正交曲线坐标系中的重积分

贡献者： addis; 零穹

预备知识　正交曲线坐标系，重积分

　　在计算一些多重积分时，选取合适的坐标系往往可以大大化简问题。

未完成：需要给出一般正交曲线坐标系的体积元公式

1. 极坐标系中的二重积分

图 1：极坐标中的面积元

　　我们来看如何在极坐标系中进行二重积分。我们先把积分区域划分为无数个小面积元，点 $r$ 处面元的形状如图 1 所示，即把两个坐标 $r, θ$ 坐标分别在原来的基础上增加一个微小值，并围成一块小区域。由于 $d r, d θ$ 都是无穷小，该面元的形状趋近于长方形，其面积为两边长相乘

\begin{matrix} (1) & d s = d r \cdot r d θ = r d r d θ . \end{matrix}

类比例 1 ，我们可以将

f (r, θ)

的面积分记为

\begin{matrix} (2) & \iint_{S} f (r, θ) r d r d θ = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} d θ \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} d r r f (r, θ), \end{matrix}

其中

r_{1} (θ)

与

r_{2} (θ)

是区域

S

的两条边界（类比式 7 中的

y_{1} (x), y_{2} (x)

）。

　　式 1 也是柱坐标系中 $r$ 、 $θ$ 曲坐标面上的面积元。对于球坐标，我们可得到 $θ$ 、 $ϕ$ 曲坐标面上的面积元

\begin{matrix} (3) & d s = r^{2} \sin θ d θ d ϕ . \end{matrix}

例 1　

　　求 $f (r, θ) = a r$ 在内外半径为 $R_{1}, R_{2}$ 的圆环区域的面积分。

　　先来看积分上下限，对于圆环区域，显然有 $r_{1} (θ) = R_{1}$ ， $r_{2} (θ) = R_{2}$ ， $θ_{1} = 0$ ， $θ_{2} = 2 π$ 。直接使用式 2 得

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \iint_{S} f (r, θ) r d r d θ & = \int_{0}^{2 π} [\int_{R_{1}}^{R_{2}} a r^{2} d r] d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{a}{3} (R_{2}^{3} - R_{1}^{3}) d θ \\ = \frac{2 π a}{3} (R_{2}^{3} - R_{1}^{3}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果使用直角坐标系计算该积分，过程将会变得更加复杂。

例 2　球面积分

未完成：球面的面积、函数在球面上积分

2. 曲线坐标系中的体积分

　　在曲线坐标系中，令

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial r}{\partial x_{i}} \equiv f_{i} (r) {\hat{x}}_{i} (i = 1, 2, 3) . \end{matrix}

则位矢的全微分为

\begin{matrix} (6) & d r = \sum_{i = 1}^{3} f_{i} (r) d x_{i} {\hat{x}}_{i} . \end{matrix}

所以空间中的一个体积元（每个

x_{i}

都分别增加

d x_{i}

所围成的长方体）可以表示为

\begin{matrix} (7) & d V = f_{1} (r) f_{2} (r) f_{3} (r) d x_{1} d x_{2} d x_{3} . \end{matrix}

这是因为根据式 6 ，单独将坐标

x_{i}

增加

d x_{i}

会导致

r

在

{\hat{x}}_{i}

方向增加

f_{i} (r) d x_{i}

，这相当于长方体在

{\hat{x}}_{i}

方向的边长，而长方体的体积等于三条边长之积。为了方便书写我们以后将

d x_{1} d x_{2} d x_{3}

记为

d^{3} x

或

d^{3} r

。

图 2：柱坐标（左）和球坐标（右）中的体积元

　　我们已知直角坐标系中 $\partial r / \partial x_{i} = 1$ ，所以体积元为 $d^{3} r = d x d y d z$ 。对于柱坐标系（图 2 左），由式 9 得体积元为

\begin{matrix} (8) & d V = d r \cdot r d θ \cdot d z = r d r d θ d z . \end{matrix}

类似地，对于球坐标系（图 2 右），由得体积元为

\begin{matrix} (9) & d V = d r \cdot r d θ \cdot r \sin θ d ϕ = r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ . \end{matrix}

例 3　球体的体积

　　在例 4 中我们用一元函数的定积分得到了球体的体积，现在我们也可以直接在球坐标中由体积分得到。

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} V & = \int 1 d^{3} r = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ \\ = \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} \sin θ d θ \int_{0}^{R} r^{2} d r \\ = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} R^{3} = \frac{4}{3} π R^{3} . \end{aligned} \end{matrix}

正交曲线坐标系中的重积分

1. 极坐标系中的二重积分

例 1

例 2 球面积分

2. 曲线坐标系中的体积分

例 3 球体的体积

例 1　

例 2　球面积分

例 3　球体的体积