贡献者： addis
1复数形式的归一化平面波可以展开为式 13 的形式：
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sum_{l=0}^{\infty} \mathrm{i} ^l j_l(kr) \sum_{m=-l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
推导见下文。由 $Y_{l,m}^* = (-1)^m Y_{l,-m}$ 易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上。另外由 $Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )$ 易得 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle ^* = \left\lvert - \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $。
可以证明，一组正交归一的球面波基底为（见 “径向函数的归一化”）
\begin{equation}
\left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle = s_{l,m}(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2}{\pi}}kr j_l(kr) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
平面波
式 1 可以表示为相同能量球谐波的线性组合
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \sum_{l,m}\frac{ \mathrm{i} ^l}{k} Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle ~.
\end{equation}
其他形式
根据式 24 ，令 $\alpha$ 为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的夹角，式 1 也可以记为
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_{l=0}^{\infty} \mathrm{i} ^l (2l+1) j_l(kr) P_l(\cos\alpha)~,
\end{equation}
所以 $z$ 方向的平面波可以仅由 $Y_{l,0}$ 球谐函数展开
\begin{equation}
\left\lvert k \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kz}
= \frac{1}{\pi} \sum_{l=0}^{\infty} \mathrm{i} ^l \sqrt{l+\frac12}\ j_l(kr) Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
1. 球谐展开函数的傅里叶变换
若三维函数具有球谐展开的形式
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} u_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
要做三维傅里叶变换
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| f \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{3}{r} ~.
\end{equation}
将
式 3 代入上式得
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{1}{k} \sum_{l,m} g_{l,m}(k) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
g_{l,m}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{i} ^{-l} \int_0^{+\infty} u_{l,m}(r) kr j_l(kr) \,\mathrm{d}{r} ~,
\end{equation}
于是 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可分解为平面波
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int g_{l,m}(k) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle \,\mathrm{d}^{3}{k} ~.
\end{equation}
例 1 类氢原子基态的动量谱
类氢原子基态的波函数为（见式 2 ，使用原子单位）
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{Z^{3/2}}{\sqrt\pi} \mathrm{e} ^{-Zr}~,
\end{equation}
显然只有 $l = 0, m = 0$ 球谐项。而 $Y_{0,0} = 1/\sqrt{4\pi}$，所以径向波函数为
\begin{equation}
R_{00}(r) = 2 Z^{3/2} \mathrm{e} ^{-Zr}~,
\end{equation}
所以傅里叶变换为（注意 $j_0(x) = \sin x/x$）
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{\sqrt{2}}{k\pi} \int_0^\infty \mathrm{e} ^{-r} \sin\left(kr\right) r \,\mathrm{d}{r} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi(k^2+1)^2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \left(\frac{2}{Z} \right) ^{3/2} \frac{1}{\pi(k^2/Z^2 + 1)^2}~.
\end{equation}
我们也可以将沿 $z$ 轴正方向的三维平面波用球坐标表示（不使用球谐函数），再在球坐标中与波函数积分，结果相同。
2. 推导
理论上，式 1 可以通过计算式 14 得到，但这个积分较为复杂，可能需要借助 Mathematica 等工具2
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad f_{l,m}(r) = \int Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}{\Omega} \\
&= A_{l,m}\int_0^\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \,\,P_l^m(\cos\theta) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} m \phi}\\
&\times \exp\left[ \mathrm{i} (k_x r \sin\theta\cos\phi + k_y r \sin\theta\sin\phi + k_z r \cos\theta)\right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
但从
式 4 可以知道我们只需要证明 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 延 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 方向的情况，令 $\theta = \alpha$ 即可，也就是上式中 $k_x = 0, k_y = 0, k_z = k$。由对称性，$m \ne 0$ 时积分都是 0，所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int Y_{l,0}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}{\Omega}
&= 2\pi A_{l,m}\int_0^\pi P_l(\cos\theta) \exp\left[ \mathrm{i} (k r \cos\theta)\right] \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= 2\pi A_{l,m}\int_{-1}^1 P_l(x) \exp\left[ \mathrm{i} (k r x)\right] \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
由
式 9 得
\begin{equation}
\int Y_{l,0}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}{\Omega}
= 4\pi A_{l,m} \mathrm{i} ^l j_l(\rho)
= \sqrt{4\pi (2l + 1)}\ \mathrm{i} ^l j_l(\rho)~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{l,m} \sqrt{4\pi (2l + 1)}\ \mathrm{i} ^l j_l(\rho) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )
=\sum_{l,m} (2l + 1) \mathrm{i} ^l j_l(\rho) P_l(\cos\alpha)~.
\end{equation}
证毕。
3. 推导 2
另一种方法是把平面波看作三维亥姆霍兹方程的解
未完成：引用三维直角坐标的亥姆霍兹方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + k^2 \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0~
\end{equation}
的解。这也是
定态薛定谔方程势能为零的一个解。在
球坐标系中解亥姆霍兹方程得通解为
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l,m} [A_{l,m} j_l(kr) + B_{l,m} y_l(kr)] Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
由于
第二类球贝塞尔函数 $y_l(kr)$ 在 $r\to 0$ 时有奇点，所以 $B_{l,m} = 0$。而第一类球贝塞尔函数 $j_l$ 在 $r\to \infty$ 时有渐进形式（
式 18 ）
\begin{equation}
j_l(x) \to \sin\left(x - l\pi /2\right) /x~,
\end{equation}
在 $r\to \infty$ 匹配相位即可得到 $A_{l,m}$。
未完成：具体如何匹配？
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面及参考文献。
2. ^ 其实 Mathematica 也只能算给定的 $l, m$。