贡献者： addis
1若空间中的一个球内（$r < a$）存在静止的电荷分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，那么球外的电势 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$（$r > a$）可以展开为径向函数和球谐函数之积的形式
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l = 0}^\infty \frac{1}{r^{l+1}}\sum_{m = -l}^l C_{l,m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \qquad (r \geqslant a)~.
\end{equation}
其中常数 $C_{l,m}$ 为（证明见下文）
\begin{equation}
C_{l,m} = \frac{4\pi}{2l+1} \int_{r\leqslant a} r^l \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} ~.
\end{equation}
由于 $\rho, V$ 都是实函数，有（
式 12 ）
\begin{equation}
C_{l,m} = (-1)^m C_{l,-m}^*~.
\end{equation}
这其实相当于使用
实球谐函数作为基底。
式中 $l = 0$ 的项就是电单极子（electric monopole） 具有球对称的电荷分布和势能分布，$l = 1$ 的项都是电偶极子（dipole）（$\propto\cos \theta$），$l = 2$ 的项都是电四极子（electric quadrupole）…… $l = N$ 的项叫做电 $2^N$ 极子。
当电荷分布关于极轴对称时，求和中只需要 $m=0$ 的项，也就是说只有 $C_{l,0}$ 不为零，且为实数。
为什么这么叫呢？因为电 $2^N$ 极子产生的势能项可以用 $2^{N-1}$ 个电荷为 $q$ 的点电荷以及 $2^{N-1}$ 个电荷为 $-q$ 的点电荷按照一定空间位置摆放后，取 $r \to \infty$ 得到。用数学归纳法的思想，我们可以认为若电 $2^{N-1}$ 极子是一个点，渐进势能为 $\sim 1/r^N$，那么把两个电荷相反的 $2^{N-1}$ 极子放在一根短棍的两端组成电 $2^N$ 极子，那么渐进势能就必须是更高阶无穷小，即 $\sim 1/r^{N+1}$。
电多极展开的优势在于只需要预先算出系数 $C_{l,m}$ 就可以无需积分得到球外任意位置的电势分布。而如果用常规的方法，则计算每个位置的电势都需要重新做一次积分（式 17 ）。而它的缺点在于实际计算中必须取式 1 中的有限项，会产生截断误差。另一点是无法计算球内的电势分布。
对比直角坐标电偶极子
令 $l=0$，对比式 2 可得（参考式 26 ）
\begin{align} p_z &= \int\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )z \,\mathrm{d}^{3}{r} = \frac12\sqrt{\frac{3}{\pi}} C_{1,0}~,\\
p_x &= \int\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )x \,\mathrm{d}^{3}{r} = \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \frac{C_{1,-1}-C_{1,1}}{2} = -\sqrt{\frac{3}{2\pi}} \operatorname{Re} [C_{1,1}]~,\\
p_y &= \int\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )y \,\mathrm{d}^{3}{r} = \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \frac{C_{1,-1}+C_{1,1}}{2 \mathrm{i} } = \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \operatorname{Im} [C_{1,1}]~.
\end{align}
未完成：高阶项如何对应到直角坐标版本？
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[\frac{Q}{R} - ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} )\frac{1}{R} + \frac{1}{2} \left(\sum_{i,j} D_{ij} \frac{\partial^2 }{\partial x_i \partial x_j} \right) \frac{1}{R} + \dots \right] ~.
\end{equation}
\begin{equation}
D_{ij}= \int x_i x_j \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} ~.
\end{equation}
这是一个实对称矩阵。
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{x_i}} \frac{1}{r} = -\frac{x_i/r}{r^2}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial^2 }{\partial x_i \partial x_j} \frac{1}{r} = \frac{3x_ix_j/r^2 - \delta_{ij}}{r^3}~.
\end{equation}
（提示：$ \frac{\partial}{\partial{x_i}} \frac{1}{r^3} = -\frac{3x_i}{r^5}$）
根据 Wikipedia 的球谐函数表，可以把 $l=2$ 的球谐函数对应到 $x_ix_j$。所以对 $l=2$，球谐函数的多级展开和直角坐标版本也可以一一对应（但貌似只能凑出 $3x_i^2-r^2$）。
1. 电场
对式 1 求负梯度即可得到球外的电场分布
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
使用球坐标中的梯度算符（
式 1 ）
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla V = \frac{\partial V}{\partial r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{1}{r\sin \theta } \frac{\partial V}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{equation}
未完成：引用勒让德多项式求导性质
内展开
相反，若电荷分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 只存在于 $r \geqslant a$ 的球外空间，那么可以把球内部任意点的电势 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 展开为
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l = 0}^\infty r^l \sum_{m = -l}^l D_{l,m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~, \qquad (r \leqslant a)~.
\end{equation}
其中（证明见下文）
\begin{equation}
D_{l,m} = \frac{1}{(2l+1)\epsilon_0} \int_{r\geqslant a} \frac{1}{r^{l+1}} \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} ~.
\end{equation}
一般展开
要求任意给定点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的电势，可取过该点的球面 $a = r$，并把式 1 和式 13 合并就可以得到 $r$ 取任意值的展开
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l \left[\frac{1}{r^{l+1}} C_{l,m}(r) + r^l D_{l,m}(r) \right] Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
但这计算起来比较麻烦，因为现在 $C_{l,m}, D_{l,m}$ 成了 $r$ 的函数，对每个在 $\rho(r)\ne 0$ 范围的 $r$ 都需要计算一次积分，当 $r$ 大于 $\rho(r)$ 的最大半径（如果存在），$C_{l,m}$ 重新变为常数，$D_{l,m}= 0$，就回到
式 1 。当 $r$ 小于 $\rho(r)$ 的最小半径（如果不为零），$D_{l,m}$ 重新变为常数，$C_{l,m} = 0$，就回到
式 13 。
2. 证明
首先我们给出单个点电荷势能的球谐展开公式
\begin{equation}
\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } = 4\pi \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{2l+1} \frac{r_<^l}{r_>^{l+1}} \sum_{m = -l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ') Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
其中 $r_< = \min \left\{r, r' \right\} $，$r_> = \max \left\{r, r' \right\} $。另外连续电荷分布的库仑势能公式为（
式 7 ）
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~.
\end{equation}
若我们要求电荷必须在球内（$r' \leqslant a$）而 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 必须在球外（$r \geqslant a$），那么始终有 $r_> = r, r_< = r'$，代入式 16 再代入式 17 可得式 1 。
反之，若电荷分布 $r' \geqslant a$，场点 $r \leqslant a$，那么始终有 $r_> = r', r_< = r$。代入式 16 再代入式 17 得式 13 。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面，以及 [1]。
[1] ^ David Jackson. Classical Electrodynamics 3ed