正交曲线坐标系中的重积分
贡献者： addis; 零穹
在计算一些多重积分时，选取合适的坐标系往往可以大大化简问题。
未完成：需要给出一般正交曲线坐标系的体积元公式
1. 极坐标系中的二重积分
图 1：极坐标中的面积元
我们来看如何在极坐标系中进行二重积分。我们先把积分区域划分为无数个小面积元，点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处面元的形状如图 1 所示，即把两个坐标 $r, \theta$ 坐标分别在原来的基础上增加一个微小值，并围成一块小区域。由于 $ \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} $ 都是无穷小，该面元的形状趋近于长方形，其面积为两边长相乘
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{s} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \,\mathrm{d}{\theta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \,\mathrm{d}{r} \ r f(r, \theta)~,
\end{equation}
式 1 也是柱坐标系中 $r$、$\theta$ 曲坐标面上的面积元。对于球坐标，我们可得到 $\theta$、$\phi$ 曲坐标面上的面积元
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{s} =r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} ~.
\end{equation}
2. 曲线坐标系中的体积分
在曲线坐标系中，令
\begin{equation}
\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial x_i} \equiv f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \quad (i = 1,2,3)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{i = 1}^3 f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i~.
\end{equation}
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{V} = f_1( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_2( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_3( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} ~.
\end{equation}
图 2：柱坐标（左）和球坐标（右）中的体积元
我们已知直角坐标系中 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial x_i = 1$，所以体积元为 $ \,\mathrm{d}^{3}{r} = \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $。对于柱坐标系（图 2 左），由式 9 得体积元为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot \,\mathrm{d}{z} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{z} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} = r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} ~.
\end{equation}