重积分和宇称

                     

贡献者： addis

预备知识　定积分

　　 如果一个 $N$ 维欧几里得空间中的函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(x_1, x_2, \dots, x_N)$ 满足 $f(- \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，我们就说它具有偶宇称（even parity），如果满足 $f(- \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 我们就说它有奇宇称（odd parity）。

　　 我们以下要说明的结论是：在中心对称的定义域（即如果 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在定义域中，$- \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 也在定义域中），具有奇宇称的函数的定积分为 0，具有偶宇称的函数的定积分可能不为 0。

　　 对于 $N = 1, 2, 3$，这是容易理解的，例如一元函数 $\sin x$ 具有奇宇称，所以在任意对称的区间 $[-a, a]$ 做定积分都为 0。又例如二元函数 $x^3 + y^3$ 和三元函数 $ \sin\left(x + y + z\right) $ 也具有奇宇称。证明的思想很简单，做定积分时每个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的 “微元” $ \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $ 都会在 $- \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处有一个函数值为相反数的 “微元”，使两个微元的积分互相抵消。

例 1　极坐标中的函数的宇称

　　 极坐标中的函数

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(r, \theta) = r \sin\left(\theta\right) ~. \end{equation}
具有奇宇称（将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 变为 $- \boldsymbol{\mathbf{r}} $，只需要将 $\theta$ 加上 $\pi$ 即可，而 $ \sin\left(\theta + \pi\right) = -\sin\theta$）。如果在一个圆环形区域上做定积分，就有
\begin{equation} \int_0^{2\pi} \int_b^a f(r, \theta) \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = 0~. \end{equation}

　　 另一种情况如三维空间中的二维曲面上的积分，如球谐函数满足（见式 17 ）

\begin{equation} Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~. \end{equation}
也就是说当 $l$ 为奇数时球谐函数具有奇宇称，偶数时具有偶宇称。所以在对整个球面积分时，前者必为零。

1. 宇称函数相乘

　　 如果两个函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 分别可能具有奇宇称或偶宇称，它们相乘所得的函数 $h( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的宇称如何呢？从定义不难证明，如果二者宇称相同，那么 $h( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 具有偶宇称，如果一奇一偶，则是奇宇称。

习题 1　

　　 求球坐标系中函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = r^{100} \sin\left(99\theta\right) Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 的宇称。

习题 2　

　　 求单位球面上的积分（星号表示复共轭）

\begin{equation} \int Y_{99, 77}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{71, -30}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{53, 20}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} ~. \end{equation}

                     

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