贡献者： addis
$f(x)$ 是自变量为实数的复变函数，若满足狄利克雷条件，则可在区间 $[- l,l]$ 展开成复数的傅里叶级数
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n = - \infty }^{ + \infty } c_n \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) ~.
\end{equation}
其中 $c_n$ 是复常数，可以用定积分
计算
\begin{equation}
c_n = \frac{1}{2l} \int_{ - l}^l f(x) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
当 $f(x)$ 为实函数时，$c_n$ 与 $c_{-n}$ 互为复共轭。当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时，分别有 $c_{-n} = c_n$ 或 $c_{-n} = -c_n$。
要特别注意的是，严格来说式 1 并不能用等号。因为若函数 $f(x)$ 在某点不连续，在该点处等式右边的级数未必会收敛到 $f(x)$。对此本文并不过多讨论，且为了方便仍然使用等号。
1. 几何理解
若把式 1 中的 $x$ 改成时间 $t$，那么 $f(t)$ 可以看作是复平面上一个点随时间的运动。而根据欧拉公式（式 3 ），式 1 中的每一项，则是平面上一个矢量的匀速圆周运动（$n=0$ 的项是例外，它不随时间变化）。由于复数的加法相当于复平面上矢量的相加（图 1 ），那么 $f(t)$ 所代表的运动就是从坐标原点出发，把所有这些做圆周运动的矢量首尾相接后，最后一个矢量的末端的运动。
图 1：动画见
这里。这里的曲线使用小时百科的图标
。代码见 “用傅里叶级数画曲线（Matlab）
”。
根据式 1 ，第 $n$ 个圆周运动的角速度为 $\omega_n = n\pi/l$，注意逆时针为正，顺时针为负。周期为 $T_n = 2\pi/\omega = 2l/n$（$n\ne 0$）。也就是说在一个周期内，$n=1$ 的圆周运动在时间 $T = 2l$ 内逆时针转一圈，$n=2$ 的逆时针转两圈，$n=-1$ 的顺时针转一圈，$n=-2$ 的顺时针转两圈……
2. 推导
类比三角傅里叶级数的情况。这时，完备正交归一的函数基底变为
\begin{equation}
f_n(x) = \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \quad{n \in N}~.
\end{equation}
定义复函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积为
\begin{equation}
\left\langle f \middle| g \right\rangle = \int_{-l}^{l} f(x) ^* g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
可证明函数基底（
式 3 ）正交且模长为 $2l$，用克罗内克 $\delta$ 函数表示为
\begin{equation}
\left\langle f_m \middle| f_n \right\rangle = 2l \delta_{mn}~.
\end{equation}
与三角傅里叶级数同理，可得
式 1 和
式 2 。
3. 与三角傅里叶级数的关系
根据欧拉公式（式 3 ），可以写出正余弦函数和复指数函数的关系
\begin{equation}
\cos x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2}, \qquad
\sin x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} }~.
\end{equation}
三角傅里叶级数的系数
式 2 和
式 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示
\begin{equation}
\begin{aligned}
a_n &= \frac{1}{l}\int_{ - l}^l f( x ) \cos\left(\frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi}{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\
&= c_n + c_{-n}~.
\end{aligned} \end{equation}
同理，
\begin{equation} \begin{aligned}
b_n &= \mathrm{i} (c_n - c_{-n})~.
\end{aligned} \end{equation}
注意这里全都有 $n\geqslant 0$。由以上两式，也可以解得
\begin{equation}
c_n = \frac{a_n - \mathrm{i} b_n}{2}, \qquad
c_{-n} = \frac{a_n + \mathrm{i} b_n}{2}~.
\end{equation}
4. 实函数，奇函数，和偶函数的情况
特殊地，当 $f(x)$ 为实函数时，由于 $a_n$ 和 $b_n$ 必定是实数，根据式 9 可知
\begin{equation}
c_{-n} = c_{n} ^* ~.
\end{equation}
即正负系数互为复共轭。当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时，三角傅里叶级数分别只有 $a_n$ 或 $b_n$ 不为零
，同样根据
式 9 可得，两种情况分别对应
\begin{equation}
c_{-n} = c_n =\frac{a_n}{2}, \qquad
c_{-n} = -c_n = \mathrm{i} \frac{b_n}{2}~.
\end{equation}
由以上两式可得，如果 $f(x)$ 既是实函数又是偶函数时，$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相等的实数，如果既是实函数又是奇函数，$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相反的纯虚数。
5. 性质
\begin{equation}
\int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = 2l\sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2~.
\end{equation}
证明：用狄拉克符号
记为 $ \left\lvert f \right\rangle = \sum_n c_n \left\lvert n \right\rangle $，利用基底的正交性（
式 5 ）
\begin{equation}
\left\langle f \middle| f \right\rangle = \sum_i c_i^* \left\langle i \right\rvert \sum_j c_j \left\lvert j \right\rangle = 2l \sum_{i,j} \left\lvert c_i \right\rvert ^2 \delta_{i,j} = 2l \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2~.
\end{equation}
如果把基底为正交归一化（每个基底 $ \left\lvert n \right\rangle $ 除以 $\sqrt{2l}$，使得 $ \left\langle i \middle| j \right\rangle = \delta_{i,j}$，则有更简洁的关系
\begin{equation}
\int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2~.
\end{equation}
这叫做
Parseval 定理。
6. 任意区间的展开
类比子节 4 中的讨论，要用指数傅里叶级数展开 $[a, b]$ 区间的函数 $f(x)$，一种方法是令 $l = (b - a)/2$，并把式 2 的积分区间改为 $[a, b]$ 即可。或者也可以取 $l > (b - a)/2$ 的任意实数。
