勒让德多项式
贡献者： addis
勒让德方程为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l(x) \right] + l(l+1)P_l(x) = 0~.
\end{equation}
我们仅在区间 $x \in [-1,1]$ 上考虑 $l$ 为非负整数的情况。方程的解 $P_l(x)$ 是关于 $x$ 的 $l$ 阶多项式
\begin{equation}
P_l(x) = \frac{1}{2^l}\sum_{s=0}^{[l/2]} \frac{(-1)^s (2l-2s)!}{s!(l-s)!(l-2s)!} x^{l-2s}~,
\end{equation}
这里列出前几个多项式（图 1 ）
\begin{equation} \begin{aligned}
&P_0(x) = 1 && P_3(x) = \frac12 (5x^3 - 3x) \\
&P_1(x) = x && P_4(x) = \frac18 (35x^4 - 30x^2 + 3) \\
&P_2(x) = \frac12 (3x^2 - 1) \qquad && P_5(x) = \frac18 (63x^5 - 70x^3 + 15x)~.
\end{aligned} \end{equation}
图 1：勒让德多项式
勒让德多项式也可以用罗德里格斯公式表示
\begin{equation}
P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^{l}}{\mathrm{d}{x}^{l}} (x^2 - 1)^l~.
\end{equation}
1. 正交归一性质
勒让德多项式的归一化系数为
\begin{equation}
A_l = \sqrt{\frac{2l + 1}{2}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-1}^1 A_{l'} P_{l'}(x) \cdot A_l P_l(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{l,l'}~.
\end{equation}
2. 其他性质
$P_l(x)$ 在 $[-1,1]$ 有 $l$ 个根。$P'_l(x)$ 有 $l-1$ 个根。
\begin{equation}
P_l(1) = 1~, \qquad P_l(-1) = (-1)^l~.
\end{equation}
\begin{equation}
P_l(0) = \left\{\begin{aligned}
&0 &\qquad (l = \text{奇数})\\
&\frac{(-1)^{l/2} l!}{2^l [(l/2)!]^2} &\qquad (l = \text{偶数})~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation}
\int_{-1}^1 P_l(x) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} = 2 \mathrm{i} ^l j_l(k)~.
\end{equation}
求导
\begin{equation} P'_l(x) = \left\{\begin{aligned}
&\frac{l+1}{1-x^2} [xP_l(x) - P_{l+1}(x)] &\,\, &( \left\lvert x \right\rvert < 1) \\
&l(l+1)/2 & &(x = 1) \\
&(-1)^{l+1}l(l+1)/2 & &(x = -1)~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
3. 勒让德方程的级数解
令
\begin{equation}
P_l(x) = \sum_{n = 0}^\infty c_n x^n~,
\end{equation}
\begin{equation}
c_{n+2} = \frac{n(n+1)-l(l+1)}{(n+2)(n+1)}c_n = \frac{(n-l)(n+1+l)}{(n+2)(n+1)}c_n~.
\end{equation}
当 $l$ 为整数时，可以证明 $n > l$ 以上的系数都为 0，令最高次项系数为
\begin{equation}
c_l = \frac{(2l)!}{2^l (l!)^2}~,
\end{equation}
4. 生成函数
勒让德多项式可以表示为以下函数对 $r$ 的泰勒展开的系数
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{1 + r^2 - 2rx}} = \sum_{l = 0}^\infty P_l(x) r^l~,
\end{equation}