连带勒让德函数
贡献者： addis
1连带勒让德方程来源于在球坐标系中使用分离变量法解拉普拉斯方程（球坐标系中的拉普拉斯方程）中，连带勒让德方程为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l^m(x) \right] + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] P_l^m(x) = 0~.
\end{equation}
最广义的情况下，$l,m$ 都可以是任意复数。本文中我们只讨整数 $l,m$，且 $l\geq 0$，$ \left\lvert m \right\rvert \leq l$ 的情况，且只讨论区间 $x\in [-1,1]$。这些限制在实际应用中是最常见的。此时方程的解是连带勒让德函数（associated Legendre function） $P_l^m(x)$ 可用勒让德多项式 $P_l(x)$ 生成
\begin{equation}
P_l^m(x) = (-1)^m (1 - x^2)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}{x}^{m}} P_l(x)~.
\end{equation}
\begin{equation}
P_l^0(x) = P_l(x)~.
\end{equation}
1. 归一化
连带勒让德函数的归一化系数为（证明略）
\begin{equation}
A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-1}^1 [A_{l',m} P_{l'}^{m}(x)] [A_{l,m} P_l^{m}(x)] \,\mathrm{d}{x} = \delta_{l,l'}~.
\end{equation}
2. 其他性质
- 当 $m = 0$ 时，见勒让德多项式的性质。
- 端点值：对任意 $l, m$ 有
\begin{equation} P_l^m(1) = \delta_{m, 0}~, \qquad P_l^m(-1) = (-1)^l \delta_{m, 0}~. \end{equation}
- 奇偶性
\begin{equation} P_l^m(-x) = (-1)^{l+m}P_l^m(x)~. \end{equation}
- $m$ 取相反数时，对称或反对称关系为
或者\begin{equation} A_{l,-m} P_l^{-m}(x) = (-1)^m A_{l,m} P_l^m(x)~, \end{equation}\begin{equation} P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x)~. \end{equation}
- 求导
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l^m(x) = \frac{1}{x^2-1} [(l-m+1)P_{l+1}^m(x) - (l+1)xP_l^m(x)]~. \end{equation}\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l^m(x) = \frac{1}{(2l+1)(x^2-1)} [l(l-m+1)P_{l+1}^m(x) - (l+1)(l+m)P_{l-1}^m(x)]~. \end{equation}
- 特殊值
\begin{equation} P_m^m(x) = (-1)^m (2m-1)!! (1-x^2)^{m/2}~. \end{equation}
- 递归关系
\begin{equation} P_{m+1}^m(x) = x (2m + 1) P_m^m(x)~, \end{equation}在数值计算中，一般使用式 12 到式 14 求 $P_l^m$。\begin{equation} (l-m) P_l^m = (2l-1) x P_{l-1}^m - (l+m-1) P_{l-2}^m~. \end{equation}
未完成：Gaunt' Formula
图 1：Gaunt' Formula
这应该可以用 3j 系数来表示。