多元函数的傅里叶级数

贡献者： addis

预备知识　傅里叶级数，重积分

　　我们知道有限长区间中一个性质足够良好（满足迪利克雷条件）函数可以展开为三角函数的线性组合，同理，一个性质足够良好的 $N$ 元函数 $f (x_{1}, \dots, x_{N})$ 也可以展开为 $N$ 个三角函数乘积的线性组合

\begin{matrix} (1) & f (x_{1}, \dots, x_{N}) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{N}} C_{n_{1}, \dots, n_{N}} \exp (i \frac{n_{1} π}{l_{1}} x_{1}) \dots \exp (i \frac{n_{N} π}{l_{N}} x_{N}) . \end{matrix}

其中

x_{i}

的区间长度为

l_{i}

，每个指标求和时取负无穷到正无穷的所有整数。系数

C_{n_{1}, \dots, n_{N}}

可以由

N

重积分得到

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} C_{i_{1}, \dots, i_{N}} & = \frac{1}{2^{N} l_{1} \dots l_{N}} \int_{- l_{N}}^{l_{N}} \dots \int_{- l_{1}}^{l_{1}} \exp (- i \frac{n_{1} π}{l_{1}} x_{1}) \dots \exp (- i \frac{n_{N} π}{l_{N}} x_{N}) \\ \times f (x_{1}, \dots, x_{N}) d x_{1} \dots d x_{N} . \end{aligned} \end{matrix}

　　为了方便讨论，我们取 $N = 2$ ，更高元的情况类比可得。区间 $x \in [0, a], y \in [0, b]$ 内的二元函数 $f (x, y)$ 的傅里叶展开为

\begin{matrix} (3) & f (x, y) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{m, n} \exp (i \frac{m π}{a} x) \exp (i \frac{n π}{b} y) . \end{matrix}

系数由二重积分计算

\begin{matrix} (4) & C_{m, n} = \frac{1}{4 a b} \int_{- b}^{b} \int_{- a}^{a} \exp (- i \frac{m π}{a} x) \exp (- i \frac{n π}{b} y) f (x, y) d x d y . \end{matrix}

　　可以证明一组正交归一的函数基底为

\begin{matrix} (5) & b_{m, n} (x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 a}} \exp (- i \frac{m π}{a} x) \frac{1}{\sqrt{2 b}} \exp (- i \frac{n π}{b} y) . \end{matrix}

定义讨论的二元函数空间的内积为

\begin{matrix} (6) & ⟨ f_{m^{'}, n^{'}} | g_{m, n} ⟩ = \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} f_{m^{'}, n^{'}}^{*} (x, y) g_{m, n} (x, y) d x d y . \end{matrix}

那么由式 5 易证基底满足正交归一化条件

\begin{matrix} (7) & ⟨ b_{m^{'}, n^{'}} | b_{m, n} ⟩ = δ_{m, m^{'}} δ_{n, n^{'}} . \end{matrix}

未完成：举例