球贝塞尔函数

贡献者： addis

预备知识　贝塞尔函数

　　¹球贝塞尔方程（spherical Bessel's equation）为

\begin{matrix} (1) & x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 x \frac{d y}{d x} + [x^{2} - l (l + 1)] y = 0 . \end{matrix}

图 1：球贝塞尔函数和球汉克尔函数（来自 Wikipedia）

　　两个线性无关的解分别为第一类球贝塞尔函数 $j_{l} (x)$ 和第二类球贝塞尔函数 $y_{l} (x)$ ，见图 1 。它们可以通过贝塞尔函数 $J_{l}$ ， $Y_{l}$ 来定义

\begin{matrix} (2) & j_{l} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} J_{l + 1 / 2} (x), y_{l} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} Y_{l + 1 / 2} (x) . \end{matrix}

同样也可以定义两类球汉克尔函数（spherical Hankel's function）

\begin{matrix} (3) & h_{l}^{(1)} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} H_{l + 1 / 2}^{(1)} (x) = j_{l} (x) + i y_{l} (x), \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & h_{l}^{(2)} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} H_{l + 1 / 2}^{(2)} (x) = j_{l} (x) - i y_{l} (x) . \end{matrix}

另一种等效的定义方式使用 Rayleigh's 方程

\begin{matrix} (5) & j_{l} (x) = (- x)^{l} {(\frac{1}{x} \frac{d}{d x})}^{l} \frac{\sin x}{x}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & y_{l} (x) = - (- x)^{l} {(\frac{1}{x} \frac{d}{d x})}^{l} \frac{\cos x}{x} . \end{matrix}

l

为整数的球贝塞尔函数都可以用正弦余弦函数表示，例如

\begin{aligned} (7) & j_{0} (x) = \frac{\sin x}{x}, \\ (8) & j_{1} (x) = \frac{\sin x}{x^{2}} - \frac{\cos x}{x}, \\ (9) & j_{2} (x) = (\frac{3}{x^{2}} - 1) \frac{\sin x}{x} - \frac{3 \cos x}{x^{2}}, \\ (10) & j_{3} (x) = (\frac{15}{x^{3}} - \frac{6}{x}) \frac{\sin x}{x} - (\frac{15}{x^{2}} - 1) \frac{\cos x}{x} . \end{aligned}

\begin{aligned} (11) & y_{0} (x) = - \frac{\cos x}{x}, \\ (12) & y_{1} (x) = - \frac{\cos x}{x^{2}} - \frac{\sin x}{x}, \\ (13) & y_{2} (x) = (- \frac{3}{x^{2}} + 1) \frac{\cos x}{x} - \frac{3 \sin x}{x^{2}}, \\ (14) & y_{3} (x) = (- \frac{15}{x^{3}} + \frac{6}{x}) \frac{\cos x}{x} - (\frac{15}{x^{2}} - 1) \frac{\sin x}{x} . \end{aligned}

更多项可以用 Mathematica 命令如²

l = 4; Series[SphericalBesselJ[l, x], {x, \[Infinity], 1000}] // 
  Normal // Simplify

1. 性质

　　原点值

\begin{matrix} (15) & j_{l} (0) = δ_{l, 0}, y_{l} (0) = - \infty . \end{matrix}

　　奇偶性：当 $l$ 为偶数， $j_{l}, y_{l}$ 分别是偶函数和奇函数，而 $l$ 为奇数时则相反。

\begin{matrix} (16) & j_{l} (- x) = (- 1)^{l} j_{l} (x), y_{l} (- y) = - (- 1)^{l} y_{l} (x) . \end{matrix}

　　一阶导数满足（ $f$ 是 $j, y, h^{(1)}, h^{(2)}$ 中的任意一种）

\begin{matrix} (17) & f_{l}^{'} (z) = f_{l - 1} (z) - \frac{l + 1}{z} f_{l} (z) . \end{matrix}

渐进形式当

x ≫ 1

时，球贝塞尔函数的渐进表达式为

\begin{matrix} (18) & j_{l} (x) \to \sin (x - l π / 2) / x, y_{l} (x) \to - \cos (x - l π / 2) / x, \end{matrix}

\begin{matrix} (19) & h_{l}^{(1)} (x) \to (- i)^{l + 1} e^{i x} / x, h_{l}^{(2)} (x) \to i^{l + 1} e^{- i x} / x . \end{matrix}

与勒让德多项式的关系（式 9 ）

\begin{matrix} (20) & j_{l} (ρ) = \frac{(- i)^{l}}{2} \int_{- 1}^{1} P_{l} (x) e^{i ρ x} d x . \end{matrix}

分解（

[\dots]

\begin{matrix} (21) & j_{l} (x_{1} \pm x_{2}) = \sum_{l_{1}, l_{2}} i^{l_{1} \pm l_{2} - l} \frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1)}{2 l + 1} {[\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{2} j_{l_{1}} (x_{1}) j_{l_{2}} (x_{2}) . \end{matrix}

　　由渐进形式可得径向归一化积分为（ $δ$ 是狄拉克 $δ$ 函数，推导见式 20 ）

\begin{matrix} (22) & \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} k^{'} r j_{l} (k^{'} r) \cdot k r j_{l} (k r) d r & = \int_{0}^{\infty} \sin (k^{'} r - l π / 2) \sin (k r - l π / 2) d r \\ = \frac{π}{2} δ (k^{'} - k) (k, k^{'} > 0), \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (23) & \int_{0}^{\infty} j_{l} (x) d x = \frac{π l!}{2^{l + 1} [(l / 2)!]^{2}} . \end{matrix}

使用奇偶性式 16 易得

\begin{matrix} (24) & \int_{- \infty}^{+ \infty} j_{l} (x) d x = {\begin{aligned} \frac{π l!}{2^{l} [(l / 2)!]^{2}} & (l = 偶数) \\ 0 & (l = 奇数) \end{aligned} . \end{matrix}

正交性

\begin{matrix} (25) & \int_{- \infty}^{+ \infty} j_{l} (x) j_{l^{'}} (x) d x = \frac{π}{2 l + 1} δ_{l, l^{'}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (26) & \int_{0}^{\infty} j_{l} (k^{'} r) j_{l} (k r) d r = \frac{π}{2 (2 l + 1)} \frac{k_{<}^{l}}{k_{>}^{l + 1}} . \end{matrix}

\begin{matrix} (27) & \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i k x} j_{l} (x) d x = π i^{l} P_{l} (k) . \end{matrix}

　　 修正球贝塞尔方程为

\begin{matrix} (28) & x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 x \frac{d y}{d x} - [x^{2} + l (l + 1)] y = 0 . \end{matrix}

两个线性无关解称为第一类修正球贝塞尔函数（modified spherical Bessel function of the first kind）和第二类修正球贝塞尔函数

\begin{matrix} (29) & i_{l} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} I_{l + 1 / 2} (x) = i^{- l} j_{l} (i x), \end{matrix}

\begin{matrix} (30) & k_{l} (x) = \sqrt{\frac{2}{π x}} K_{l + 1 / 2} (x) = \frac{π}{2} i^{l + 2} h_{l}^{(1)} (i x), \end{matrix}

渐进形式为

\begin{matrix} (31) & i_{l} (x) \to \frac{e^{x}}{2 x}, k_{l} (x) \to \frac{π}{2} \frac{e^{- x}}{x} . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。以及 R. Mehrem, arXiv:0909.0494 (2009)。
2. ^ 笔者也不明白为什么要这么做。