球坐标与直角坐标的转换

                     

贡献者: addis

预备知识 1 球坐标系的定义,四象限 Arctan 函数

1. 坐标的变换

   当我们讨论球坐标和直角坐标的转换时,通常令两个原点重合,取极轴($\theta = 0$)为 $z$ 轴的正方向,$\theta = \pi/2$,$\phi = 0$ 为 $x$ 轴的正方向,$\theta = \pi/2$,$\phi = \pi/2$ 为 $y$ 轴的正方向。这时两种坐标之间的变换关系为

\begin{equation} \begin{cases} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta \end{cases}~. \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \operatorname{Arctan} \left(\sqrt{x^2 + y^2}, z \right) \\ \phi &= \operatorname{Arctan} (y, x) \end{aligned}\right. ~.\end{equation}
证明见下文,其中 $ \operatorname{Arctan} $ 函数(也记为 $ \operatorname {atan2}$)的定义见式 1 。注意根据式 1 ,同一个直角坐标可以对应不同的极坐标,例如将 $\phi$ 增加 $2\pi$ 的整数倍,又例如对 $z$ 轴上的点 $\phi$ 可以取任意值。但根据式 2 ,我们可以找到两种坐标间的一一对应关系。

2. 矢量分量的变换

预备知识 2 三维旋转矩阵

   在直角坐标系中,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是 $x,y,z$ 轴的三个正交归一向量,在球坐标系中,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 是三个正交归一向量(定义见图 1 ). 两组基底之间的变换关系为

\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{cases}~, \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{cases}~. \end{equation}
证明见下文,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是关于两个角度的三维旋转矩阵
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix} ~. \end{equation}
这是一个单位正交矩阵,满足 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $,每行(列)都是一个单位矢量,且行(列)之间正交。

   若某点处任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在直角坐标系和球坐标系中分别表示为(注意 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 的方向和该点的位置有关)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~. \end{equation}
则坐标变换关系可以用矩阵乘法表示
\begin{equation} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} ~, \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix} ~, \end{equation}
该关系可以用于把矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在直角坐标系和球坐标系间变换。

推导

   把空间中一点 $P$ 的位矢 $r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 分解为垂直于 $xy$ 平面的分量 $z = r\cos \theta $ 和 $xy$ 平面的分量 $r\sin \theta $。后者又可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\sin \theta \cos \phi$, $y = r\sin \theta \sin \phi$,这就得到了式 1

   在直角坐标系中,有 $r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$,代入式 1 中的三条关系,就可以很容易解出式 2 中的三条关系。

   现在推导变换关系(式 3 )。由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 都是关于 $(r, \theta, \phi)$ 的函数,所以在考察某一点 $(r, \theta, \phi)$ 时,要计算 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 方向的投影,可以先把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 平移使其起点为坐标原点,那么它终点的直角坐标就是投影长度。首先易知终点的球坐标是 $(1, \theta, \phi)$, 根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{equation} (\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta)~. \end{equation}
写成矢量的形式,就是
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~. \end{equation}
至于式 3 的第二条,要计算 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 方向的投影,同样把起点平移到坐标原点,由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 是 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 向下转动 $90^\circ$ 即 $\theta$ 增加 $\pi/2$,所以终点的球坐标为 $(1, \theta + \pi /2, \phi)$,根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~. \end{equation}
最后,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 平移到原点后,终点的球坐标为 $(1, \pi/2, \phi+\pi/2)$,同理可得式 3 第三条。将基底变换式 3 式 4 分别代入式 7 式 6 得坐标变换式 9 式 8 ,详见 “三维旋转矩阵”。

3. 两方向的夹角

预备知识 3 点乘

   若已知球坐标系中两个方向的单位向量分别为 $(1, \theta_1, \phi_1)$ 和 $(1, \theta_2, \phi_2)$ 如何求它们之间的夹角 $\alpha$ 呢?我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标,然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值。由式 1 ,两矢量的直角坐标分别为

\begin{equation} (\sin\theta_1\cos\phi_1,\ \sin\theta_1\sin\phi_1,\ \cos\theta_1)~, \qquad (\sin\theta_2\cos\phi_2,\ \sin\theta_2\sin\phi_2,\ \cos\theta_2)~. \end{equation}
对它们做点乘(式 3 )就得到夹角的余弦值,利用三角恒等式(式 5 ),得
\begin{equation} \begin{aligned} \cos\alpha &= \sin\theta_1\cos\phi_1\sin\theta_2\cos\phi_2 + \sin\theta_1\sin\phi_1 \sin\theta_2\sin\phi_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2(\cos\phi_1 \cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2 \cos\left(\phi_2-\phi_1\right) + \cos\theta_1 \cos\theta_2~.\\ \end{aligned} \end{equation}

Matlab 代码

   在 Matlab 中,sph2cart 中 $\theta$ 的定义是本文中 $\pi/2 - \theta$。所以我们可以另外定义一个符合本文的函数

代码 1:Sph2Cart.m
% physics version of sph2cart
function [X,Y,Z] = Sph2Cart(R,Th,Ph)
[X,Y,Z] = sph2cart(Ph,pi*0.5-Th,R);
end

                     

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