贡献者： addis; _Eden_
预备知识 球坐标系中的拉普拉斯算符
，分离变量法解偏微分方程
三维空间的拉普拉斯方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0~.
\end{equation}
使用球坐标系中的拉普拉斯算子
得
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} = 0~,
\end{equation}
其通解为
\begin{equation}
f(r, \theta, \phi) = \sum_{l,m} \left(A_{l,m} r^l + \frac{B_{l,m}}{r^{l+1}} \right) Y_{l,m} (\theta, \phi)~,
\end{equation}
其中 $Y_{l,m}$ 是球谐函数
。
1. 推导
球坐标系中，可以将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分（式 6 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 = \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 _{\Omega}}{r^2} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} ~,
\end{equation}
则
式 1 两边乘以 $r^2$ 得
\begin{equation}
\left(r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega \right) f = 0~.
\end{equation}
注意第一项只含有 $r$ 的偏导，第二项只含有 $\theta,\phi$ 的偏导。用分离变量法，令 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = R(r) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$（$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 是 $\theta, \phi$ 的简写），则分离后的
径向方程和
角向方程分别为
\begin{equation}
r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _r R(r) = l(l+1)R(r)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 _{\Omega} Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = -l(l+1) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
角向方程还可以进一步分离变量，令 $Y(\theta,\phi) = \Theta(\theta)\Phi(\phi)$，有
\begin{equation}
l(l+1)\sin^2 \theta + \left. \sin\theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta} \right) \middle/ \Theta + \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\phi}^{2}} \middle/ \Phi = 0~. \right.
\end{equation}
注意前二项只含 $\theta$，第三项只含 $\phi$。一般令前两项之和为常数 $m^2$，则第三项为 $-m^2$。这样我们就成功分离出了三个常微分方程，下面分别介绍。
径向方程是欧拉型方程
\begin{equation}
r^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{R}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + 2r \frac{\mathrm{d}{R}}{\mathrm{d}{r}} - l(l+1)R = 0~,
\end{equation}
使用变量代换 $t = \ln r$ 解得
\begin{equation}
R(r) = C_1 r^l + \frac{C_2}{r^{l+1}}~.
\end{equation}
关于 $\theta$ 的方程是
\begin{equation}
\sin^2\theta \frac{\mathrm{d}^{2}{\Theta}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + \sin\theta\cos\theta \frac{\mathrm{d}{\Theta}}{\mathrm{d}{\theta}} + [l(l+1)\sin^2\theta - m^2] \Theta = 0~.
\end{equation}
使用变量代换 $x = \cos\theta$ 得
\begin{equation}
(1-x^2) \frac{\mathrm{d}^{2}{\Theta}}{\mathrm{d}{x}^{2}} - 2x \frac{\mathrm{d}{\Theta}}{\mathrm{d}{x}} + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] \Theta = 0~,
\end{equation}
或
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}{\Theta}}{\mathrm{d}{x}} \right] + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] \Theta = 0~.
\end{equation}
该式被称为
连带勒让德方程，解为连带勒让德函数 $P_l^m(x) = P_l^m(\cos\theta)$。
关于 $\phi$ 的方程是
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{\Phi}}{\mathrm{d}{\phi}^{2}} = -m^2 \Phi~,
\end{equation}
该方程的解为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}$。原则上 $m$ 可以取任意实数，但由于球坐标中的
循环边界条件要求 $\Phi(\phi + 2\pi) = \Phi(\phi)$，$m$ 只能取任意整数。
综上，球坐标中拉普拉斯方程的通解为
\begin{equation}
f(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^l \left(C_{l,m} r^l + \frac{C'_{l,m}}{r^{l+1}} \right) P_l^m(\cos\theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}~.
\end{equation}
我们一般把在单位球面上归一化后的 $\Theta(\theta)\Phi(\phi)$ 称为
球谐函数，记为 $Y_{l,m}(\theta,\phi)$（满足角向方程
式 7 ），则通解也可记为
式 3 。
如果考虑的问题具有 $\phi$ 方向的对称性，那么 $f(r,\theta,\phi)$ 的展开式中将只涉及到 $m=0$ 的球鞋函数，这时连带勒让德函数就退化为勒让德多项式。这对求解具体的静电边值问题有很大帮助。