贡献者： addis
1若我们把球谐函数 $Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 绕原点进行某种旋转，得到的函数可以表示成球谐函数的线性组合，且只需要同一个 $l$ 子空间中的球谐函数，若将旋转算符（主动）记为 $\mathcal{R}$，则
\begin{equation}
\mathcal R \left\lvert l, m \right\rangle = \sum_{m'} \left\lvert l, m' \right\rangle \left\langle l, m' \middle| \mathcal R \middle| l, m \right\rangle ~,
\end{equation}
我们把系数矩阵称为
Wigner D 矩阵
\begin{equation}
D_{m', m}^l = \left\langle l, m' \middle| \mathcal R \middle| l, m \right\rangle ~.
\end{equation}
由于旋转算符是正交算符，所以 Wigner D 矩阵是
酉矩阵。注意该矩阵一般是复数的，因为作为基底的球谐函数一般是复数的。
1. 表达式
一种定义旋转的方法就是利用 $zyz$ 欧拉角, 即先将 $ \left\lvert l, m \right\rangle $ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\gamma$ 角，再绕 $y$ 轴逆时针旋转 $\beta$ 角，最后绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角。我们将旋转算符记为 $\mathcal R(\alpha, \beta, \gamma)$。由球谐函数的定义式 1 ，第一个旋转得到 $ \exp\left(- \mathrm{i} m \gamma\right) \left\lvert l, m \right\rangle $。
第二个旋转为
\begin{equation}
\mathcal R(0, \beta, 0) \left\lvert l, m \right\rangle = \sum_{m'} \left\langle l, m' \middle| \mathcal R(0, \beta, 0) \middle| l, m \right\rangle \left\lvert l, m' \right\rangle ~.
\end{equation}
我们把系数矩阵称为
Wigner d 矩阵，是 Wigner D 矩阵的一个特例。
\begin{equation}
d_{m', m}^l(\beta) = D_{m', m}^l(0, \beta, 0) = \left\langle l, m' \middle| \mathcal R(0, \beta, 0) \middle| l, m \right\rangle ~.
\end{equation}
其表达式为（推导略）
\begin{equation} \begin{aligned}
d_{m', m}^l (\beta) = &\sqrt{(l + m')! (l - m')! (l + m)! (l - m)!} \ \ \times\\
&\sum_s \frac{(-1)^{m' - m + s} \left(\cos \frac{\beta}{2} \right) ^{2l + m - m' - 2s} \left(\sin\frac{\beta}{2} \right) ^{m' - m + 2s}}{(l + m - s)! s! (m' - m + s)! (l - m' - s)!}
\end{aligned} ~.\end{equation}
其中 $s$ 的取值范围需要保证被阶乘的数为非负。
第二次旋转完以后我们得到若干个 $ \left\lvert l, m' \right\rangle $ 的线性组合，要再次绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角，只需要把它们分别乘以 $ \exp\left(- \mathrm{i} m' \alpha\right) $ 即可。所以 Wigner D 矩阵的完整表达式为
\begin{equation}
D_{m', m}^l(\alpha, \beta, \gamma) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} m' \alpha} d_{m', m}^l(\beta) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} m \gamma}~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。