贡献者： addis
我们知道有限长区间中一个性质足够良好（满足迪利克雷条件）函数可以展开为三角函数的线性组合，同理，一个性质足够良好的 $N$ 元函数 $f(x_1, \dots, x_N)$ 也可以展开为 $N$ 个三角函数乘积的线性组合
\begin{equation}
f(x_1, \dots, x_N) = \sum_{n_1,\dots, n_N} C_{n_1,\dots, n_N} \exp\left( \mathrm{i} \frac{n_1\pi}{l_1} x_1\right) \dots \exp\left( \mathrm{i} \frac{n_N \pi}{l_N} x_N\right) ~.
\end{equation}
其中 $x_i$ 的区间长度为 $l_i$，每个指标求和时取负无穷到正无穷的所有整数。系数 $C_{n_1,\dots, n_N}$ 可以由 $N$ 重积分得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
C_{i_1,\dots, i_N} &= \frac{1}{2^Nl_1\cdots l_N}\int_{-l_N}^{l_N}\cdots\int_{-l_1}^{l_1} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n_1 \pi}{l_1} x_1\right) \dots \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n_N \pi}{l_N} x_N\right) \\
& \times f(x_1, \dots, x_N) \,\mathrm{d}{x_1} \dots \,\mathrm{d}{x_N} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
为了方便讨论，我们取 $N = 2$，更高元的情况类比可得。区间 $x\in [0, a], y\in [0, b]$ 内的二元函数 $f(x, y)$ 的傅里叶展开为
\begin{equation}
f(x, y) = \sum_{m = -\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty C_{m, n} \exp\left( \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) ~.
\end{equation}
系数由二重积分计算
\begin{equation}
C_{m, n} = \frac{1}{4ab}\int_{-b}^b\int_{-a}^a \exp\left(- \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
可以证明一组正交归一的函数基底为
\begin{equation}
b_{m,n}(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{m \pi}{a} x\right) \frac{1}{\sqrt{2b}} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n \pi}{b} y\right) ~.
\end{equation}
定义讨论的二元函数空间的
内积为
\begin{equation}
\left\langle f_{m',n'} \middle| g_{m,n} \right\rangle = \int_0^a\int_0^b f^*_{m',n'}(x, y) g_{m,n}(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
那么由
式 5 易证基底满足正交归一化条件
\begin{equation}
\left\langle b_{m',n'} \middle| b_{m,n} \right\rangle = \delta_{m,m'} \delta_{n,n'}~.
\end{equation}
未完成：举例