 0 \end{matrix}] = \frac{(- 1)^{l_{1} - m_{1}}}{\sqrt{2 l_{1} + 1}} . \end{matrix}

7. 正交归一性

　　由于 $| l_{1}, l_{2}, L, M ⟩$ 都是正交归一的，所以有

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \sum_{m_{1}, m_{2}} ⟨ l_{1}^{'}, l_{2}^{'}, L^{'}, M^{'} | l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2} ⟩ ⟨ l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2} | l_{1}, l_{2}, L, M ⟩ \\ = δ_{l_{1}, l_{1}^{'}} δ_{l_{2}, l_{2}^{'}} δ_{L, L^{'}} δ_{M, M^{'}}, \end{aligned} \end{matrix}

即

\begin{matrix} (11) & \sum_{m_{1}, m_{2}} [\begin{matrix} l_{1}^{'} & l_{2}^{'} & L^{'} \\ m_{1} & m_{2} & M^{'} \end{matrix}] [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{matrix}] = δ_{l_{1}, l_{1}^{'}} δ_{l_{2}, l_{2}^{'}} δ_{L, L^{'}} δ_{M, M^{'}} . \end{matrix}

根据选择定则，只需要对满足式 4 和式 5 的

m_{1}

和

m_{2}

即可（双重求和变为一次求和）。

8. 与球谐函数的关系

　　三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘⁶

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \int Y_{l_{1} m_{1}} (\hat{r}) Y_{l_{2} m_{2}} (\hat{r}) Y_{l_{3} m_{3}} (\hat{r}) d Ω \\ = (- 1)^{m_{3}} \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1)}{4 π (2 l_{3} + 1)}} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{array}] \\ = \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1) (2 l_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 如 Wikipedia，Griffiths Quandum 的定义
2. ^ 推导过程中注意所有数都可能取半整数。若两个数都是半整数或都是整数，它们相加等于整数，否则相加等于半整数。半整数乘以 2 等于奇数，整数乘以 2 等于偶数。类比：若两个数都是奇数或偶数，它们相加等于偶数，否则相加等于奇数。
3. ^ 下式中如果 $L$ 是整数，那么前面取正负号都行，但如果是半整数，则只能取负号，推导时要注意。
4. ^ 由 CG 系数的对称性推导得到的条件会复杂很多，但与该条件是等价的。
5. ^ 见 T A Heim, J Hinze and A R P Rau, Some classes of `'nontrivial zeroes' of angular momentum addition coefficients，一个例子是 $[\begin{matrix} 3 & 3 & 2 \\ - 2 & 2 & 0 \end{matrix}]$ ，注意第一行之和是偶数。
6. ^ 见 Bransden 附录 A4，以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面