勒让德多项式

贡献者： addis

预备知识　二阶常系数齐次微分方程

　　 勒让德方程为

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} P_{l} (x)] + l (l + 1) P_{l} (x) = 0 . \end{matrix}

　　我们仅在区间 $x \in [- 1, 1]$ 上考虑 $l$ 为非负整数的情况。方程的解 $P_{l} (x)$ 是关于 $x$ 的 $l$ 阶多项式

\begin{matrix} (2) & P_{l} (x) = \frac{1}{2^{l}} \sum_{s = 0}^{[l / 2]} \frac{(- 1)^{s} (2 l - 2 s)!}{s! (l - s)! (l - 2 s)!} x^{l - 2 s}, \end{matrix}

其中

[x]

是向下取整函数。当

x

是整数，

[x] = x

，当

x

是非整数，

[x]

是小于

x

的最大整数。

　　这里列出前几个多项式（图 1 ）

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} P_{0} (x) = 1 & P_{3} (x) = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x) \\ P_{1} (x) = x & P_{4} (x) = \frac{1}{8} (35 x^{4} - 30 x^{2} + 3) \\ P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1) & P_{5} (x) = \frac{1}{8} (63 x^{5} - 70 x^{3} + 15 x) . \end{aligned} \end{matrix}

图 1：勒让德多项式

　　勒让德多项式也可以用罗德里格斯公式表示

\begin{matrix} (4) & P_{l} (x) = \frac{1}{2^{l} l!} \frac{d^{l}}{d x^{l}} (x^{2} - 1)^{l} . \end{matrix}

由于求导会改变函数的奇偶性，由上式可以证明当

l

为偶（奇）数时

P_{l} (x)

是偶（奇）函数，所以只有

x

的偶（奇）次方项。

1. 正交归一性质

　　勒让德多项式的归一化系数为

\begin{matrix} (5) & A_{l} = \sqrt{\frac{2 l + 1}{2}}, \end{matrix}

满足正交归一化条件

\begin{matrix} (6) & \int_{- 1}^{1} A_{l^{'}} P_{l^{'}} (x) \cdot A_{l} P_{l} (x) d x = δ_{l, l^{'}} . \end{matrix}

　　 $P_{l} (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 有 $l$ 个根。 $P_{l}^{'} (x)$ 有 $l - 1$ 个根。

\begin{matrix} (7) & P_{l} (1) = 1, P_{l} (- 1) = (- 1)^{l} . \end{matrix}

由式 2 得

\begin{matrix} (8) & P_{l} (0) = {\begin{aligned} 0 & (l = 奇数) \\ \frac{(- 1)^{l / 2} l!}{2^{l} [(l / 2)!]^{2}} & (l = 偶数) . \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \int_{- 1}^{1} P_{l} (x) e^{i k x} d x = 2 i^{l} j_{l} (k) . \end{matrix}

　　求导

\begin{matrix} (10) & P_{l}^{'} (x) = {\begin{aligned} \frac{l + 1}{1 - x^{2}} [x P_{l} (x) - P_{l + 1} (x)] & (| x | < 1) \\ l (l + 1) / 2 & (x = 1) \\ (- 1)^{l + 1} l (l + 1) / 2 & (x = - 1) . \end{aligned} \end{matrix}

　　令

\begin{matrix} (11) & P_{l} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}, \end{matrix}

代入方程，对比系数得到递推公式

\begin{matrix} (12) & c_{n + 2} = \frac{n (n + 1) - l (l + 1)}{(n + 2) (n + 1)} c_{n} = \frac{(n - l) (n + 1 + l)}{(n + 2) (n + 1)} c_{n} . \end{matrix}

可见偶数项系数可用

c_{0}

表示，奇数项系数可用

c_{1}

表示。所以

c_{0}

和

c_{1}

可以看做是二阶微分方程的两个任意常数。

　　当 $l$ 为整数时，可以证明 $n > l$ 以上的系数都为 0，令最高次项系数为

\begin{matrix} (13) & c_{l} = \frac{(2 l)!}{2^{l} (l!)^{2}}, \end{matrix}

就得到了式 2 。

　　勒让德多项式可以表示为以下函数对 $r$ 的泰勒展开的系数

\begin{matrix} (14) & \frac{1}{\sqrt{1 + r^{2} - 2 r x}} = \sum_{l = 0}^{\infty} P_{l} (x) r^{l}, \end{matrix}

其中

1 / \sqrt{1 + r^{2} - 2 r x}

叫做勒让德多项式的生成函数或母函数