贡献者： addis
1球谐函数 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 中唯一的复数因子是 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m\phi}$（见球谐函数表），如果我们需要一套实数的球谐函数作为基底（例如用于展开实函数），可以通过欧拉公式（式 3 ）把该因子变为 $ \sin\left(m\phi\right) $ 和 $ \cos\left(m\phi\right) $
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m \phi} = \cos\left(m\phi\right) \pm \mathrm{i} \sin\left(m\phi\right) ~.
\end{equation}
定义
实球谐函数为
\begin{equation}
\mathcal Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \left\{\begin{aligned}
&(-1)^{m}\sqrt{2} A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \cos\left(m\phi\right) &&(m > 0)\\
&A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) &&(m = 0)\\
&(-1)^{m}\sqrt{2} A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \sin\left(m\phi\right) &&(m < 0)~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $P_l^m$ 是连带勒让德函数，归一化系数为
\begin{equation}
A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi }\frac{(l - m)!}{(l + m)!}}~.
\end{equation}
与球谐函数的关系为
\begin{equation}
\mathcal Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \left\{\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{2}}[(-1)^{m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) + Y_{l,-m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )] &&(m > 0)\\
&Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) &&(m = 0)\\
&\frac{1}{\sqrt{2}\ \mathrm{i} }[(-1)^{m} Y_{l,-m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) - Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )] &&(m < 0)~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
上式两个方括号中第一项 $\sim \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \phi}$，第二项 $\sim \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \phi}$，$(-1)^m$ 是为了抵消 Condon–Shortley 相位（
子节 3 ）。所以 $m > 0$ 时 $\mathcal Y_{l,m} \sim \cos\left(m\phi\right) $，$m < 0$ 时 $\mathcal Y_{l,m} \sim \sin\left(m\phi\right) $，$m = 0$ 时与 $\phi$ 无关。
把式 2 与球谐函数的定义（式 1 ）相比可知，在球谐函数表中，要把复球谐函数变为实球谐函数，只需要把奇数 $m$ 前面的 $\mp$ 去掉，再把 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} m\phi}$ 分别替换为 $\sqrt{2} \cos\left(m\phi\right) $ 和 $\sqrt{2} \sin\left(m\phi\right) $ 即可。故我们不再重复给出 $\mathcal Y_{l,m}$ 列表。
由于不同的 $Y_{l,m}$ 是正交归一的，所以式 4 把两个球谐函数相加后，需要在前面乘以 $1/\sqrt{2}$ 保持正交归一条件：
\begin{equation}
\int \mathcal Y_{l',m'} ^* ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathcal Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = \delta_{l,l'}\delta_{m,m'}~.
\end{equation}
根据
式 4 ，复球谐函数的许多其他性质都容易类推到实球谐函数，这里不再赘述。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。